李桂峰

【摘要】在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題中，經(jīng)常遇到涉及角度的問題，通常我們可以考慮先將其轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)或者斜率等知識進行求解.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;角度

【課題名稱】基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

【立項編號】JYYB-2018022

一、問題辨析

（2015高考四川，理20）如圖所示，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線l平行與x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22.

（1）求橢圓E的方程.

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

解：（1）橢圓E的方程為x24+y22=1（過程略）.

（2）由橢圓的對稱性可知，若存在這樣的定點Q，則點Q必在y軸上，可設(shè)Q點的坐標(biāo)為（0，y0）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于M，N兩點.

則M（0，2），N（0，-2），

由|QM||QN|=|PM||PN|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標(biāo)只可能為Q（0，2）.

下面證明：對任意的直線l，均有|QA||QB|=|PA||PB|.

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）.

聯(lián)立x24+y22=1y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.

其判別式Δ=16k2+8（2k2+1）>0，

所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.

解法一：（進一步利用橢圓的對稱性，作點B的對稱點將問題轉(zhuǎn)化，將目標(biāo)關(guān)系|QA||QB|=|PA||PB|，借助對稱、共線條件，利用斜率進行求解，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的比值問題）

因此1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k.

易知，點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為B′（-x2，y2）.

又因為kQA=y1-2x1=k-1x1，kQB'=y2-2-x2=-k+1x2=k-1x1.

所以kQA=kQB'，即Q，A，B三點共線，

所以|QA||QB|=|QA|QB'=x1x2.

又因為P，A，B三點共線，所以有|PA||PB|=x1x2，

因此有|QA||QB|=|PA||PB|總成立，

故存在與點P不同的定點Q（2，0），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.

若能注意到“是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立”的本質(zhì)是y軸即∠AQB的角平分線，進而轉(zhuǎn)化為∠AQO=∠BQO，然后轉(zhuǎn)化為kQA+kQB進行求解，可大大減小學(xué)生的思維量和運算量，對學(xué)生而言，是比較容易接受的一種方法.

解法二：kQA=y1-2x1=kx1-1x1，kQB=y2-2x2=kx2-1x2，

因為kQA+kQB=kx1-1x1+kx2-1x2=2kx1x2-（x1+x2）x1x2=2k-22k2+1--4k2k2+1-22k2+1=0.

所以y軸平分∠AQB，由角平分線定理有|QA||QB|=|PA||PB|.

二、拓展結(jié)論

通過對此題的研究，我們得到了橢圓涉及該類型的一般性質(zhì)，同時可以推廣到一般的圓錐曲線，得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足mn=b2，過點P的直線l交橢圓于A，B兩點，設(shè)直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

性質(zhì)2：已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足mn=-b2，過點P的直線l交雙曲線于A，B兩點，設(shè)直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

性質(zhì)3：已知圓x2+y2=r2（r>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足mn=r2，過點P的直線l交圓于A，B兩點，設(shè)直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

性質(zhì)4：已知拋物線x2=2py（p>0），點P（0，m），Q（0，n）是y軸上的兩個定點，且滿足m+n=0，過點P的直線l交橢圓于A，B兩點，設(shè)直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0.

上述性質(zhì)都是考慮定點在y軸上的情形，其實，定點在x軸上也是有類似或相關(guān)的性質(zhì)，這里略.

三、強化運用

1.（人教A版選修4習(xí)題改編）橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是53，定點M（2，0），橢圓短軸的端點是B1，B2，且MB1⊥MB2.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點，試問：x軸上是否存在定點，使PM平分∠APB？若存在，求出點P的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

2.（2016福建省高一數(shù)學(xué)競賽15）如圖所示，圓O的圓心在坐標(biāo)原點，過點P（0，1）的動直線l與圓O相交于A，B兩點.當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被圓O截得的線段長為23.

（1）求圓O的方程.

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

3.（2015高考新課標(biāo)1，理20）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=x24與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.

（1）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程.

（2）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

4.（2015高考北京，理19）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，點P（0，1）和點A（m，n）（m≠0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M.

（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)（用m，n表示）.

（2）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

5.（2015高考湖北，理14）如圖所示，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）過點A任意作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，

下列三個結(jié)論：

① |NA||NB|=|MA||MB|;

② |NB||NA|-|MA||MB|=2;③ |NB||NA|+|MA||MB|=22.

其中正確結(jié)論的序號是：.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

四、歸納總結(jié)

圓錐曲線是高考的重點內(nèi)容，且相對比較穩(wěn)定，題目綜合性較強.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是重要考點，常以探究存在性問題的形式出現(xiàn)，因為解題方法的原因，有不少教師將其歸結(jié)為“角度問題”.具體解題時，一般是先假設(shè)所求要素是存在的，設(shè)出點的坐標(biāo)、直線方程，代入圓錐曲線方程，歸結(jié)為關(guān)于x的一元二次方程，并利用交點坐標(biāo)以及根與系數(shù)關(guān)系，將交點的橫坐標(biāo)之和與積用一元二次方程的系數(shù)表示出來，依據(jù)題中已知條件，聯(lián)系待求的結(jié)論，選擇合適的方法進行解答.在解答過程中，往往需要運用轉(zhuǎn)化的思想，比如解析幾何中涉及角度問題，通?？梢詫栴}轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的三角函數(shù)，或者斜率等知識進行求解.

【參考文獻(xiàn)】

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