巫瑤 湯強(qiáng)

【摘要】在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的背景下，新提出了數(shù)學(xué)的六大學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算就是其中之一 .而數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)主要體現(xiàn)在理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探索運(yùn)算思路以及分析運(yùn)算結(jié)果這四個(gè)方面，這四個(gè)方面是高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的有效途徑.

【關(guān)鍵詞】 高中生;數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中新提出的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1].其中數(shù)學(xué)運(yùn)算反映的是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，也是解決數(shù)學(xué)與其他學(xué)科問題的基本手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基石，它是數(shù)學(xué)思維的過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的核心素養(yǎng)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)階段，學(xué)生的運(yùn)算能力直接關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)的整體水平.在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，將數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，并明確數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，而它主要表現(xiàn)在理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路以及求得運(yùn)算結(jié)果[1].數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，其中蘊(yùn)含著“演繹推理”的重要數(shù)學(xué)思想.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是不受個(gè)人的主觀意識(shí)控制的，它是由公式、定理本身的客觀規(guī)律推動(dòng)前行的.數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅能使學(xué)生具有更加條理化、清晰化的思維，比如對(duì)于解決一個(gè)問題，學(xué)生能清晰明確地知道先算什么，再算什么，最后算什么.除此之外，運(yùn)算還能夠培養(yǎng)學(xué)生的耐心、意志力與創(chuàng)新思維能力，特別是遇到比較復(fù)雜的運(yùn)算，比如，在高中學(xué)習(xí)的解析幾何中，是用代數(shù)的方法來解決幾何問題，這樣雖然讓運(yùn)算思路得到簡(jiǎn)單化，但是其中的運(yùn)算過程卻更加復(fù)雜，這時(shí)就特別考查學(xué)生運(yùn)算的耐心以及創(chuàng)新思維.學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不單單是對(duì)數(shù)學(xué)這一個(gè)學(xué)科有影響，在物理、化學(xué)乃至生物的學(xué)習(xí)中也會(huì)涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的問題，可以看出數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)可以充分體現(xiàn)一名學(xué)生的整體素養(yǎng).因此教師在課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)以及從哪些方面培養(yǎng)成為一線教師以及教學(xué)研究者們非常關(guān)注的話題，而我將從數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的四大主要表現(xiàn)來淺談教師應(yīng)如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

一、理解運(yùn)算對(duì)象：運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的起始點(diǎn)

要想解決一個(gè)運(yùn)算問題，不管采用何種運(yùn)算方法，前提都是正確地理解問題的運(yùn)算對(duì)象.而理解運(yùn)算對(duì)象的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是：能否準(zhǔn)確地用自己的語言對(duì)運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行表述，從不同的側(cè)面多角度地進(jìn)行表征運(yùn)算對(duì)象，從而得到不同的運(yùn)算思路[2].因此教師要去開拓學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生深刻理解問題的本質(zhì)，最終探索出不同的運(yùn)算思路與方法技巧.

例如，在數(shù)列中求an 時(shí)，若題中已知Sn ，大部分學(xué)生都知道用an=Sn-Sn-1 ，但對(duì)于部分學(xué)困生來講，可能知道這個(gè)式子的大概形式，而在實(shí)際運(yùn)用時(shí)可能就會(huì)用成an=Sn+1-Sn，或者根本不會(huì)去考慮運(yùn)用an=Sn-Sn-1時(shí)需要滿足條件n≥2 且n∈N，這部分學(xué)生就是對(duì)式子的本質(zhì)沒有理解透徹，不知道這個(gè)式子是如何得來的，為什么是an=Sn-Sn-1，而不是an-1=Sn-Sn-1，部分新任教師在教學(xué)中容易忽略這方面的講解，可能認(rèn)為這是個(gè)顯而易見的事實(shí)，學(xué)生能夠直接理解，根本不需要給學(xué)生過多地解釋式子的由來，但針對(duì)部分學(xué)困生而言卻真的會(huì)出現(xiàn)上述問題，因此這就要求教師在教學(xué)中注意講解該式的由來，讓學(xué)生理解該式中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，正確理解運(yùn)算過程中的運(yùn)算對(duì)象，而非讓學(xué)生死記硬背.

再如，在△ABC 中，a，b，c 分別為角A，B，C 所對(duì)的邊，若a=2bcos C，請(qǐng)判斷此三角形的形狀.

經(jīng)過分析，此題是一個(gè)關(guān)于解三角形的問題，其中涉及正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，但在具體問題中學(xué)生卻很難抉擇出到底該應(yīng)用哪一個(gè)定理來解決該問題.事實(shí)上，針對(duì)不同的運(yùn)算對(duì)象有著不同的運(yùn)算思路，以下分別以角和邊作為不同的運(yùn)算對(duì)象來分析問題.

（1）若從角入手，解題思路就是將三角形中的邊全都轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的角來表示，即sin A=2sin Bcos C ，再利用A+B+C=π， 有sin A=sin（π-B-C） ，再由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和（差）的正弦公式，得到sin（B-C）=0，以此判斷出該三角形是等腰三角形;

（2）若從邊入手，則需將其中所涉及的角全都轉(zhuǎn)化成用邊來表示，即a2b=a2+b2-c22ab，經(jīng)過化簡(jiǎn)，得到b2-c2=0 ，以此判斷出該三角形是等腰三角形.

數(shù)學(xué)運(yùn)算的切入點(diǎn)是要正確地理解運(yùn)算的對(duì)象，數(shù)學(xué)的運(yùn)算對(duì)象可以是數(shù)、字母、角度、向量、集合、函數(shù)等，這些運(yùn)算對(duì)象的來源一方面是其他學(xué)科與現(xiàn)實(shí)生活的抽象，另一方面是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象的概念、定義以及表示的理解，而此題的運(yùn)算對(duì)象可以視為字母（邊長(zhǎng)）或者角，雖選擇的運(yùn)算對(duì)象不同，解題思路也不同，但都可以成功地解決此題.然而有部分題針對(duì)理解的運(yùn)算對(duì)象不同，就會(huì)使其運(yùn)算過程難易程度不同，準(zhǔn)確深刻地理解運(yùn)算對(duì)象，從而把握問題運(yùn)算的本質(zhì).因此正確地理解運(yùn)算對(duì)象是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的起始點(diǎn).

二、掌握運(yùn)算法則：運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的著力點(diǎn)

運(yùn)算法則是確保運(yùn)算結(jié)果具有唯一性的重要保障，掌握各種運(yùn)算的運(yùn)算法則，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的著力點(diǎn).然而這就要求學(xué)生要熟練掌握數(shù)學(xué)中的基本概念、法則、公式、定理等，使之成為運(yùn)算過程中的重要依據(jù).數(shù)學(xué)中的基本概念、法則、公式、定理都是我們所謂的基礎(chǔ)知識(shí).俗話說“根基穩(wěn)，修建的房屋才不會(huì)塌”.擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.因此，掌握好這些數(shù)學(xué)的基本知識(shí)可為后續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)，也能使學(xué)生更好地去分析、解決問題.

例如，在△ABC中，a，b，c 分別為角A，B，C 所對(duì)的邊，C=π4，a=2，S△ABC=2，求3a-b+2c3sin A-sin B+2sin C的值.

基礎(chǔ)較差的學(xué)生可能會(huì)直接將其中的“a，b，c”換成“sin A，sin B，sin C ”，答案直接得出為“1”，究其原因就是這部分學(xué)生沒有正確把握三角函數(shù)運(yùn)算的法則，這也符合俄國心理學(xué)家巴普洛夫的條件反射理論，在以往解三角函數(shù)的問題中，都是直接將“a ”變?yōu)椤皊in A ”，從而直接解決問題，因此學(xué)生在解決此題時(shí)甚至都沒看清楚題意就直接將“a ”用 “sin A ”替代，這是因?yàn)樵谝酝鲱}時(shí)極大部分都是將其直接進(jìn)行替換，因此在學(xué)生心中就形成了一種慣性思維，認(rèn)為“a=sin A ”，根本沒有想過原來做題的過程中為何可以直接將“a ”用 “sin A ”替換，這就是對(duì)正弦定理的變換掌握不透徹，從而導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò).因此教師在此部分的教學(xué)中就要通過多種途徑來讓學(xué)生充分地理解各種運(yùn)算法則，掌握數(shù)學(xué)的基本理論知識(shí)，從而讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)算法以及算理的理解.

三、探索運(yùn)算思路：運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的突破點(diǎn)

運(yùn)算思路是成功解決問題的途徑，只有正確的思路才能成功地解決相關(guān)問題.但運(yùn)算的思路不只是單就一個(gè)題而言，更多的是針對(duì)一種類型的題.不同的運(yùn)算思路涉及不同的運(yùn)算量，有部分學(xué)生可能對(duì)問題有一定的認(rèn)識(shí)，有一點(diǎn)思路，但并不是最佳的思路，導(dǎo)致運(yùn)算量極大，最終運(yùn)算無果.因此只有在平時(shí)練習(xí)時(shí)不斷地思考，并從多方面去探索解題的運(yùn)算思路，最終才能尋求到最佳的解題途徑.

例如，求y=x-5+24-3x的值域.

思路1 高中階段的學(xué)生學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，都是直接對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性與極值，最后求出函數(shù)的值域.這種方法也是大部分學(xué)生能想到的唯一解題方法，學(xué)生在解這一類型的題時(shí)被定勢(shì)思維所影響，只想著用當(dāng)下學(xué)到的知識(shí)去解決問題.此題用函數(shù)求導(dǎo)法求解，其中對(duì)含有根號(hào)的函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算量相對(duì)來講比較大，很多基礎(chǔ)不太好的學(xué)生在求導(dǎo)中很容易出錯(cuò)，最終導(dǎo)致解題無果.但此法可以更好地培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)思想解決問題，并且正因?yàn)楦?hào)的參與，能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

思路2 設(shè)法利用換元思想來消去式子中的根號(hào)，令u=x-5 ，v=24-3x，這樣將求函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化成求y=u+v 這條直線與橢圓u23+v29=1（u≥0， v≥0） 在第一象限有交點(diǎn)時(shí)，y 的取值范圍，如圖.用數(shù)形結(jié)合的方法，簡(jiǎn)化了其中的運(yùn)算過程，使計(jì)算量大大減少.雖然這種思路比第一種思路的運(yùn)算量少，并且也好理解，基礎(chǔ)較差的學(xué)生也能很好地掌握，但是學(xué)生自己做時(shí)卻很難直接想到，這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)中去有意識(shí)地引導(dǎo)，與學(xué)生多交流溝通，啟發(fā)學(xué)生多角度思考問題，從而找到不同的解題途徑，最終選擇最佳方案.

探求不同的運(yùn)算思路能夠優(yōu)化運(yùn)算過程，從而尋求到最佳的解題途徑.成功地探索并且理解到解決問題的思路，最終才能掌握一類問題的通法.有了最佳的運(yùn)算思路，就可以合理地選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算程序，從而得到正確的運(yùn)算結(jié)果，探索運(yùn)算思路是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的突破點(diǎn).

四、分析運(yùn)算結(jié)果：運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的固化點(diǎn)

在求得運(yùn)算結(jié)果后，要分析其算出的結(jié)果是否符合事實(shí)，最終的結(jié)果不能違背客觀事實(shí)，特別是在求解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，就一定要分析所解得的運(yùn)算結(jié)果是否符合實(shí)際情況，這是學(xué)生非常容易忽略的一點(diǎn).部分學(xué)生一味地只顧著算，算出結(jié)果就不管了，根本沒去考慮運(yùn)算結(jié)果是否符合實(shí)際，這就缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是要運(yùn)用到生活中去，因此對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的固化點(diǎn).

很多學(xué)生在高中階段的運(yùn)算能力都比較薄弱，因此這就需要教師在教學(xué)過程中重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，特別是在解析幾何的教學(xué)中，解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題，雖然表面上將幾何問題簡(jiǎn)單化，但其中卻增加了學(xué)生的運(yùn)算量.這就要求教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)運(yùn)算中的計(jì)算技巧以及讓學(xué)生知道哪些是需要注意的地方，讓學(xué)生感受到解析幾何問題是可以輕松解決的，否則將會(huì)出現(xiàn)學(xué)生解題思路清晰，但在實(shí)際運(yùn)算時(shí)卻出現(xiàn)許多問題.

新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是反映數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)特征，教師必須對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)引起重視，將此作為目標(biāo)滲透到每一個(gè)課堂教學(xué)中，尤其是高中階段.學(xué)生可能掌握了理論知識(shí)，但在實(shí)際運(yùn)算時(shí)常出現(xiàn)問題.因此這就要求教師需要關(guān)注學(xué)生自身的發(fā)展，并結(jié)合實(shí)際情況來設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，為高中學(xué)生營造一種良好的學(xué)習(xí)氛圍，提升每位學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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