鄭宇新

摘? 要：數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法。通過(guò)一些手段來(lái)解決生活當(dāng)中出現(xiàn)的一些問(wèn)題，進(jìn)而可以提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活的，也是服務(wù)于生活的，與我們的生活和工作有著密不可分的關(guān)系。因此，在生活當(dāng)中，我們應(yīng)該形成數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，把數(shù)學(xué)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)用的技能，從而完成對(duì)生活中問(wèn)題的解決。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模? 實(shí)際生活? 應(yīng)用? 策略

中圖分類號(hào)：G64? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-3791（2020）11（c）-0166-03

The Application of Mathematical Modeling in Life

ZHENG Yuxin

（Jilin Normal University， Changchun， Jilin Province， 130000 China）

Abstract： Mathematical modeling is a mathematical way of thinking， is the use of mathematical language， methods， through some means to solve some of the problems in life. In turn， it can improve our ability to analyze and solve problems. Mathematics comes from life， it also serves life， closely related to our life and work. Therefore， we should form a sense of mathematical modeling in life， and transform mathematical knowledge into practical skills， so as to solve problems in life.

Key Words： Mathematical modeling; Real life; Use; Strategy

1? 基本概念

數(shù)學(xué)建模主要就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)而來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，并且對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解和計(jì)算，然后根據(jù)所求的運(yùn)算結(jié)果去解決生活當(dāng)中的實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型的實(shí)質(zhì)就是一種動(dòng)態(tài)的模擬，不是固定的思維方式，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)，數(shù)學(xué)的公式、語(yǔ)言、圖形等對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象并且加以概括和刻畫，從而可以解釋生活當(dāng)中一些客觀的現(xiàn)象以及發(fā)展的規(guī)律。數(shù)學(xué)建模需要人們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，以及對(duì)生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致的觀察和分析，從問(wèn)題當(dāng)中進(jìn)行抽象，提煉出數(shù)學(xué)模型就叫作數(shù)學(xué)建模。

2? 建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程

先要進(jìn)行模型的準(zhǔn)備，第一步要了解問(wèn)題的實(shí)際背景以及背后的實(shí)際含義，并且收集各種有關(guān)問(wèn)題的信息，用數(shù)學(xué)的思想方法來(lái)分析和理解問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。第二步就是對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)，在模型準(zhǔn)備過(guò)后需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，考慮各種可能發(fā)生的情況以及突發(fā)事件，用精準(zhǔn)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這些問(wèn)題。第三步就是模型的建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)工具來(lái)刻畫常量與變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。第四步就是模型的求解，對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型通過(guò)一系列的手段來(lái)進(jìn)行計(jì)算出結(jié)。第五步就是對(duì)模型進(jìn)行分析，我們已經(jīng)得到了計(jì)算的結(jié)果，就要對(duì)所建立數(shù)學(xué)模型的思路進(jìn)行闡述并加以說(shuō)明，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。第六步就是模型檢驗(yàn)，將模型分析所得的結(jié)果與實(shí)際情況相比較，來(lái)檢驗(yàn)所建立的數(shù)學(xué)模型是否具有準(zhǔn)確性、合理性、適用性。如果所建立的模型與實(shí)際問(wèn)題的情況比較吻合，那么就需要對(duì)計(jì)算的結(jié)果給出其含義，并進(jìn)行解釋;如果所建立的模型與實(shí)際問(wèn)題吻合程度差的很多，那就需要進(jìn)行修改，再重新建立模型，再經(jīng)過(guò)計(jì)算和檢驗(yàn)。

3? 數(shù)學(xué)模型在生活中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模在生活中的應(yīng)用，就是將數(shù)學(xué)建模的思想方法從書本當(dāng)中的固定知識(shí)和科研的領(lǐng)域當(dāng)中逐漸轉(zhuǎn)向商業(yè)化的領(lǐng)域，解決生活當(dāng)中出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用遍及生活中的各個(gè)角落，比如投資組合、最優(yōu)解問(wèn)題、指派問(wèn)題、車輛調(diào)度、人口預(yù)報(bào)、分期付款等。所以，數(shù)學(xué)建模在人們的生產(chǎn)生活當(dāng)中具有重大的意義，下面列舉一些生活當(dāng)中應(yīng)用建模的實(shí)例。

在生活中，我們會(huì)面臨銀行還貸款的問(wèn)題，知道銀行還貸款的年利率為5.58%，如果我們今年急需用錢，需要向銀行貸款15萬(wàn)元，并且20年還清。在這20年中，每個(gè)月需要還貸款的金額是不變的，問(wèn)每個(gè)月應(yīng)該還給銀行多少錢？如果現(xiàn)在已經(jīng)還了14個(gè)月，在此時(shí)銀行降低年利率為5.31%，此后還的貸款按照新的年利率算，問(wèn)以后每個(gè)月需要還多少錢？對(duì)于這道實(shí)際問(wèn)題，我們?cè)O(shè)x為每個(gè)月需要還的貸款金額，r為月利率，為第i個(gè)月欠銀行的錢數(shù)，n為需要還款的月數(shù)，所以，我們就有如下公式：

在這里a0為最初的還給銀行貸款的，an為最后一個(gè)需要還欠銀行的錢數(shù)。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，假設(shè)還給銀行的貸款k個(gè)月以后，年利率降低了，此時(shí)第k個(gè)月之后用過(guò)該還給銀行的總錢數(shù)就為，我們將此總錢數(shù)作為原始的貸款的總錢數(shù)。則需要還給銀行的貸款時(shí)間為n-k個(gè)月。

每個(gè)學(xué)生都要經(jīng)歷考試，所以教師要制訂合理的出題方案就顯得尤為重要。編寫一張?jiān)嚲硇枰紤]諸多因素，根據(jù)基礎(chǔ)性、重要性、啟發(fā)性、難易程度、應(yīng)用性這幾類所占的比例來(lái)編寫一張?jiān)嚲?，如果現(xiàn)在有一本書，在這本書當(dāng)中有N個(gè)章，每一章又有不同的節(jié)，每一個(gè)節(jié)又有不同的考點(diǎn)，所以如何根據(jù)這本書編寫一張?jiān)嚲?？我們可以用?shù)學(xué)建模當(dāng)中的層次分析法來(lái)解決問(wèn)題，首先可以從章出發(fā)，建立層次結(jié)構(gòu)圖，將基礎(chǔ)性這類因素設(shè)為準(zhǔn)則層，將每一章設(shè)為方案層;其次根據(jù)隨機(jī)一致性指標(biāo)制造出基礎(chǔ)性這類因素對(duì)章的影響程度設(shè)為矩陣A，根據(jù)公式來(lái)進(jìn)行編程最后會(huì)得到CR=0，也就是一致性比率為0，得到一致性檢驗(yàn)合格。

我們每個(gè)人都愿意去商場(chǎng)里購(gòu)物，在購(gòu)物滿意度問(wèn)題中，人們常常會(huì)碰到如何利用一定量的錢來(lái)購(gòu)買兩種商品的問(wèn)題，由于我們所帶的錢數(shù)是一定的，但是我們更偏愛其中一種商品的時(shí)候，那么去買當(dāng)中一種商品就會(huì)比較多，所以我們必然就要少買另一種商品，但是這種情況人們的滿意度就不會(huì)很高，那么如何花費(fèi)一定量的錢，才能使顧客達(dá)到最滿意的效果呢？在這一問(wèn)題中，就要用效用函數(shù)來(lái)解決，也就是在數(shù)學(xué)模型當(dāng)中出現(xiàn)最優(yōu)解的問(wèn)題，當(dāng)人們同時(shí)購(gòu)買兩種產(chǎn)品，要使?jié)M意度達(dá)到最大，也就是所列的函數(shù)值最大，進(jìn)而才能使購(gòu)物分配方案達(dá)到最佳。

生活當(dāng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題就是凳子能在不平的平面上平穩(wěn)嗎？對(duì)于這類題首先要用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言把凳子的位置和4只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)，我們?cè)O(shè)凳子的4個(gè)角分別設(shè)為A、B、C、D，利用正方形（椅腳連線）的對(duì)稱性用x表示凳子的位置，其中A、C，兩腳與地面的距離之和設(shè)為f（x），B、D兩腳與地面的距離之和設(shè)為g（x），我們知道地面是連續(xù)曲面，所以兩個(gè)函數(shù)f（x），g（x）是連續(xù)的，其次椅子在任意位置至少三只腳著地，所以對(duì)任意的x，f（x），g（x）至少一個(gè)為0，所以f（x），g（x）是連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意的x，f（x）·g（x）=0;g（0）=0，f（0）>0。根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)，進(jìn)而來(lái)求解。

我們每個(gè)人都有過(guò)趕高鐵列車的經(jīng)歷，現(xiàn)在有12名乘客想要去40 km處的一個(gè)高鐵列車站去乘坐高鐵，但是現(xiàn)在距離高鐵列車開車的時(shí)間就只有3 h了，如果要是步行前去的話，他們的速度是4 km/h，所以靠步行是沒有時(shí)間了，唯一剩下的交通工具就是一輛出租車，但是這輛出租車包括司機(jī)在內(nèi)最多只能坐下5個(gè)人，出租車行駛的速度是60 km/h，那這12名乘客能趕上火車嗎？對(duì)于這類問(wèn)題，面對(duì)不同的搭乘方法會(huì)有不同的答案。通常情況會(huì)有兩種：第一種就是不能趕上，第二種就是能趕上，針對(duì)第一種情況，用出租車接送乘客需要3次，加上出租車需要往返那么一共就是3+2=5次，出租車行駛的總路程為5×40=200（km），時(shí)間為200/60=10/3（h）所以全靠出租車是無(wú)法全部趕上的。針對(duì)第二種情況，出租車接送第一波乘客的時(shí)候，讓其他的乘客先步行，這樣可以節(jié)省一些時(shí)間，設(shè)第一趟出租車共用了x小時(shí)，這時(shí)出租車和其他的乘客的總路程為一個(gè)來(lái)回，所以4x+60x=40×2解得x=1。25（h）剩下的人與高鐵站的距離為40-1。25×4=35（km）依次類比，第二趟大約需要1.09 h，剩下的乘客與高鐵站的距離大約為30.63 km，第三趟大約需要0.51 h，因此一共用的時(shí)間為1.25+1.09+0.51=2.85（h），所以這些乘客是能趕上列車的。

4? 應(yīng)用總結(jié)

通過(guò)以上幾個(gè)例子，可以初步的了解模型的構(gòu)建，利用數(shù)學(xué)建模去解決生活當(dāng)中各種問(wèn)題時(shí)，建立模型是十分關(guān)鍵的一步，建立模型的過(guò)程簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是將各種復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化、抽象，概括為合理的解釋，對(duì)于一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，更是需要通過(guò)調(diào)查，收集資料來(lái)抓住一些問(wèn)題的關(guān)鍵，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問(wèn)題。我們要知道數(shù)學(xué)建模是一種思維方式，不是一個(gè)固定的解題方法，所以在面對(duì)問(wèn)題的時(shí)候，我們要靈活地處理問(wèn)題，在建立模型前要做好準(zhǔn)備，要知道解決的是什么問(wèn)題，并且也要把假設(shè)的情況想清楚，把不必要的因素或者突發(fā)事件考慮周到，為接下來(lái)建模做好準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)建模的建立卻需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行深入和細(xì)致的研究，并且仔細(xì)觀察和分析，認(rèn)真思考問(wèn)題的關(guān)鍵，并且巧妙靈活地運(yùn)用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題。不管是在用數(shù)學(xué)的思想方法在生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪一類問(wèn)題，還是與其他學(xué)科相結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，首要的和關(guān)鍵就在于建立模型，并且運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)加以計(jì)算和求解，在其中計(jì)算機(jī)技術(shù)在生活中的應(yīng)用可謂是錦上添花。

在生活當(dāng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，可以提高學(xué)生的思維水平和解決問(wèn)題的能力，改變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而更能將書本上的知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)用的技能，因此數(shù)學(xué)建模在生活當(dāng)中的應(yīng)用無(wú)時(shí)無(wú)刻出現(xiàn)在我們身邊，其在生活當(dāng)中具有重要作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 許亞鵬.數(shù)學(xué)建模在生活應(yīng)用中的探究[J].信息記錄材料，2018，19（11）：221-222.

[2] 楊帆，李延勇，何延治.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探究[J].林區(qū)教學(xué)，2015（12）：88-89.

[3] 翟立英.數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].哈爾濱師范大學(xué)，2019.

[4] 孫彬.高中生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的現(xiàn)狀及培養(yǎng)策略研究[D].寧波大學(xué)，2019.

[5] 王丹.數(shù)學(xué)建模思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].陜西師范大學(xué)，2016.

[6] 范思岐.高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)影響因素研究[D].山東師范大學(xué)，2019.