馬先龍
摘 要:本文給出一道中考數(shù)學(xué)填空壓軸題的兩種解法,并進(jìn)行變式訓(xùn)練,旨在進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),培養(yǎng)思維的靈活性、廣闊性和創(chuàng)造性,提升研究問題的思維能力.
關(guān)鍵詞:中考題;解法;變式
2019年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)第18題(填空壓軸題)是一道匠心獨(dú)運(yùn),以正方形和變化中的等邊三角形為背景,考查線段最小值問題的一道綜合題.本文給出此題的兩種解法,并進(jìn)行變式訓(xùn)練.
1 試題呈現(xiàn)
題目 (2019年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)第18題)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn),且BE=1,點(diǎn)F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.
2 試題解析
2.1 等線段代換法+垂線段法
解法1 如圖1,以CE為邊在正方形ABCD的內(nèi)部作等邊△CEH,連接FH.
因?yàn)椤鰿EH是等邊三角形,所以EH=EC=CH,∠HEC=60°.
因?yàn)椤鱁FG是等邊三角形,所以FE=GE=FG,∠FEG=60°.
所以∠FEG+∠GEH=∠HEC+∠GEH.
所以∠FEH=∠GEC.
在△FEH和△GEC中,F(xiàn)E=GE,∠FEH=∠GEC,EH=EC,
所以△FEH≌△GEC(SAS).
所以HF=CG.
過點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M,根據(jù)“垂線段最短”,知HM就是HF的最小值,也就是CG的最小值.
過點(diǎn)H作HN⊥BC于點(diǎn)N,則∠HNB=∠B=∠HMB=90°.
所以四邊形BMHN是矩形.
所以HM=BN.
在∠CEH中,因?yàn)镋H=CH,HN⊥BC,
所以EN=12EC .
因?yàn)锽C=4,BE=1,所以EC=3.
所以EN=32.
所以BN=BE+EN=52.
所以HM=52.
所以CG的最小值為52.
2.2 動(dòng)點(diǎn)軌跡探究法+垂線段法
解法2 如圖2,作△EFG的外接圓⊙O,設(shè)⊙O與AB相交于點(diǎn)H,連接EH,GH,則∠FHG=∠FEG=60°,∠EHG=∠EFG=60°.
所以∠BHE=180°-60°×2=60°.
所以H是定點(diǎn),點(diǎn)G在直線HG上運(yùn)動(dòng).
過點(diǎn)C作CP⊥MH于點(diǎn)P,根據(jù)“垂線段最短”,知CP就是CG的最小值.
延長(zhǎng)GH,CB相交于點(diǎn)M, 則∠MHB=∠FHG=60°.
又∠HBM=90°,所以∠M=30°.
在Rt△BEH中,∠HBE=90°,∠BHE=60°,BE=1,所以BH=33,BM=1.
所以CM=BC+BM=4+1=5.
在Rt△CMP中,∠CPM=90°,∠M=30°,CM=5,所以CP=12CM=52 .
所以CG的最小值為52.
以上給出了兩種常見的解法,可以有效地對(duì)不同思維能力水平的學(xué)生加以區(qū)分,選擇適合自己的解法.
如圖1,“等線段代換法+垂線段法”是先巧妙地構(gòu)造與△EFG共頂點(diǎn)的等邊△CEH之后,構(gòu)造全等三角形,順利得到△FEH≌△GEC,進(jìn)而證得HF=CG,達(dá)到了等線段代換的目的.接下來,自然會(huì)想到通過作垂線段 ,利用“垂線段最短”求HF的最小值,從而得到CG的最小值.這種解法,對(duì)于熟悉特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì),善于構(gòu)圖,善于運(yùn)用全等三角形知識(shí)解題的同學(xué),應(yīng)是一種不錯(cuò)的選擇.
如圖2,“動(dòng)點(diǎn)軌跡法+垂線段法”是先巧妙地構(gòu)造△EFG的外接圓,盯住⊙O與正方形ABCD邊AB的交點(diǎn)H,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,得到∠FHG=∠EHG=60°,進(jìn)而得到∠BHE=60°,之后,順?biāo)浦?,推出點(diǎn)H是定點(diǎn),斷定點(diǎn)G一定在直線HG上運(yùn)動(dòng).接下來,自然會(huì)想到通過作垂線段CP求CG的最小值.這種解法,對(duì)于熟悉特殊三角形、特殊四邊形以及圓的性質(zhì),善于構(gòu)圖,善于探究動(dòng)點(diǎn)軌跡解題的同學(xué),應(yīng)是一種不錯(cuò)的選擇.
總之,這兩種解法構(gòu)圖巧妙,技巧性強(qiáng),對(duì)學(xué)生的思維提出了挑戰(zhàn).
3 試題變式
不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行變式訓(xùn)練,可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[1],進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性,提升研究問題的思維能力,體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂感和成功感.
變式1 如圖3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC邊上一點(diǎn),且BE=1,點(diǎn)F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等腰Rt△EFG,其中GE=GF,∠EGF=90°,連接CG,則CG的最小值為.
解析 不妨選擇“動(dòng)點(diǎn)軌跡法+垂線段法”.如圖3,連接AC,BD,設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O ,則CO⊥BD,CO=12AC.
因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為4,所以AC=4 2.
所以CO=2 2.
過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M,作GN⊥AB于點(diǎn)N,則∠GNB=∠GNF=90°,∠GMB=90°.
又∠MBN=90°,所以∠MGN=360°-90°×3=90°.
所以∠EGM+∠NGE=90°.
又∠FGN+∠NGE=90°,所以∠FGN=∠EGM.
在△FGN和∠EGM中,∠FGN=∠EGM,∠GNF=∠GME=90°,GF=GE,
所以△FGN≌△EGM(AAS).
所以GN=GM.
所以動(dòng)點(diǎn)G在∠ABC的平分線BD上運(yùn)動(dòng).
因?yàn)镃O⊥BD,所以CG的最小值為CO.
所以CG的最小值為2 2.
變式2 如圖4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC邊上一點(diǎn),且BE=1,點(diǎn)F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等腰Rt△EFG,其中EF=FG,∠EFG=90°,連接CG,則CG的最小值為.
解析 不妨選擇“動(dòng)點(diǎn)軌跡法+垂線段法”.如圖4,過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H,則∠GHF=90°.
所以∠FGH+∠HFG=90°.
又∠EFG=90°,所以∠EFB+∠HFG=90°.
所以∠FGH=∠EFB.
在△FGH和△EFB中,∠FGH=∠EFB,∠GHF=∠B=90°,GF=EF,
所以△FGH≌△EFB(AAS).
所以HG=BF,HF=BE.
設(shè)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)G與AB邊上的點(diǎn)M重合,則MB=BE=1.
所以HF=BM.
所以HM=BF.
又HG=BF,所以HM=HG.
所以∠HMG=∠HGM.
又因?yàn)椤螱HM=90°,所以∠HMG=∠HGM=45°.
延長(zhǎng)MG與AD相交于點(diǎn)N,所以∠ANM=∠AMN=45°.
所以AN=AM=3.
所以點(diǎn)G在直線MN上運(yùn)動(dòng).
過點(diǎn)C作CR⊥MN于點(diǎn)R,根據(jù)“垂線段最短”,知CR就是CG的最小值.
分別延長(zhǎng)MN,CD相交于點(diǎn)P,則∠P=∠PND=45°,所以DP=DN=1.
在Rt△CPR中,∠CRP=90°,∠P=45°,CP=4+1=5,所以CR=22CP=5 22.
所以CG的最小值為5 22.
變式3 如圖5,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC邊上一點(diǎn),且BE=1,點(diǎn)F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作正方形EFHG,連接CG,則CG的最小值為.
解析 不妨選擇“動(dòng)點(diǎn)軌跡法+垂線段法”.如圖5,過點(diǎn)G作GG′⊥BC于點(diǎn)G′,則∠GG′E=90°.
因?yàn)樗倪呅蜤FHG是正方形,所以EG=FE,∠FEG=90°.
所以∠G′EG+∠FEB=90°.
又因?yàn)椤螧=90°,所以∠FEB+∠BFE=90°.
所以∠G′EG=∠BFE.
在△GEG′和△EFB中,∠G′EG=∠BFE,∠GG′E=∠B=90°,EG=FE,
所以△GEG′≌△EFB(AAS).
所以GG′=BE=1.
所以點(diǎn)G在與BC平行且與BC距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng).設(shè)MN與CD相交于點(diǎn)P,則四邊形GG′CP是矩形.
所以CP⊥MN,CP=1,根據(jù)“垂線段最短”,知CG的最小值為1.
通過這三種變式訓(xùn)練,可以進(jìn)一步鞏固用動(dòng)點(diǎn)軌跡法求線段長(zhǎng)的最小值,鞏固直角三角形、等腰三角形、正方形的有關(guān)性質(zhì)、判定,鞏固全等三角形的判定和性質(zhì),培養(yǎng)探究動(dòng)點(diǎn)軌跡的能力,感受建模、構(gòu)造、化歸等數(shù)學(xué)思想方法[2]的運(yùn)用,解一題,會(huì)一類,通一片.
當(dāng)然,此道中考題除了本文給出的兩種解法之外,還可用旋轉(zhuǎn)法+垂線段法、解析法、函數(shù)最值法等方法求解.此外,變式訓(xùn)練也不止這些,更多的解法和變式,留給讀者.
參考文獻(xiàn):
[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2001.
[2]波利亞.怎樣解題[M].上海:上??萍冀逃霭嫔?,2007.
(收稿日期:2019-09-06)