李小林，許潤(rùn)杰，婁 潔，許新建

(上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200444)

0 引言

作為社會(huì)群體，人與人之間總是不斷地交流來(lái)傳播信息和觀點(diǎn)，這種人際溝通、影響、傳遞的過(guò)程稱為社會(huì)傳播。如何模擬這種人際傳播是社會(huì)網(wǎng)絡(luò)研究中的一個(gè)基本問(wèn)題[1]。一般地，傳播可以分為簡(jiǎn)單傳播和復(fù)雜傳播[2]。所謂簡(jiǎn)單傳播是指任意一對(duì)不同狀態(tài)個(gè)體之間傳染的發(fā)生僅僅依賴一個(gè)獨(dú)立參數(shù)——傳染率，而與周圍鄰居的狀態(tài)無(wú)關(guān)，從而服從泊松過(guò)程。這一假設(shè)在經(jīng)典流行病研究中被廣泛采用[3]，因此生物傳播屬于典型的簡(jiǎn)單傳播。而復(fù)雜傳播往往考慮局部依賴性和時(shí)間記憶性，例如一個(gè)觀點(diǎn)如果來(lái)自于多個(gè)不同渠道，那么它更容易會(huì)被接受，因此社會(huì)傳播屬于典型的復(fù)雜傳播。

關(guān)于社會(huì)傳播的研究最早可以追溯到1973年Schelling提出的閾值模型[4]。該模型假設(shè)系統(tǒng)中的個(gè)體有兩個(gè)狀態(tài)：0和1。對(duì)于一個(gè)狀態(tài)為0的個(gè)體，當(dāng)其狀態(tài)為1的鄰居數(shù)目或比例超過(guò)一個(gè)臨界值時(shí)，個(gè)體的狀態(tài)也從0轉(zhuǎn)變?yōu)?。以社會(huì)罷工為例，一個(gè)人是否參加罷工的閾值可以定義為其周圍有多少或多大比例的人已經(jīng)參加了罷工，如果這個(gè)人是激進(jìn)的，那么他的理性閾值可能較低，如果這個(gè)人是保守的，那么他的理性閾值相對(duì)較高。

雖然閾值模型的研究在社會(huì)學(xué)[5]和經(jīng)濟(jì)學(xué)[6]中早已展開(kāi)，但是直到2002年才引入接觸網(wǎng)絡(luò)[7]。Watts利用母函數(shù)方法計(jì)算了傳播條件和感染規(guī)模，他發(fā)現(xiàn)個(gè)體的閾值差異性和結(jié)構(gòu)異質(zhì)性對(duì)傳播起著完全相反的作用：一方面，個(gè)體的內(nèi)在閾值差異性越強(qiáng)，觀點(diǎn)越容易擴(kuò)散，或者說(shuō)系統(tǒng)越容易發(fā)生全局崩潰(global cascade)；另一方面，個(gè)體的外在結(jié)構(gòu)異質(zhì)性越強(qiáng)(如度的異質(zhì)性)，觀點(diǎn)越不容易擴(kuò)散(no cascade)，即系統(tǒng)的魯棒性越好。這一有趣的結(jié)論引起了廣大研究者的興趣，紛紛投入這一領(lǐng)域。一方面，研究者開(kāi)始考慮更多的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征對(duì)傳播的影響，如度相關(guān)[8]、集聚系數(shù)[9]、時(shí)效[10]、有向[11]等。另一方面，更多的傳播機(jī)制被提出，如媒體影響力[12]、多階段擴(kuò)散[13]、個(gè)體記憶性[14]、信念堅(jiān)定[15]等。在這些研究中，傳播往往都是限制在單個(gè)網(wǎng)絡(luò)上。

上述研究相對(duì)簡(jiǎn)單，無(wú)論是線下網(wǎng)絡(luò)還是線上網(wǎng)絡(luò)都采用Erd?s-Rényi(ER)隨機(jī)圖[22]，沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)異質(zhì)性，而實(shí)證研究早已表明絕大數(shù)的在線網(wǎng)絡(luò)都是非均勻的[23]。鑒于這一點(diǎn)，本文采用scale-free(SF)網(wǎng)絡(luò)[24]來(lái)模擬線上網(wǎng)絡(luò)，并構(gòu)造ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)，研究線下均勻網(wǎng)絡(luò)與線上非均勻網(wǎng)絡(luò)的耦合關(guān)系對(duì)社會(huì)傳播的影響。

1 模型

為了研究方便，我們考慮節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的的雙層社會(huì)網(wǎng)絡(luò)。如圖1所示，網(wǎng)絡(luò)中的任意一點(diǎn)i(i=1,2,…,n)既有線下鄰居也有線上鄰居，其個(gè)數(shù)分別可以用線下度ki,α和線上度ki,β來(lái)表示。即使點(diǎn)i的線下度與線上度相等，其連接的鄰居也未必相同。已有研究假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的度分布是均勻的[16-17]，即對(duì)同一層網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，所有節(jié)點(diǎn)的度值都差不多，典型模型是ER隨機(jī)圖[22]，其度分布滿足泊松分布p(k)～zke-k/k!，其中p(k)表示單層網(wǎng)絡(luò)中任意一點(diǎn)度為k的概率，z是該層網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的平均度。使用ER模型可以較好地模擬線下網(wǎng)絡(luò)，但是線上網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體的差異非常大(如度的異質(zhì)性)，使用非均勻網(wǎng)絡(luò)更恰當(dāng)，典型模型是Catanzaro等人提出的SF配置網(wǎng)絡(luò)[24]，其度分布滿足冪律分布p(k)～k-γ，其中γ是控制度分布指數(shù)的參數(shù)。

圖1 3種耦合網(wǎng)絡(luò)示意圖

進(jìn)一步，考慮線下ER網(wǎng)絡(luò)和線上SF網(wǎng)絡(luò)基于度的3種耦合情況[25]：完全不相關(guān)(no correlation，簡(jiǎn)稱nc)，完全正相關(guān)(maximum positive，簡(jiǎn)稱mp)，完全負(fù)相關(guān)(maximum negative，簡(jiǎn)稱mn)。完全不相關(guān)是指兩層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度之間不存在相關(guān)性，此時(shí)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的聯(lián)合概率分布為

(1)

完全正相關(guān)是指節(jié)點(diǎn)在線下網(wǎng)絡(luò)中的度越大(或越小)則它在線上網(wǎng)絡(luò)中的度也越大(或越小)，此時(shí)節(jié)點(diǎn)度的聯(lián)合概率分布為

(2)

(3)

(4)

其中，μα和μβ分別表示節(jié)點(diǎn)在線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)中的理性閾值，mα和mβ分別表示節(jié)點(diǎn)線下鄰居和線上鄰居中狀態(tài)為1的個(gè)數(shù)。

給定一個(gè)初始種子，傳播能夠進(jìn)行下去的必要條件是網(wǎng)絡(luò)中存在脆弱點(diǎn)。所謂脆弱點(diǎn)是指節(jié)點(diǎn)在線下網(wǎng)絡(luò)或線上網(wǎng)絡(luò)中只要有一個(gè)鄰居處于接受狀態(tài)它就會(huì)被激活，根據(jù)式(4)，相應(yīng)的概率可以寫為

(5)

(6)

由此，線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)中脆弱點(diǎn)度分布的母函數(shù)可定義為

(7)

(8)

進(jìn)一步，在線下網(wǎng)絡(luò)或線上網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一條邊，其連到脆弱點(diǎn)的概率分別為

(9)

(10)

其中zα和zβ分別表示線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)的平均度。傳播要形成規(guī)模，則要求網(wǎng)絡(luò)中存在脆弱分支。在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一點(diǎn)，其與脆弱分支相連的概率可定義為

(11)

其中，H1,α(x)和H1,β(x)分別表示線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一條邊，其與脆弱分支相連的概率，

H1,α(x)=[1-G1,α(1)]+xG1,α(H1,α(x))
H1,β(x)=[1-G1,β(1)]+xG1,β(H1,β(x))

(12)

根據(jù)滲流理論，系統(tǒng)發(fā)生全局崩潰對(duì)應(yīng)著脆弱巨分支的出現(xiàn)，即方程(12)的雅可比矩陣的譜半徑大于1[16]，

(13)

其中，Jij(i,j=1,2)為方程(12)的雅可比矩陣元，即

(14)

由H0(x)的定義可知，H0(1)表示網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇一點(diǎn)到達(dá)脆弱小分支的概率(包括到達(dá)脆弱規(guī)模為0的情形)，因此脆弱巨分支的大小為

Sv=1-H0(1)

(15)

2 結(jié)果

對(duì)于一一對(duì)應(yīng)的雙層網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，線下ER網(wǎng)絡(luò)和線上SF網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模必然相等，即Nα=Nβ=N?？紤]可比性，令線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)的平均度相等，即zα=zβ=z。為了計(jì)算方便，規(guī)定每層網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體閾值都相同，即μi,α=μi,β=μ。初始時(shí)刻隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為傳染源，令其狀態(tài)為1，其余節(jié)點(diǎn)狀態(tài)為0。分別在完全不相關(guān)，完全正相關(guān)及完全負(fù)相關(guān)三種耦合下的ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)(N=10 000)上各進(jìn)行了100次蒙特卡羅模擬，計(jì)算了脆弱巨分支和崩潰條件，并同式(15)和(13)進(jìn)行了對(duì)比。

當(dāng)線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)的耦合完全不相關(guān)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中點(diǎn)i的線下度ki,α和線上度ki,β無(wú)關(guān)(見(jiàn)式(1))。在給定閾值條件下，i是否被激活取決于ki,α和ki,β的大小，而對(duì)整個(gè)耦合網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，脆弱巨分支Sv是否出現(xiàn)則與平均度z密切相關(guān)。如圖2a所示，圓點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)上100次模擬的結(jié)果，實(shí)線是式(15)的理論預(yù)測(cè)，在μ=0.24條件下，當(dāng)z很小時(shí)(低連通區(qū)域)，網(wǎng)絡(luò)非常稀疏，傳播無(wú)法進(jìn)行。隨著z的增加，Sv從0變到大于0，網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始發(fā)生崩潰，對(duì)應(yīng)的平均度臨界值z(mì)l稱為崩潰下界。進(jìn)一步增加z，脆弱點(diǎn)之間連通性不斷增強(qiáng)，導(dǎo)致Sv越來(lái)越大。然而，當(dāng)z很大時(shí)(高連通區(qū)域)，式(5)和(6)成立非常困難，即脆弱點(diǎn)不斷減少，網(wǎng)絡(luò)不再發(fā)生崩潰，對(duì)應(yīng)的平均度臨界值z(mì)h稱為崩潰上界。作為對(duì)比，ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果也一并給出。盡管模擬結(jié)果存在一定的漲落現(xiàn)象，但是和理論結(jié)果(式(15))符合較好。在此基礎(chǔ)上，圖2b給出了(μ,z)雙參相圖，方格是網(wǎng)絡(luò)上100次模擬的結(jié)果，實(shí)線是式(13)的理論預(yù)測(cè)。隨著個(gè)體閾值μ和網(wǎng)絡(luò)連通性z的變化，系統(tǒng)存在一個(gè)崩潰窗口，與式(13)的預(yù)測(cè)一致，即系統(tǒng)在窗口內(nèi)部發(fā)生全局崩潰而在窗口外部不發(fā)生崩潰。在崩潰下界(zl≤1)，網(wǎng)絡(luò)中大部分的節(jié)點(diǎn)度為0或1，線上SF網(wǎng)絡(luò)限于度分布的異質(zhì)性，其孤立點(diǎn)的數(shù)目比線下ER網(wǎng)絡(luò)更多，所以ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性優(yōu)于ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)。在崩潰上界(zh>2)，線下ER網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度值整體都會(huì)增大，脆弱點(diǎn)很難出現(xiàn)，而線上SF網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性卻進(jìn)一步增強(qiáng)，一方面大量的低度節(jié)點(diǎn)依舊存在，可以成為脆弱點(diǎn)，另一方面，大度節(jié)點(diǎn)的數(shù)目有所增加，一旦成為種子將會(huì)促進(jìn)傳播，所以ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性劣于ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)，這種差別隨著z的增加不斷增大。

圖2 完全不相關(guān)耦合下的脆弱巨分支和崩潰窗口

當(dāng)線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)的耦合完全正相關(guān)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中點(diǎn)i的線下度ki,α越大，其線上度ki,β也越大，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合度分布服從式(2)，仍然可以代入式(13)和(15)求出理論結(jié)果。圖3給出了脆弱巨分支和崩潰窗口的計(jì)算結(jié)果，圓點(diǎn)和方格是網(wǎng)絡(luò)上100次模擬的結(jié)果，實(shí)線是式(15)和(13)的理論預(yù)測(cè)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的連通性很弱時(shí)，盡管每層網(wǎng)絡(luò)都非常稀疏，但仍然存在少數(shù)度大于等于1的節(jié)點(diǎn)，完全正相關(guān)保證了一旦某節(jié)點(diǎn)在下層的度大于等于1，其在上層的度也必然大于等于1。如果這類節(jié)點(diǎn)在某一層的某個(gè)鄰居是初始種子，那么它們很有可能成為脆弱點(diǎn)而被激活(見(jiàn)式(5)和(6))，不但會(huì)在該層繼續(xù)激活其它鄰居，而且會(huì)通過(guò)另一層的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳播。最終這些非孤立點(diǎn)可能會(huì)導(dǎo)致一個(gè)小規(guī)模的崩潰。如圖3a所示，即使在z=0.1時(shí)，無(wú)論是ER-ER網(wǎng)絡(luò)還是ER-SF網(wǎng)絡(luò)在正相關(guān)下都有大約9%的節(jié)點(diǎn)會(huì)被感染。而線上SF網(wǎng)絡(luò)的非均勻性使得ER-SF網(wǎng)絡(luò)略易于傳播。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的連通性很強(qiáng)時(shí)，無(wú)論是哪一層網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)都很難成為脆弱點(diǎn)。即使線上SF網(wǎng)絡(luò)有一些小度節(jié)點(diǎn)成為脆弱點(diǎn)，一方面其線上較少的鄰居數(shù)目使得傳播困難，另一方面其在線下ER網(wǎng)絡(luò)的度相對(duì)較大不易成為脆弱點(diǎn)，從而阻礙進(jìn)一步傳播，因此ER-SF網(wǎng)絡(luò)比ER-ER網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強(qiáng)，如圖3b所示。

圖3 完全正相關(guān)耦合下的脆弱巨分支和崩潰窗口

當(dāng)線下網(wǎng)絡(luò)和線上網(wǎng)絡(luò)的耦合完全負(fù)相關(guān)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中點(diǎn)i的線下度ki,α越大，其線上度ki,β卻越小，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合度分布服從式(3)，仍然可以利用式(13)和(15)算出理論結(jié)果。在低連通區(qū)域，盡管節(jié)點(diǎn)在某層網(wǎng)絡(luò)的度可能為0，但是負(fù)相關(guān)耦合保證了其在另一層網(wǎng)絡(luò)的度不為0，所以網(wǎng)絡(luò)中線下度和線上度都不為零的節(jié)點(diǎn)相對(duì)較少，這將大大削弱跨層傳播，傳播主要依賴單層網(wǎng)絡(luò)，脆弱點(diǎn)形成巨分支比較困難，不過(guò)一旦網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)脆弱巨分支，規(guī)模將會(huì)較大，如圖4a所示。而在高連通區(qū)域，完全負(fù)相關(guān)耦合使得ER-SF網(wǎng)絡(luò)比ER-ER網(wǎng)絡(luò)的魯棒性略差，如圖4b所示。相對(duì)于ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)中脆弱點(diǎn)大比例減少，ER-SF網(wǎng)絡(luò)則不同，負(fù)相關(guān)使得下層ER網(wǎng)絡(luò)中小度節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)上層SF網(wǎng)絡(luò)中的hub節(jié)點(diǎn)，一旦這些小度節(jié)點(diǎn)在ER層成為脆弱點(diǎn)，它們?cè)赟F層的hub效應(yīng)將使傳播仍有可能進(jìn)行下去，即跨層傳播在一定程度上削弱了系統(tǒng)的魯棒性。

圖4 完全負(fù)相關(guān)耦合下的脆弱巨分支和崩潰窗口

3 結(jié)論

自“計(jì)算社會(huì)學(xué)”[26]這一概念于2009年在科學(xué)雜志上提出以來(lái)，無(wú)論是傳統(tǒng)的社會(huì)學(xué)家，還是數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)學(xué)家都紛紛進(jìn)入這一新興領(lǐng)域。如何提供新的模型和方法來(lái)解釋社會(huì)現(xiàn)象和數(shù)據(jù)規(guī)律是一個(gè)充滿挑戰(zhàn)性的課題，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論是當(dāng)前國(guó)際上公認(rèn)的研究計(jì)算社會(huì)學(xué)的有效工具之一。

本文研究了線下ER網(wǎng)絡(luò)和線上SF網(wǎng)絡(luò)協(xié)同傳播這一問(wèn)題，比過(guò)去純粹考慮線下線上都是ER網(wǎng)絡(luò)更貼近實(shí)際。針對(duì)ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)上的閾值模型，利用母函數(shù)方法得到了系統(tǒng)發(fā)生全局崩潰的條件和相應(yīng)脆弱巨分支的大小，并分別應(yīng)用到完全不相關(guān)，完全正相關(guān)及完全負(fù)相關(guān)三種耦合情形中。與完全不相關(guān)耦合相比，完全正相關(guān)耦合在低連通區(qū)域會(huì)削弱系統(tǒng)的魯棒性而在高連通區(qū)域會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，完全負(fù)相關(guān)耦合則會(huì)導(dǎo)致相反的結(jié)果。進(jìn)一步，通過(guò)比較ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)和ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)在不同耦合下的崩潰結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在完全正相關(guān)耦合下，ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)比ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)在低連通區(qū)域魯棒性更差而在高連通區(qū)域則相反；在完全負(fù)相關(guān)耦合下，ER-SF雙層網(wǎng)絡(luò)比ER-ER雙層網(wǎng)絡(luò)在低連通區(qū)域魯棒性更好而在高連通區(qū)域則相反。

上述結(jié)果是在“或”激活機(jī)制和全同閾值兩個(gè)條件下得到的。一個(gè)自然的延伸是把上述理論推廣到更加復(fù)雜的情形，如“與”激活機(jī)制和分布閾值的情形，但相應(yīng)的計(jì)算量也大大增加。