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基于向量式有限元的空間格構(gòu)柱屈曲破壞

2020-01-11 01:04陳楠劉龍馬月
計(jì)算機(jī)輔助工程 2020年4期
關(guān)鍵詞:屈曲有限元法載荷

陳楠 劉龍 馬月

摘要:

基于向量式有限元法對(duì)空間格構(gòu)柱受載荷下的屈曲行為進(jìn)行數(shù)值分析,編制屈曲分析的數(shù)值計(jì)算程序,通過(guò)屈曲平衡路徑追蹤獲得失穩(wěn)臨界載荷,探討不同加載控制方法對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響??紤]材料非線性的影響,對(duì)5層空間格構(gòu)柱的載荷屈曲過(guò)程進(jìn)行分析,獲得載荷位移全過(guò)程曲線,并與格構(gòu)柱的加載破壞試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明:向量式有限元采用位移控制法能夠較好地分析空間格構(gòu)柱的屈曲失穩(wěn)破壞過(guò)程,獲取準(zhǔn)確的極限穩(wěn)定承載力。

關(guān)鍵詞:

向量式有限元; 位移控制; 空間格構(gòu)柱; 屈曲; 失穩(wěn)

中圖分類號(hào):? TU395; TB115.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:? B

Buckling failure of spatial lattice columns based on vector form intrinsic finite element method

CHEN Nan, LIU Long, MA Yue

(Offshore Engineering Institute, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China)

Abstract:

Based on the vector form intrinsic finite element method, the buckling behaviors of spatial lattice columns under loads are analyzed numerically, and the computing program for buckling analysis is developed, and then the buckling equilibrium path is tracked to obtain critical load of instability. The effects of different load control methods on computed results are discussed. On considering the effects of the material nonlinearity, the buckling process of 5layer spatial lattice column is analyzed, and the loaddisplacement curve of the whole buckling process is obtained. The computed results are compared with the experiment data, and it shows that the displacement controlling mode of vector form intrinsic finite element method is more suitable for analyzing the structural buckling of spatial lattice column. The ultimate stability bearing capacity of the column can be obtained accurately.

Key words:

vector form intrinsic finite element; displacement controlling; spatial lattice column; buckling; instability

0 引 言

格構(gòu)柱結(jié)構(gòu)能充分利用構(gòu)件性能、節(jié)約材料,在工程中應(yīng)用廣泛。格構(gòu)柱構(gòu)件眾多,結(jié)構(gòu)高聳且柔度較大,因此整體屈曲破壞前易發(fā)生局部構(gòu)件的屈曲失穩(wěn),結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題一直是研究的難點(diǎn)。[1]理論分析和有限元法等可為分析失穩(wěn)問(wèn)題提供有力支撐。田偉等[2]和趙東東等[3]通過(guò)彈性屈曲分析和考慮大變形的彈塑性非線性分析,考察格構(gòu)柱的穩(wěn)定性能,但計(jì)算過(guò)程中需要集成剛度矩陣和求解大量非線性方程,對(duì)復(fù)雜格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的屈曲路徑跟蹤仍有一定困難[4]。一般有限元屈曲分析需要先進(jìn)行預(yù)應(yīng)力分析,再不斷更新結(jié)構(gòu)初始屈曲形態(tài),該方法計(jì)算效率較低且容易遇到求解不收斂的問(wèn)題。

向量式有限元法是結(jié)合向量力學(xué)和有限元概念提出的一種力學(xué)計(jì)算方法,能夠有效求解結(jié)構(gòu)的彈塑性、屈曲失穩(wěn)、碰撞和倒塌等復(fù)雜力學(xué)行為。[56]因?yàn)樵摲椒ǖ难芯繉?duì)象是結(jié)構(gòu)的眾多質(zhì)點(diǎn),不需要集成剛度矩陣和迭代求解非線性方程,所以在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中不需要特殊處理即可越過(guò)極值點(diǎn),能夠有效跟蹤屈曲和后屈曲變形的全過(guò)程。[7]利用該優(yōu)勢(shì),在格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)破壞研究中,李阿龍等[8]分析結(jié)構(gòu)屈曲路徑時(shí)提出一種先利用非線性力法預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)位移方向、再通過(guò)向量式有限元法進(jìn)行修正的方法。陳沖[9]運(yùn)用向量式有限元梁?jiǎn)卧碚摚治龈駱?gòu)式結(jié)構(gòu)受到外界載荷沖擊后從局部失效到整體倒塌的全過(guò)程力學(xué)特性。姚旦等[10]利用向量式有限元法研究某大跨越格構(gòu)式輸電塔在風(fēng)載荷作用下的失穩(wěn)倒塌問(wèn)題。這些研究對(duì)空間格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的向量式有限元屈曲分析多采用簡(jiǎn)化的桿單元,大部分沒有考慮材料非線性的影響,未能充分利用載荷位移曲線考察結(jié)構(gòu)整體和局部屈曲、失穩(wěn)的實(shí)際過(guò)程。

本文基于向量式有限元梁?jiǎn)卧碚?,利用MATLAB編制計(jì)算程序,研究空間格構(gòu)柱的屈曲破壞過(guò)程。通過(guò)LEE框架算例討論位移控制和力控制2種加載方式對(duì)分析結(jié)果的影響。在考慮材料非線性的基礎(chǔ)上,分析5層空間格構(gòu)柱的彈塑性屈曲破壞過(guò)程。

1 向量式有限元基本原理

向量式有限元結(jié)構(gòu)分析基于點(diǎn)值描述、途徑單元和逆向運(yùn)動(dòng)等3個(gè)基本過(guò)程。首先,將結(jié)構(gòu)的空間形態(tài)用有限數(shù)量的點(diǎn)描述,生成節(jié)點(diǎn)和單元;然后,通過(guò)牛頓運(yùn)動(dòng)定律控制節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),利用單元逆向運(yùn)動(dòng)獲取純變形以計(jì)算內(nèi)力,通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換確定方向;最后,將在一時(shí)間段內(nèi)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)變形劃分為多個(gè)時(shí)間微段的途徑單元,每個(gè)途徑單元都更新局部坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)位置形狀的逐步更新。

向量式有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算流程如下:

(1)確定結(jié)構(gòu)的材料、截面性質(zhì)、阻尼、計(jì)算步長(zhǎng)和總時(shí)長(zhǎng)等參數(shù)。

(2)將結(jié)構(gòu)劃分為節(jié)點(diǎn)和梁?jiǎn)卧?/p>

(3)通過(guò)中央差分控制方程計(jì)算節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

(4)由逆向運(yùn)動(dòng)獲得單元的純變形,并確定內(nèi)力的大小和方向。

(5)更新控制方程中的外力和內(nèi)力。

(6)判斷是否達(dá)到計(jì)算終止時(shí)間:若否,則重復(fù)第(3)~(5)步;若是,則輸出分析結(jié)果。

力控制分析和位移控制分析是2種基本的分析方法。力控制法以力為自變量,通過(guò)控制方程計(jì)算位移響應(yīng);位移控制法以節(jié)點(diǎn)的位移為自變量,通過(guò)節(jié)點(diǎn)的反力反求其內(nèi)力。在屈曲分析中,2種方法各有優(yōu)劣,應(yīng)合理選擇。

1.1 控制方程及其求解

向量式有限元法的研究對(duì)象是一系列空間質(zhì)點(diǎn),故其控制方程是一組由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)公式,并運(yùn)用顯式的中央差分公式進(jìn)行求解。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程分別為

式中:m和I分別為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩;x和θ分別為質(zhì)點(diǎn)的線位移和角位移;F和M分別為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力和力矩。

將上述運(yùn)動(dòng)控制方程轉(zhuǎn)化為中央差分形式,即

式中:h為時(shí)間增量的步長(zhǎng),可設(shè)其為常數(shù);下標(biāo)中的n表示步數(shù)。根據(jù)胡克定律,受力后的無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)將維持持續(xù)振動(dòng)狀態(tài),因此在方程中加入虛擬的計(jì)算阻尼力,上述差分公式變?yōu)?/p>

1.2 梁?jiǎn)卧獌?nèi)力計(jì)算

向量式有限元結(jié)構(gòu)分析中的梁?jiǎn)卧譃槠矫媪簡(jiǎn)卧涂臻g梁?jiǎn)卧?種。平面梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移有3個(gè)分量,包括2個(gè)平移量和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)量,單元內(nèi)力除軸向力外還有1組剪力和彎矩。空間梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)分量包括3個(gè)平移量和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)量,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后,單元內(nèi)力包括軸力、扭矩,以及剪力和彎矩各2組。另外,平面梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的1個(gè)主軸方向(垂直于運(yùn)動(dòng)平面)不發(fā)生變化,而空間梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中3個(gè)主軸方向均會(huì)發(fā)生改變。

單元內(nèi)力大小與純變形有關(guān)。向量式有限元法利用逆向運(yùn)動(dòng)概念計(jì)算純變形,建立局部坐標(biāo)系并根據(jù)虛功原理計(jì)算內(nèi)力大小和方向,再通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)(坐標(biāo)轉(zhuǎn)換)讓內(nèi)力方向回到原來(lái)的位置,單元逆向運(yùn)動(dòng)示意見圖1。若桿單元1a2a經(jīng)運(yùn)動(dòng)變形到達(dá)12,則令12進(jìn)行虛擬的逆向運(yùn)動(dòng),包括平移(-u1)和轉(zhuǎn)動(dòng)(-θ),可得到桿件的純變形,即長(zhǎng)度變化Δ。

對(duì)于梁?jiǎn)卧浼冏冃纬€位移外還包括角位移。梁?jiǎn)卧蓆a運(yùn)動(dòng)至t的變形示意見圖2,其中u1為節(jié)點(diǎn)1的位移。節(jié)點(diǎn)1和2的轉(zhuǎn)角θ1、θ2分別為β1a與β1和β2a與β2的差量,單元12對(duì)1a2a的轉(zhuǎn)角θ為剛體轉(zhuǎn)角。在節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角θ1和θ2中,一部分為單元的剛體轉(zhuǎn)角,另一部分為單元自身幾何變形產(chǎn)生的彎角,由此可得到梁?jiǎn)卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)的彎角,即純變形1和2為

1.3 材料非線性

在結(jié)構(gòu)的破壞過(guò)程中,一般同時(shí)伴隨著幾何和材料的非線性問(wèn)題,只有同時(shí)考慮幾何大變形和材料彈塑性,才能比較真實(shí)地反應(yīng)結(jié)構(gòu)屈曲破壞過(guò)程。

為分析方便,采用雙線性強(qiáng)化彈塑性材料模型,見圖3。在應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力σy之前材料為完全彈性,應(yīng)力應(yīng)變曲線的斜率為彈性模量E;應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力后材料進(jìn)入塑性階段,應(yīng)力應(yīng)變曲線斜率為切線模量Et,一般可取Et=0.03E。

2 LEE框架算例

LEE框架示意見圖4,其受力變形過(guò)程具有顯著的非線性特征。

框架邊長(zhǎng)L=120 mm,截面積A=6 mm2,截面慣性矩I=2 mm4,彈性模量E=7.2 MPa。在構(gòu)件水平段距左端0.2L處加載豎直方向的力F。

用向量式有限元將框架劃分20個(gè)單元進(jìn)行分析,分別運(yùn)用力控制和位移控制加載形式跟蹤結(jié)構(gòu)的平衡路徑。

分別利用ANSYS和向量式有限元法的位移控制和力控制分析,得到加載點(diǎn)的載荷位移曲線,見圖5。本算例屬于躍越失穩(wěn)類型,隨著作用力的增大,結(jié)構(gòu)的受力和位移先穩(wěn)定上升,此時(shí)3條載荷位移曲線吻合較好;在位移約49.8 mm時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)(曲線極值點(diǎn)),之后框架發(fā)生躍越翻轉(zhuǎn),ANSYS分析和位移控制曲線均開始下降,此時(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負(fù)剛度狀態(tài),盡管兩者此時(shí)沒有吻合,但該下降段代表結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài),載荷位移曲線并不具有實(shí)際意義;當(dāng)力控制曲線越過(guò)失穩(wěn)載荷值后,微小的力增量會(huì)引起結(jié)構(gòu)位移的徒增,該段并非結(jié)構(gòu)的平衡路徑;在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)翻轉(zhuǎn)后,其變形緩慢增大,3條曲線再次吻合。

由ANSYS分析得到的失穩(wěn)載荷為18.8 kN,向量式有限元法位移控制分析得到載荷為19.1 kN,二者誤差僅為1.6%。向量式有限元法位移控制屈曲分析能夠有效越過(guò)極值點(diǎn),并追蹤結(jié)構(gòu)屈曲和后屈曲過(guò)程的平衡路徑,而力控制分析相對(duì)沒有此優(yōu)勢(shì)。因此,應(yīng)用向量式有限元法進(jìn)行屈曲分析應(yīng)盡量采用位移控制方式。

3 空間格構(gòu)柱的屈曲過(guò)程分析

5層空間格構(gòu)柱的有限元模型[11]見圖6,該格構(gòu)柱由主肢桿、水平桿和斜綴條組成。桿件長(zhǎng)度均為120 mm,截面均為8.0 mm×1.9 mm,材料為6061鋁合金,彈性模量為68.9 GPa,受壓屈服強(qiáng)度為55.2 MPa,泊松比為0.33。

格構(gòu)柱底端固定,在頂端豎直向下施加載荷并限制頂端節(jié)點(diǎn)的水平位移,運(yùn)用向量式有限元法空間梁?jiǎn)卧M(jìn)行仿真分析。為提高計(jì)算效率,將每個(gè)桿件劃分為3個(gè)單元,模型共有192個(gè)單元和152個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用位移控制加載方式,加載速度為2.5×10-3 mm/s。

格構(gòu)柱受載屈曲過(guò)程具有顯著的幾何非線性和材料非線性特點(diǎn)。向量式有限元法分析時(shí),以前一個(gè)途徑單元為參考不斷更新主軸坐標(biāo),實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)形狀和位移的逐步更新,故其具有二階分析的特點(diǎn)。在考慮結(jié)構(gòu)的材料非線性時(shí),彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線見圖7。

向量式有限元法分析和文獻(xiàn)[11]格構(gòu)柱豎直加載方向的載荷位移全過(guò)程曲線見圖8。2條曲線總體上趨勢(shì)一致;在位移0~3.5 mm段2條曲線吻合較好,在位移約3.5 mm處曲線的極值點(diǎn),即結(jié)構(gòu)的極限載荷處,二者誤差僅為1.8%;越過(guò)此極值點(diǎn)后,當(dāng)位移達(dá)5.0 mm時(shí)發(fā)生二次失穩(wěn);在結(jié)構(gòu)的主要承載桿件屈曲破壞后,格構(gòu)柱的穩(wěn)定承載能力逐漸減弱直至喪失。

向量式有限元法分析得到的3個(gè)不同加載位移時(shí)格構(gòu)柱的變形見圖9。加載位移為1.0 mm時(shí),結(jié)構(gòu)只是處于軸向壓縮狀態(tài),沒有發(fā)生側(cè)向變形;加載位移為5.0 mm時(shí),格構(gòu)柱第三層肢桿率先發(fā)生屈曲失穩(wěn);加載位移達(dá)到45.0 mm時(shí),格構(gòu)柱的多個(gè)桿件相繼屈曲失效,其中第三層桿件屈曲變形最為顯著。文獻(xiàn)[11]中格構(gòu)柱的屈曲變形主要發(fā)生在第三、四層肢桿,破壞后的格構(gòu)柱屈曲形態(tài)也與向量式有限元法的分析結(jié)果相似。

向量式有限元法屈曲分析得到的格構(gòu)柱主要失穩(wěn)部位與試驗(yàn)結(jié)果相符,失穩(wěn)載荷與試驗(yàn)值接近,驗(yàn)證向量式有限元法屈曲分析的有效性。

向量式有限元法的分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)差異:一方面可能

是因?yàn)楦駱?gòu)柱試件存在初始缺陷,如初始彎曲、初始偏心等,所以在試件加載過(guò)程中,力的方向很難做到一直保持垂直狀態(tài),可能會(huì)偏移;另一方面,向量式有限元利用中心差分方程進(jìn)行迭代,受時(shí)間步長(zhǎng)的影響,計(jì)算結(jié)果的精度也有待進(jìn)一步提高。

4 結(jié) 論

基于向量式有限元梁?jiǎn)卧碚?,利用MATLAB軟件編制程序進(jìn)行格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的屈曲行為分析,不需要特殊處理即可有效分析格構(gòu)柱大變形、大變位、彈塑性等復(fù)雜力學(xué)問(wèn)題,主要得出以下結(jié)論:

(1)考慮幾何非線性和材料非線性特點(diǎn),向量式有限元能夠有效求解得到空間格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的屈曲平衡路徑和失穩(wěn)載荷,從而為工程上鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)分析提供參考。

(2)對(duì)于載荷位移曲線具有極值點(diǎn)的躍越失穩(wěn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題,采用位移控制分析更有優(yōu)勢(shì),能夠獲取曲線下降段和精確的失穩(wěn)載荷。

(3)向量式有限元直接對(duì)所有節(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,能夠判斷超靜定結(jié)構(gòu)局部失穩(wěn)和整體失穩(wěn)的關(guān)系,并能獲取有效的結(jié)構(gòu)后屈曲行為。

基于本文分析結(jié)果,應(yīng)進(jìn)一步提高向量式有限元法的計(jì)算精度和效率;同時(shí)結(jié)合可靠的試驗(yàn)數(shù)據(jù),引入向量式有限元板單元、固體單元等,進(jìn)行精細(xì)化結(jié)構(gòu)失穩(wěn)斷裂分析。

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(編輯 武曉英)

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