(1.上海交通大學(xué) a.海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；2.大連船舶重工集團(tuán)有限公司，遼寧 大連 116021)

船體曲板展開為鋼板的號(hào)料套料提供依據(jù)，影響著曲板加工成形的工藝操作，是船舶建造過程中的重要環(huán)節(jié)。有效的曲板展開方法[1-7]，可以獲取精細(xì)的鋼板號(hào)料方案，推進(jìn)船廠無(wú)余量造船進(jìn)程。目前國(guó)內(nèi)一些船廠采用的展開方法仍是手工放樣或計(jì)算機(jī)模擬手工放樣，利用由此得到的板材展開圖進(jìn)行后續(xù)船體曲板成形加工時(shí)，需要加入一定余量，影響后續(xù)工藝環(huán)節(jié)的加工效率。為此，提出一種基于單元等長(zhǎng)的船體外板展開方法，在低應(yīng)變能情況下，減少外板展開的面積誤差，以期為后續(xù)三維曲板加工成形提供有效的支持。

1 展開方法

船體曲板大多為不可展開的復(fù)雜曲面，需要將其分割為多個(gè)微小區(qū)域逼近原曲面，將各個(gè)微小單元進(jìn)行展開，獲得最終的近似展開平面。曲面展開根據(jù)展開目的的不同，所采取的展開方法也不盡相同，常見的展開方法有保證面積恒定，保證長(zhǎng)度恒定和保證角度恒定等。船廠工程實(shí)際中主要采用手工測(cè)地線法、垂直準(zhǔn)線法和撐線法等展開三維曲面，其本質(zhì)的展開方法均基于保證展開單元的長(zhǎng)度恒定。但是由于船廠實(shí)際操作中為手工作圖，往往需要留有一定余量，是不完全的保長(zhǎng)展開方法。

在船廠實(shí)際使用的不完全保長(zhǎng)展開方法的基礎(chǔ)上，對(duì)三維曲板進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，采用四邊形單元長(zhǎng)度恒定展開方法對(duì)船體三維曲板進(jìn)行展開。在展開過程中，需要確定展開基準(zhǔn)線，將三維復(fù)雜曲面圍繞基準(zhǔn)逐步展開，展開策略的不同導(dǎo)致對(duì)展開基準(zhǔn)線的選擇也不盡相同。如圖1，在三維曲面中以兩條相交曲線為展開基準(zhǔn)線，基準(zhǔn)線為三維曲面上的空間曲線，保證基準(zhǔn)線中的單元節(jié)點(diǎn)間在展開圖中的距離與實(shí)際距離相等，并從兩條基準(zhǔn)線出發(fā)按照展開前后構(gòu)成單元長(zhǎng)度恒定的方法，依次展開，獲取最終的展開曲面。

圖1 單元等長(zhǎng)度的展開方法示意

2 展開步驟

1)從肋骨型線圖中獲取待展開船體曲板的型值數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行單位調(diào)整和初步處理。

2)利用NURBS擬合曲面并劃分網(wǎng)格。

3)計(jì)算基準(zhǔn)線?？v向基準(zhǔn)線為中間肋骨型線，按照經(jīng)典的測(cè)地線法對(duì)其進(jìn)行展開同時(shí)保證各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)間長(zhǎng)度為實(shí)長(zhǎng)。橫向基準(zhǔn)線為貫穿曲面的一條空間曲面，是曲面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短面內(nèi)距離，因此在展開平面中橫向基準(zhǔn)線為一條直線。

4)展開基準(zhǔn)線和其他單元。以2條基準(zhǔn)線的交點(diǎn)為中心點(diǎn)，對(duì)基準(zhǔn)線進(jìn)行展開，橫向基準(zhǔn)線展開后為一條直線，縱向基準(zhǔn)線展開方法則在經(jīng)典測(cè)地線法展開方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，通過計(jì)算各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)的肋骨彎度對(duì)縱向基準(zhǔn)線進(jìn)行了展開。最后通過兩條已經(jīng)展開的基準(zhǔn)線，按照單元等長(zhǎng)原則對(duì)其他單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行展開。

2.1 網(wǎng)格劃分

通過NURBS曲面對(duì)待展開三維曲面進(jìn)行插值擬合，通過節(jié)點(diǎn)矢量、控制網(wǎng)格點(diǎn)和權(quán)值控制擬合曲面，NURBS曲面方程如下。

(1)

式中：(u,v)∈[Umin,Umax]×[Vmin,Vmax]；Pi,j為控制點(diǎn)；Wi,j為權(quán)重；Ni,p(u)為u方向p次B樣條函數(shù)；Nj,q(v)為v方向q次B樣條函數(shù)；Cu和Cv為控制點(diǎn)數(shù)。

利用NURBS曲面算法對(duì)輸入的肋骨型值進(jìn)行插值擬合，獲取更多的曲面節(jié)點(diǎn)，繪制出三維曲面圖，方便后續(xù)的展開、應(yīng)變和面積的計(jì)算工作。完成對(duì)曲面的網(wǎng)格的初步劃分，獲取各個(gè)控制節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，在求取基準(zhǔn)線算法中還需要進(jìn)行網(wǎng)格的局部細(xì)分，都是通過NURBS曲面進(jìn)行的。

2.2 基準(zhǔn)線的計(jì)算

參考測(cè)地線法展開船體曲板選取展開基準(zhǔn)線的方法[9]，在待展開的三維曲面中選取中間肋骨型線為縱向基準(zhǔn)線。選擇曲面內(nèi)的兩點(diǎn)間的測(cè)地線為橫向基準(zhǔn)線，起始點(diǎn)選取測(cè)地線法中所作測(cè)地線的兩個(gè)端點(diǎn)，然后通過改進(jìn)的迪杰斯特算法求解出該兩點(diǎn)間的最短曲面距離路徑，將其作為待展開曲面的縱向基準(zhǔn)線，從而完成基準(zhǔn)線的確定工作。

迪杰斯特算法是經(jīng)典的最短路徑算法，主要策略為按照路徑長(zhǎng)度依次增長(zhǎng)計(jì)算出起始點(diǎn)到各個(gè)其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑，具體步驟如下。

步驟1。初始化集合S和U，集合S中只包含起點(diǎn)Pstart，U為S在全集中的補(bǔ)集。

步驟2。遍歷U集合計(jì)算U(i)到起點(diǎn)Pstart的距離，選取距離最短的定點(diǎn)Pshort加入集合S，并重新計(jì)算集合U。

步驟3。更新集合U中各點(diǎn)到起點(diǎn)Pstart的距離，重復(fù)步驟2至便利完所有定點(diǎn)。

步驟4。輸出橫向準(zhǔn)線長(zhǎng)度D和路徑R。

Dijkstra算法要求待展開曲面的網(wǎng)格劃分較為精細(xì)，耗費(fèi)大量的計(jì)算資源。因此，選擇局部細(xì)分網(wǎng)格的策略節(jié)省計(jì)算資源的同時(shí)獲得高精度的結(jié)果。在初始網(wǎng)格密度條件下，使用迪杰斯特算法進(jìn)行初步求解，求解的最短曲面距離為Di。對(duì)迪杰斯特算法求解出的橫向準(zhǔn)線所經(jīng)過的單元區(qū)域進(jìn)行標(biāo)記，然后僅對(duì)標(biāo)記的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分，再利用迪杰斯特算法在標(biāo)記區(qū)域內(nèi)進(jìn)行進(jìn)一步求解，求解得到最短曲面距離為Di+1。循環(huán)進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)分求解，直到Di+1-Di<ε(ε為允許誤差值)時(shí)退出循環(huán)，得到最終的橫向基準(zhǔn)線。

2.3 展開過程

橫向基準(zhǔn)線在展開圖中應(yīng)為1條直線，以2條基準(zhǔn)線的交點(diǎn)為展開中心，保證橫向基準(zhǔn)線上單元節(jié)點(diǎn)間的距離恒定，展開橫向基準(zhǔn)線同時(shí)獲得各節(jié)點(diǎn)在展開圖中的坐標(biāo)值。

縱向基準(zhǔn)線是肋骨中間線，其展開方式是在經(jīng)典測(cè)地線法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。展開原理示意見圖2a)。由于船體曲面多為復(fù)雜的不可展曲面，在展開過程中假設(shè)的圓柱外板母線與船體中心線不平行，展開后的肋骨線與準(zhǔn)線不垂直，在展開圖中肋骨曲線與過其弦線的法面展開線間存在一定的間距[8]，其中最大的拱度即為肋骨彎度S。縱向基準(zhǔn)線的展開是基于肋骨彎度Si，保證該單元節(jié)點(diǎn)到O0的實(shí)長(zhǎng)相等將其展開。

對(duì)其他單元進(jìn)行展開，見圖2b)，通過確定單元節(jié)點(diǎn)的位置從而確定整個(gè)單元展開形狀的策略進(jìn)行展開。

圖2 展開過程示意

3 展開實(shí)例

以確定四邊形單元Ai,jAi-1,jAi-1,j+1Ai,j+1為例，介紹一般四邊形單元展開過程。根據(jù)單元等長(zhǎng)的展開準(zhǔn)則，在展開平面內(nèi)找到一點(diǎn)Ai,j使得Ai,jAi-1,j和Ai,jAi,j+1展開前后長(zhǎng)度恒定，由此即可確定點(diǎn)Ai,j的位置。

以船體建造過程中的帆型板為例，板材的型值見圖3a)，NURBS曲面對(duì)進(jìn)行曲面重構(gòu)和網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元為四邊形，共劃分6 100(100×61)個(gè)網(wǎng)格，見圖3b)。

通過經(jīng)典測(cè)地線算法求解出橫向基準(zhǔn)線的端點(diǎn)坐標(biāo)如下。

A(1.20×105,2 345.85,1.88×104)；

B(1.34×105,2 454.79,1.87×104)。

以此為輸入?yún)?shù)，進(jìn)行基于單元等長(zhǎng)的展開算法運(yùn)算。

如圖4，設(shè)置改進(jìn)迪杰斯特算法可接受誤差為0.1 mm，即相鄰兩次計(jì)算結(jié)果差的絕對(duì)值不超過0.1 mm方可退出循環(huán)。

圖4 改進(jìn)迪杰斯特算法結(jié)果收斂

輸出最終結(jié)果，最終經(jīng)過9次迭代算法結(jié)果收斂，得到A與B間的最短曲面距離為13 639.34 mm，確定展開基準(zhǔn)線后將其他單元節(jié)點(diǎn)也進(jìn)行展開，獲得最終的展開平面，見圖5。

圖5 最終展開平面

曲面展開后需要經(jīng)過水火彎板等加工工藝方法將平面板材加工為具有一定曲率的三維曲面，在加工過程中板材厚度方向幾乎沒有變化[9]，因此板材加工前后表面積不變。曲板展開過程是曲板成形的逆過程，同樣要求展開曲面與三維曲面的面積相近，因此往往通過面積誤差來(lái)評(píng)價(jià)展開方法的可靠性和適用性。此外，應(yīng)變能可以反應(yīng)出曲板成形過程中的加工工作量，應(yīng)變能越低說明曲板展開方案實(shí)用性越強(qiáng)。按本文方法展開結(jié)果與經(jīng)典測(cè)地線法的數(shù)據(jù)對(duì)比見表1，單元等長(zhǎng)展開法的面積誤差控制為0.07%，相比于經(jīng)典的測(cè)地線法有所提升。同時(shí)單元等長(zhǎng)展開法中單元的平均應(yīng)變能系數(shù)為7.316 9×10-4[10]，相比經(jīng)典測(cè)地線法有大幅度改進(jìn)，可以看出基于單元等長(zhǎng)的船體曲板展開方法具備可靠性和適應(yīng)性，符合工程實(shí)際要求。

表1 展開結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)

4 結(jié)論

提出通過網(wǎng)格劃分、基準(zhǔn)線確定、基準(zhǔn)線展開和單元展開等步驟實(shí)現(xiàn)對(duì)船體三維曲板的展開。本方法充分考慮船體三維曲板的套料和加工成形的后續(xù)工藝環(huán)節(jié)，計(jì)算四節(jié)點(diǎn)等參單元的應(yīng)變能系數(shù)和展開面積誤差兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過與測(cè)地線法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了單元等長(zhǎng)展開方法可靠。