摘 要：文章討論了在相依風(fēng)險模型下的最優(yōu)分紅及再保險問題。假設(shè)保險公司承擔(dān)兩種呈負(fù)相關(guān)的保險業(yè)務(wù)，并且可以通過比例再保險策略降低破產(chǎn)概率，通過分紅策略保持競爭力。同時，利用期望保費(fèi)準(zhǔn)則進(jìn)行定價。文章的目標(biāo)是尋找破產(chǎn)前最大期望折現(xiàn)分紅策略。利用最優(yōu)控制理論，給出了在兩種保險業(yè)務(wù)呈負(fù)相關(guān)時的最優(yōu)值函數(shù)及最優(yōu)策略的具體表達(dá)形式。

關(guān)鍵詞：相依風(fēng)險;最優(yōu)分紅;比例再保險;Hamilton-Jacobi-Bellman （HJB） 方程

一、前言

公司價值可以定義為破產(chǎn)分紅的期望值，最大化期望折現(xiàn)分紅成為衡量一個公司最優(yōu)化的原則。自De Finetti[1] 首次提出最優(yōu)分紅問題，并在離散模型下進(jìn)行了研究，學(xué)者們開始在各種不同的風(fēng)險模型下進(jìn)行探索。例如：Asmussen和Taksar[2]在此基礎(chǔ)上研究了當(dāng)盈余過程是漂移 Brown 運(yùn)動時的最優(yōu)分紅問題。本文假設(shè)保險公司的盈余過程是一個簡單離散時間的隨機(jī)游走過程，并得到了最優(yōu)分紅策略是邊界策略 。

再保險策略是公司進(jìn)行分散風(fēng)險的重要手段，保險公司可以通過再保險策略將承保風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁給再保險公司，并支付相應(yīng)的保費(fèi)。主要的再保險方式有比例再保險及溢額再保險，文獻(xiàn)[3、4]就以最大折現(xiàn)分紅為目標(biāo)研究了這兩個問題，并進(jìn)行了比較。Liang[5]等人研究了在擴(kuò)散逼近模型和復(fù)合泊松模型下的最優(yōu)比例再保險問題。由于再保險是一種重要的控制風(fēng)險的手段，故研究有再保險參與下的最優(yōu)分紅問題十分重要。Yao[6、7]等人就研究了在有再保險情況下的最優(yōu)分紅、注資問題，并加入了交易成本及破產(chǎn)清算值。Zhou[8]等人研究了在方差保費(fèi)原則下的最優(yōu)分紅、再保險、注資等問題。為了使模型更貼近現(xiàn)實，人們開始考慮加入交易成本及比例交易費(fèi)用，例如文獻(xiàn)[9-11]。同時人們也研究了兩只風(fēng)險獨(dú)立時的最優(yōu)分紅再保險問題，例如Meng[12]。

以上文獻(xiàn)大部分是單只保險或兩只相互獨(dú)立的保險，但在生活中有很多是相依風(fēng)險。例如，在特大自然災(zāi)害發(fā)生時，醫(yī)療索賠、死亡索賠和家庭財產(chǎn)索賠是息息相關(guān)的。所以討論在相依風(fēng)險下的最優(yōu)分紅再保險問題是十分重要的。近年來，關(guān)于相依風(fēng)險的問題，各位學(xué)者進(jìn)行了不斷的探索，例如文獻(xiàn)[13-15]。Bai[16]等人首次提出并研究了在相依風(fēng)險下的最小破產(chǎn)概率問題。李亞男[17]等人在Bai等人的基礎(chǔ)上討論了在溢額再保險策略參與下的最優(yōu)分紅問題。同時，在比例再保險參與下的最優(yōu)分紅問題同樣十分重要且具有一定的挑戰(zhàn)性。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文要在相依風(fēng)險模型下討論比例再保險、最優(yōu)分紅問題。保險公司通過比例再保險分?jǐn)傦L(fēng)險，降低破產(chǎn)概率，同時，通過分紅策略以保持競爭力。本文通過尋找最大化期望折現(xiàn)分紅得到最優(yōu)策略。在期望保費(fèi)原理下，采取比例再保險，尋求最優(yōu)分紅策略及最優(yōu)值函數(shù)。本文討論了在分紅率有界時，當(dāng)兩只風(fēng)險索賠呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時的四種情況，同時，通過應(yīng)用不同的方法給出了明確的最優(yōu)值函數(shù)及最優(yōu)策略。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)建立比例再保險和分紅策略的擴(kuò)散逼近模型;第3節(jié) 建立HJB方程及相關(guān)的輔助函數(shù);第4節(jié)考慮分紅率有界情形下的最優(yōu)問題并找到值函數(shù)和最優(yōu)策略明確的表達(dá)式。

二、風(fēng)險模型與最優(yōu)控制問題

記（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P）為概率空間，其中Ft為到時刻t的信息流，它滿足通常條件。為方便研究問題，我們從經(jīng)典的復(fù)合泊松模型開始。假設(shè)該模型盈余過程為{R（t）}t≥0，則可做如下描述：

其中，x≥0為初始盈余，c1，c2≥0分別為業(yè)務(wù)1和業(yè)務(wù)2的保費(fèi)收取速率，N（t），N1（t），N2（t）為參數(shù)為λ>0，λ1>0，λ2>0的泊松過程，{Yi，i=1，2，3…}，{Xi，i=1，2，3…}為獨(dú)立同分布、正的隨機(jī)變量序列，表示歷次索賠，其一階矩為，二階矩為，其連續(xù)分布函數(shù)為FX（x）和FY（Y）。假設(shè)N（t），N1（t），N2（t），{Yi}，{Xi}相互獨(dú)立，本文假定費(fèi)率按照期望保費(fèi)準(zhǔn)則厘定，那么聚合保費(fèi)為：

其中，η1，η1為費(fèi)率參數(shù)，E 表示期望。為控制風(fēng)險，公司使用比例再保險策略分?jǐn)傦L(fēng)險。即對任意的損失Xi， Yi，由保險公司與再保險公司分別承擔(dān)a1 Xi，a2 Yi和（1-a1）Xi，（1-a2）Yi，其中a1，a2∈[0，1]，則到 時刻為止，再保險公司承擔(dān)的總損失為。則在期望保費(fèi)準(zhǔn)則下，再保險公司收取的聚合保費(fèi)為：

其中，θi，i=1，2…且滿足θi∈[ηi，1）為再保險公司的安全復(fù)合系數(shù)。則加入再保險時的保險公司的盈余過程為

考慮到利用跳模型解決最優(yōu)控制問題的難度，故我們利用擴(kuò)散逼近理論將其近似為期望與方差均相等的擴(kuò)散過程{XtR，t≥0}，則公司的盈余過程滿足如下的擴(kuò)散過程

XtR=x，且{B（t），t≥0}是信息流{Ft}上的標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，記FB={FtB，t≥0}為該布朗運(yùn)動生成的自然流

假設(shè)a1，a2是可動態(tài)調(diào)整以控制風(fēng)險暴露，同時 L（t）是自0到t 時刻支付給股東的總分紅。則在控制策略π=（a1π，a2π，L（t）），即在再保險和分紅策略的影響下保險公司的盈余過程為

定義2.1 策略π=（a1π，a2π，L（t））為可行性策略，如果它滿足如下條件

（1）分割比例a1π=a1（t），a2π=a2（t）是FB上的適應(yīng)過程，且0≤aiπ≤1，i=1，2， t≥0。

（2）L（t）是FB上遞增的適應(yīng)過程且滿足L（0-）=0 且 ΔL（t）=L（t）-L（t-）≤Xπ（t-），t≥0。

可行性策略生成的空間記為Π

控制過程Xπ（t）在可行性策略π∈Π下的破產(chǎn)時刻定義為

最優(yōu)分紅問題的目標(biāo)是尋找破產(chǎn)前最大期望折現(xiàn)分紅，也就是最大化下面的式子

c為折現(xiàn)率。定義V（x，π）=Ex （J（π）），Ex 表示初值為Xπ（0-）=x的條件期望，則計算值函數(shù)

我們目標(biāo)是尋找最優(yōu)值函數(shù)V（x）和最優(yōu)控制策略π*，使得V（x）=Ex （J（π* ））。顯然，V（x）是一個增函數(shù)且滿足V（0）=0。

三、HJB方程和輔助函數(shù)

為解決最優(yōu)控制問題，我們利用隨機(jī)控制理論解HJB方程，得到最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)控制策略。若V（x）在（0，∞）二階連續(xù)可微，則V（x）滿足如下的HJB方程

邊界條件

V（0）=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3.2）

其中，l0為分紅的上確界，即分紅率被上界l0控制，可得

定義b=inf{x≥0，V（x）≤1}。所以，當(dāng)x1，滿足下面這個方程

類似于文獻(xiàn)[5]，我們可得到下述定理

定理3.1 假設(shè)v（x）是二階可微連續(xù)、遞增的凹函數(shù)，且滿足HJB方程 （3.1） 和（3.2），且導(dǎo)函數(shù)v（x）有界，則

（1）對每個策略π∈Π都有v（x）≥V（x，π），則v（x）≥V（x）。

（2）若存在策略π*=（a1*（t），a2*（t），L*（t）），使得v（x）=V（x，π*），則v（x）=V（x）并且π*為最優(yōu)策略。

定理3.1的證明過程與文獻(xiàn)[5]類似，故這里省略證明過程。

定義方程

四、兩種負(fù)相關(guān)風(fēng)險業(yè)務(wù)的最優(yōu)值函數(shù)及最優(yōu)策略

當(dāng)兩種相關(guān)風(fēng)險業(yè)務(wù)呈負(fù)相關(guān)，也就是說lY<0時，兩種保險業(yè)務(wù)的風(fēng)險不可同時承擔(dān)。則可得

由于當(dāng)承擔(dān)第一種風(fēng)險，則不可承擔(dān)第二種風(fēng)險，即a2*=0，其值函數(shù)應(yīng)滿足的下面這個HJB方程

（4.1）

由于b=inf{x≥0，V（x）≤1}，故當(dāng)x1。故值函數(shù)應(yīng)滿足如下的方程式

（4.2）

類似與（3.3）與（3.4）式可得

（4.3）

結(jié)合（4.3）及（4.2）式可得

又由于v（0）=0，所以

則可得a1*（0）>0

4.1、a1*（0）>1

當(dāng)a1*（0）>1時，意味著再保險所支付的保費(fèi)要比保險公司所收取的第一種保險業(yè)務(wù)保費(fèi)高很多。這時，我們可以承擔(dān)第一種保險的全部保費(fèi)，即認(rèn)為a1*（0）=1。

定理4.1若時，值函數(shù)為

則v（x）是一個凹的二階連續(xù)可微函數(shù)，且是（3.1）及（3.2）的解。最優(yōu)分割比例為

證明：當(dāng)x

（4.4）

解上述微分方程，值函數(shù)為

其中，r+，r-為（4.4）式的特征方程的解。

當(dāng)x>b時，v（x）<1，故此時應(yīng)滿足l=l0，則值函數(shù)所應(yīng)滿足的HJB方程為

（4.5）

由于存在分紅上界l0，故，則其對應(yīng)的值函數(shù)為

又因為rm>r-，故，所以b值存在。又因為時，b<0，不成立，故b值不存在。又由于rm是（4.5）的特征方程的解，故v（x）為（3.1）及（3.2）的解。

定理4.2若時，值函數(shù)為

則v（x）是一個凹的二階連續(xù)可微函數(shù)，且是（3.1）及（3.2）的解。k1，k2由（4.7）式定義，b值由（4.8）式定義。最優(yōu)分割比例為

證明：由定理4.1的證明過程可知，時，b>0，故b值存在。

當(dāng)01。

當(dāng)x>b時，易知v （x）<0，故v（x）遞減，根據(jù)v（b）=1，可得v（x）<1。其余證明過程與定理4.1的證明過程類似，故這里省略。根據(jù)（4.6）-（4.8）可得，v（x）二階連續(xù)可微，故v（x）為（3.1）及（3.2）的解。

4.2、a1*（0）<1

a1*（0）<1，也就是說當(dāng)?shù)谝环N保險所收取的保費(fèi)與保險公司支付給再保險公司的再保費(fèi)相差較小時，則存在保險公司承擔(dān)風(fēng)險隨著公司盈余遞增而遞增的過程。

當(dāng)0F（1）時，證明過程與定理（4.2）類似。故v（x）是一個凹的二階連續(xù)可微函數(shù)，且是（3.1）及（3.2）的解。

定理4.4若，則值函數(shù)為

則v（x）是一個凹的二階連續(xù)可微函數(shù)，且是（3.1）及（3.2）的解。最優(yōu)分割比例為

證明：結(jié)合定理4.3的證明，若，則bF（1）時，滿足（4.5）式，。當(dāng)b

對a1求導(dǎo)得，

當(dāng)x=F（1）時

因為，故上式不成立，所以F（1）點不存在。 現(xiàn)假設(shè)當(dāng)x>bm時，a1*（x）=a1*，則值函數(shù)滿足的方程為

則其對應(yīng)的值函數(shù)為

其中，為上述特征方程的負(fù)根。且滿足v（bm+）=v（bm-）=1，v （bm+）=v（bm-）。故

由此可得，v（x）是一個凹的二階連續(xù)可微函數(shù)，且是（3.1）及（3.2）的解。

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基金項目：江蘇省研究生科研與實踐創(chuàng)新計劃項目（KYCX18_1386）。

作者簡介：楊博（1995-），女，山東德州，碩士研究生，研究方向：金融數(shù)學(xué)。