牛 騰 王洪鵬 白 欣

(1. 中國財政科學(xué)研究院博士后科研流動站，北京 100142； 2. 中國科學(xué)技術(shù)館，北京 100012； 3. 首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100037)

0 引 言

中國古代最開始以算籌為主要計算工具，后又發(fā)明了算盤．關(guān)于算盤的起源和發(fā)明時代問題，學(xué)術(shù)界有很多不同意見，有學(xué)者根據(jù)西周陶丸的發(fā)現(xiàn)，主張算盤在西周已產(chǎn)生，但這只能作為當(dāng)時人們已用珠進(jìn)行計數(shù)或計算的依據(jù)．有學(xué)者根據(jù)《數(shù)術(shù)記遺》中有關(guān)“珠算”的描述，認(rèn)為漢代已有算盤，但它只是一種珠算板，并非宋代以后算盤的形制．所以，西周陶丸和珠算板或許是算盤的前身，但所在時代不太可能是算盤產(chǎn)生的時代．梅文鼎[1]認(rèn)為算盤始于元末明初，但元代王振鵬《乾坤一擔(dān)圖》(1310年)、明初《魁本對相四言雜字》(1371年)等現(xiàn)有史料已有算盤的明確記載，可見算盤在元末明初時已經(jīng)盛行．李培業(yè)[2]、殷長生[3]、歷晉元[4]認(rèn)為算盤產(chǎn)生于唐代，梅瑴成[5]、凌廷堪[6]、華印椿[7]等推斷算盤產(chǎn)生于宋代，鈴木久男[8]認(rèn)為算盤產(chǎn)生于唐宋時期，郭書春[9]則認(rèn)為最遲產(chǎn)生于宋代．據(jù)現(xiàn)存史料，北宋張擇端《清明上河圖》中藥鋪柜臺上有一把算盤(也有學(xué)者認(rèn)為是錢板，本文認(rèn)為算盤的可能性比較大)，南宋劉勝年《茗園賭市圖》中也有清晰的算盤.本文傾向于認(rèn)為最遲在宋代已經(jīng)出現(xiàn)了與明代形制相同(有梁穿檔)的算盤．

現(xiàn)存數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，《謝察微算經(jīng)》[10]首次出現(xiàn)對算盤的介紹，但其年代問題說法不一，如李迪和馮立昇[11]認(rèn)為是五代末期的作品，歷晉元[4]、周全中[12]等認(rèn)為是唐代作品，也有專家認(rèn)為是宋時期的作品.現(xiàn)存殘卷中沒有關(guān)于珠算算法的詳細(xì)記載，直至明代，才出現(xiàn)大量珠算著作和有關(guān)珠算知識的詳細(xì)記載．現(xiàn)將涉及珠算知識的明代著作列表1．華印椿《中國珠算史稿》[7]、李培業(yè)《中國珠算簡史》[13]、山崎與右衛(wèi)門《珠算算法的歷史》[14]等著作對這部分內(nèi)容都有分析，馮東元《明代珠算古籍創(chuàng)新之淺見》[15]對明代主要的珠算著作及其創(chuàng)新之處進(jìn)行了介紹，但都不甚全面．本文對明代數(shù)學(xué)家關(guān)于珠算知識的研究及創(chuàng)新之處分為3類做較為詳細(xì)的分析，并具體介紹數(shù)學(xué)著作中珠算知識的特點(diǎn)和傳播情況．

表1 明代載有珠算知識的主要著作統(tǒng)計表

1 明代數(shù)學(xué)家和籌珠著作

1.1 吳敬及其《九章比類》

吳敬，字信民，號主一翁，浙江仁和人．他一生主要以當(dāng)幕賓為業(yè)，是江浙一帶有名的實(shí)用數(shù)學(xué)家，擅長錢糧、租賦、田畝計算．因“天資穎達(dá)，而博通乎算數(shù)”，吳敬受到眾多地方官員的禮遇和厚待，擔(dān)任經(jīng)濟(jì)計算工作．除了從事官府的各種計算工作，吳敬對數(shù)學(xué)研究有非常濃厚的興趣，“以草茅求學(xué)，留心算數(shù)”，并著力收集數(shù)學(xué)著作，花10年之功學(xué)習(xí)研究《詳解九章算法》，并形成了自己的見解，于1450年編纂完成《九章比類》一書．

《九章比類》[16]共11卷，包含卷首和正卷10卷．卷首名為“乘除開方起例”，列有“九章名目”“習(xí)算之法”、九九表、加減乘除開方及捷算法的運(yùn)算法則和口訣等內(nèi)容，并附有例題194問，是全書的預(yù)備知識．卷1至卷9按“九章”順序排列，卷10則介紹各類開方法．書中雖沒有一個算盤圖，但在“河圖書數(shù)”一節(jié)中有“不用算盤，至無差錯”的說明，還有“免用算珠并算子，乘除加減不為難”的歌訣．這一時期算籌和算盤2種算具并行，吳敬都比較熟悉，書中多種運(yùn)算也都是珠籌通用的．

《九章比類》中始出現(xiàn)加減法口訣，被吳敬分別歸為“因加乘法起例”和“歸減除法起例”兩類，說明這些口訣在各類乘法和除法中也都能使用到．這與后來常用的珠算加減法口訣相似，但只是其中一部分，沒有“一上一”“二上二”等簡單口訣．經(jīng)分析，上述口訣應(yīng)是珠算口訣，如“破五訣”中“無一去五下還四”是指從五中減一卻無一可減時，須將五去掉再添上四．這明顯是針對算盤來說的，梁上一珠代表5，梁下一珠代表1．而對于算籌來說，5直接用五根算籌表示，不存在“無一可減”的情形．

書中有特點(diǎn)之處不少，如創(chuàng)造了在珠算中被稱為“先十法”的加減捷算法，還著有珠算中稱之為“金蟬脫殼”的“乘除易會算訣”，此歌訣是首次出現(xiàn)，《盤珠算法》《數(shù)學(xué)通軌》《算法統(tǒng)宗》等書中也記載了類似方法和口訣，只是名稱不同．

書中還涉及大量開方問題，不僅分布于“乘除開方起例”“少廣卷第四”中，“各色開方卷十”更是專講各類開方問題，包括開四、五、六次方，以及解一元四次方程等復(fù)雜的開方運(yùn)算方法．基本都是采用傳統(tǒng)籌算開方法進(jìn)行運(yùn)算，但根據(jù)其開方法的表述方式以及該書的時代背景，吳敬用算籌布算、算盤輔助計算的可能性比較大，屬于籌算開方法到珠算開方法的一種過渡形式．

《算學(xué)寶鑒》《盤珠算法》《數(shù)學(xué)通軌》《算法統(tǒng)宗》等著作都參考過此書，對后世影響深遠(yuǎn)．但數(shù)學(xué)家們對此書評價不一，如清代梅文鼎[17]稱之：“書可盈尺，在《統(tǒng)宗》之前，《統(tǒng)宗》不能及也”，程大位[18]則認(rèn)為“其書章類繁亂，差訛者亦多”．其實(shí)現(xiàn)存藏本中確實(shí)差訛處甚多，但也有其創(chuàng)造性，是中國數(shù)學(xué)史、珠算史上一部非常重要的著作．

1.2 王文素及其《算學(xué)寶鑒》

王文素，字尚彬，山西汾州人，具體生卒年不詳．年幼時隨父親外出經(jīng)商，早年亦當(dāng)以經(jīng)商為業(yè)，但經(jīng)濟(jì)上不寬裕，想來不是個成功的商人．喜歡鉆研算學(xué)，收集諸家算書進(jìn)行研究，在研究這些著作之時，王文素也發(fā)現(xiàn)了一些問題，于是開始編纂數(shù)學(xué)著作《算學(xué)寶鑒》，歷經(jīng)30年時間編成．據(jù)李迪[19]考察，《算學(xué)寶鑒》中引用過的算書有20多種，如楊輝的著作、《啟蒙算法》《詳明算法》《九章比類》等．

《算學(xué)寶鑒》是明代篇幅最大、成就最高的數(shù)學(xué)著作，全書共42卷，分200個條目，包括317首歌訣．涉及的內(nèi)容廣泛且全面，算法嚴(yán)謹(jǐn)，校正了以前著作中的不少錯誤之處．書中無算盤圖，但“眾九相乘”中提到“算盤子”[20],且首次記載盤中定位法，都是珠算方法.書中最早對“掉尾乘”進(jìn)行了一般解釋“有自法尾乘起而至上者”，但沒有提到“掉尾乘”這個名稱，而早在《詳明算法》中的留頭乘名下就混入了掉尾乘的例題，這種算法與筆算類似，也是珠算中乘法運(yùn)算方法之一．除此之外，書中還記載了多種捷算法，如“身前乘”“因代繁乘”“實(shí)位相同”“眾九為乘”“歸總還零”等，其中一些是在前人基礎(chǔ)上發(fā)展而來，很適合在算盤上操作．

此書載有非常豐富的開方內(nèi)容，相當(dāng)于對一元高次方程求數(shù)值解法的介紹，有些珠算家認(rèn)為是珠算開方，但牛騰和鄒大海[21]經(jīng)過對其中開方用語及圖式的仔細(xì)考察，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算圖式側(cè)重于對求每位商數(shù)做解釋，與珠算開方的數(shù)據(jù)不能很好對應(yīng)，因而不能說明王文素的開方法屬于珠算開方．關(guān)于開方王文素采用的是籌算開方法，且是有異于傳統(tǒng)籌算開方的籌算開方新法，經(jīng)分析，其中有些復(fù)雜的運(yùn)算，可能借助于算盤、數(shù)碼和文字共同完成．與現(xiàn)存其他新法相比，王文素的方法最接近珠算商除開方法，屬于傳統(tǒng)籌算開方通向在一橫行內(nèi)排列各項(xiàng)之珠算開方的最直接的過渡形態(tài)．此外，本書開方運(yùn)算過程以及術(shù)語的使用與《九章比類》中的有很多相似之處．

因王文素?zé)o力刊刻自己的著作，所以該書流傳不廣，很多知識也沒有得到傳播與繼承．今只有一抄本傳世，現(xiàn)藏于國家圖書館．

1.3 周述學(xué)及其《歷宗算會》

周述學(xué)，字繼志，號云淵子，生卒年不詳，活躍于16世紀(jì)中期.他對數(shù)學(xué)、天文歷法、兵法、地理學(xué)、航海及術(shù)數(shù)等均有深入研究，著述統(tǒng)名曰《神道大編》，號稱千余卷．在數(shù)學(xué)方面，周述學(xué)著有《歷宗算會》15卷，公元1558年周文燭序，有嘉靖刊本和明抄本流傳[9]．

《歷宗算會》將算法進(jìn)行了重新分類，書中雖然沒有提到算盤，但仍有使用算盤進(jìn)行運(yùn)算的痕跡，不能說沒有對珠算的發(fā)展產(chǎn)生影響．如一般認(rèn)為在《盤珠算法》中首次出現(xiàn)的“金蟬脫殼法”在此書中就已有介紹，又名“連環(huán)算法”，所載歌訣與《九章比類》“乘除易會算訣”中的前四句相同，名下前兩則例解也與《九章比類》中的相似．

此外，書中的開方內(nèi)容非常豐富，卷四是開平方和各種開帶從平方，卷五是開立方、開三、四、五乘方以及開帶從立方、帶從三乘方．雖然周氏算書中乘法、除法的布位圖均以算籌布算，大部分開方法的說明也是傳統(tǒng)籌算開方法，同時書中仍著有籌算開方新法和珠算開方法，不少方法與吳敬和顧應(yīng)祥算書中的相似．明代關(guān)于珠算開高次方的記載只有開三乘方，沒有珠算開三乘以上方法的說明，這說明由籌算商除開高次方法到珠算商除開高次方法的過渡不如珠算開平方、開立方等容易．如周述學(xué)、程大位等對開三乘方的運(yùn)算說明雖然明確各項(xiàng)從左至右排列，但是仍使用“下法常超三位”定商數(shù)位數(shù)，體現(xiàn)了籌算開方法到珠算開方法的過渡．

《歷宗算會》對后世產(chǎn)生了一定影響，如潘亦寧[22]研究發(fā)現(xiàn)，《同文算指》很可能參考過《歷宗算會》中一元二次方程的解法等內(nèi)容．

2 明代珠算家和珠算專著

2.1 徐心魯及其《盤珠算法》

徐心魯，籍貫和生卒年月不詳，由他訂正、刻書家熊臺南刊行的《盤珠算法》，成書于1573年．該書詳細(xì)介紹了珠算盤的用法和口訣．其原本現(xiàn)藏于日本內(nèi)閣文庫，李儼先生有影印本．

《盤珠算法》[23]共二卷，卷一為珠算口訣及其它實(shí)用的計算法，卷二為解決實(shí)際問題的實(shí)用算術(shù).書中對應(yīng)各類運(yùn)算法載有54幅珠算盤演算圖式，圖文并茂．算盤形式為上一珠下五珠，中間用橫梁隔開，共九檔．李儼[24]、戶谷清一和華印椿[7]等認(rèn)為實(shí)際計算時，是用梁上二珠、梁下五珠的算盤．但有的算法也有用上一下五的算盤進(jìn)行計算的可能性，畢竟當(dāng)時應(yīng)該已經(jīng)存在這種算盤.如明代陳梧(有文獻(xiàn)稱陳梧是明成化年間(1465—1487年)進(jìn)士[25]，也有文獻(xiàn)稱他是明萬歷(1573—1620年)廣東僉事[26]，還有文獻(xiàn)記載陳梧生于1519年，卒于1578年[27]，陳梧坊建于明嘉靖二十年(1541年)[28]) 墓中發(fā)現(xiàn)一把上一下五的十三檔木算盤[26]，盧維禎(1543—1610年)墓中發(fā)現(xiàn)一把上一下五的十五檔算盤[29]．《盤珠算法》中詳載珠算口訣，比《九章比類》和《算學(xué)寶鑒》中的更詳細(xì)，也更適合在算盤上使用，是目前所知最早的比較全面的珠算運(yùn)算口訣．此書還載有“金蟬脫殼訣法”和“二字奇法”，類似于《九章比類》中的“乘除易會算訣”．所載乘法為留頭乘法，還著有“歸法總訣”即珠算歸除法口訣，這些口訣至今還在使用．該書宗旨在于“士民利用”，內(nèi)容簡單淺顯，包含加減乘除四則運(yùn)算，不包含開方法，針對各類算法都有例題和解法，多與人們生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)踐有關(guān)，體現(xiàn)了明代商業(yè)數(shù)學(xué)的特色．但現(xiàn)存此書?？滩痪e誤之處不少．

該書在中國流傳不廣，還曾一度失傳，明代時傳入日本．和此書相似的珠算普及性著作有《桐陵算法》等，書中的內(nèi)容大體相同，不再詳細(xì)介紹．

2.2 柯尚遷及其《數(shù)學(xué)通軌》

柯尚遷(1500—1582年)，福建長樂下嶼人．明嘉靖二十八年(1549年)貢生，任京師的邢臺縣丞．1578年撰成《數(shù)學(xué)通軌》一書，其孤本和刻本均藏于日本尊經(jīng)閣．

《數(shù)學(xué)通軌》中共載有36幅算盤圖，“初定算盤圖式”[30]中的算盤為上二下五珠，共13檔，郭金彬[31]稱這是與我國后來通行的完全相同的最早算盤圖式，其實(shí)并非如此．明初《魁本對象四言雜字》和《對象四言雜字》中均有上二下五樣式的算盤，前書中算盤為10檔，后書中為9檔．

該書分為“學(xué)算須知”“歸除詮要”“九章釋例”“九章總義”四大部分，前兩部分主要介紹珠算加減乘除等基本運(yùn)算方法，比《盤珠算法》介紹的更全面些．如針對歸除法，除記載了九歸歌訣和撞歸口訣，還載有“還原法語”，即針對歸除中有歸無除的全部口訣．但書中也有些錯誤之處，如所載“乘法”口訣為留頭乘口訣，但名下例題卻使用掉尾乘法進(jìn)行運(yùn)算．其“習(xí)數(shù)法語”中稱“要知開方各色”，但該書并未介紹各類開方，只在“九章總義”中有說明[30].可見作者見過并了解顧應(yīng)祥的開方法，之所以沒詳細(xì)介紹或許是由于開方術(shù)稍難．

《數(shù)學(xué)通軌》與《盤珠算法》情況相似，在中國流傳不廣，明代時傳入日本．但前者水平高于后者，且《數(shù)學(xué)通軌》傳入日本之后，流傳廣泛，對日本珠算的發(fā)展起到了重要作用．

2.3 程大位及其《算法統(tǒng)宗》《算法纂要》

程大位(1533—1606年)，字汝思，號賓渠，安徽休寧縣率口鄉(xiāng)人，青年時期在長江中下游一帶經(jīng)商20余年，因喜好算學(xué)，遇有算書不惜重金買下，用以研究．程大位年40左右，棄商返鄉(xiāng)鉆研數(shù)學(xué)，歷經(jīng)20年著成《算法統(tǒng)宗》[18]，于1592年刊刻．1598年刪繁就簡又著成《算法纂要》一書．

《算法統(tǒng)宗》是明代乃至中國數(shù)學(xué)史上最為流行的數(shù)學(xué)著作，也是一本全面講述珠算的著作，是珠算的代表作之一．書中所載算盤為上二下五珠，共15檔．該書編排上由易到難，適合人們學(xué)習(xí)，其中卷1、卷2是珠算的基本概念和算法，口訣全面且便于記憶，對各類算法都詳述計算步驟，并配以例題進(jìn)行說明；卷3至卷12是按九章分類方式排列各種實(shí)用問題及算法；卷13至卷16專著“難題”，實(shí)際是解詩歌形式給出的題目，很有趣味性；卷17收錄了各種雜法，如“金蟬脫殼”“二句字訣”“寫算”“孕推男女”等等，其中“算經(jīng)源流”收集了大量古算書目，對珠算史和數(shù)學(xué)史都有十分重大的價值和意義．

程大位對珠算的使用和學(xué)習(xí)有自己的觀念[32]，如乘法有留頭乘，破頭乘，掉尾乘，隔位乘，但他只介紹了留頭乘法，認(rèn)為其他“總不如留頭乘之妙”，所以不錄；除法則重歸除輕商除，對于歸除中有歸無除的情形，《算法統(tǒng)宗》也著錄了對應(yīng)的口訣，稱為“起一還原法”，比《數(shù)學(xué)通軌》中的更簡便．書中還載有比較詳細(xì)的珠算開方法，除了繼承自傳統(tǒng)籌算開方法的珠算商除開方法，還載有珠算歸除開平方、開立方法．但書中珠算開帶從方法的內(nèi)容不及顧應(yīng)祥等算書中的豐富，且《算法統(tǒng)宗》珠算開帶從三乘方法與《測圓海鏡分類釋術(shù)》、《弧矢算術(shù)》等書中的方法非常相似，其中1題與《歷宗算會》中的相同，解法也相似，可見，程大位珠算開帶從三乘方法與顧應(yīng)祥、周述學(xué)的著作有很大的淵源關(guān)系．

《算法統(tǒng)宗》出版后受到人們普遍歡迎，不斷再版、重印，后來更是傳入日本，對日本珠算和和算的發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，也起到了促進(jìn)作用．日本每年八月八日“算盤節(jié)”，人們抬著算盤和程大位的畫像游行，以示對程大位的崇敬[33]．據(jù)研究，日本流傳最廣的算書《塵劫記》(1624年)就是以《算法統(tǒng)宗》[34]為藍(lán)本編寫而成．《塵劫記》中的開方法采用多個算盤從上至下排列進(jìn)行運(yùn)算，綜合了籌算開方法與珠算開方法的特點(diǎn)，這或許是受《算法統(tǒng)宗》中所載傳統(tǒng)籌算開方法和珠算開方法的影響．

2.4 黃龍吟及其《算法指南》等珠算專著

黃龍吟，字龍吟，名噓云，號高源里人，生平不詳．著有《算法指南》，于1604年刊行，書中稱：“夫算盤每行七銖，中隔一梁，上梁二銖，每一銖當(dāng)下梁五銖也，下梁五銖，一銖只是一數(shù)”[35]，卻與書中上一珠、下五珠的算盤圖不匹配，可能是因?yàn)榻榻B的運(yùn)算法用不到頂珠，為節(jié)省刻板而省掉了．

此書共二卷，上卷主要介紹珠算四則運(yùn)算法，下卷主要介紹其他實(shí)際應(yīng)用問題和解法．本文主要研究書中的珠算知識，上卷先介紹了加減乘除的各類歌訣，所載乘法為留頭乘法，除法為歸除法；然后用算盤演算圖說明加減算法，以例題結(jié)合演算圖的形式介紹歸及歸除法運(yùn)算；再以例解形式介紹九歸、歸除、乘法等計算方法．書中對于乘法運(yùn)算中乘數(shù)是二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)的運(yùn)算分別稱為“二色乘法”“三色乘法”和“四色乘法”，且有單獨(dú)條目；還有“折成色法”“算物價法”“肉求銀法”“綿紗求布法”“借銀算利法”“色銀傾紋法”實(shí)際都是用留頭乘或歸除法進(jìn)行運(yùn)算的方法．看似分類詳細(xì)，實(shí)際比較繁瑣．此外書中還載有隔位歸除法(除數(shù)次位為零)、隔位乘法(相乘兩數(shù)皆為三位數(shù)，且兩數(shù)次位都為零)，與一般所說隔位乘除法的含義不同．

明代類似的珠算普及性著作甚多，如《書算玄通》《算法門》《算法便覽》《精採算法》《算法門類》《新鐫九龍易訣算法》等，但這些著作的內(nèi)容大多比較淺顯，且有互相抄襲的痕跡[9]．

3 其他涉及珠算的數(shù)學(xué)著作

3.1 顧應(yīng)祥及其《測圓海鏡分類釋術(shù)》等書

顧應(yīng)祥(1483—1565年)，明代數(shù)學(xué)家，號箬溪道長，明嘉靖時任滇南巡撫，后任刑部尚書和都察院右副都御史等職．自幼愛好數(shù)學(xué)，喜歡研究數(shù)學(xué)問題，著有《勾股算術(shù)》二卷(1533年)、《測圓海鏡分類釋術(shù)》十卷、《弧矢算術(shù)》一卷和《測圓算術(shù)》四卷等，都是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題的整理和研究．

《測圓海鏡分類釋術(shù)》成書于1550年，內(nèi)容主要是對元代李冶的《測圓海鏡》(1248年)進(jìn)行刪減、分類、注釋[9]．書中詳注了多種類型的開方法，并給出了具體的演算，共有開帶從平方到開帶從三乘方的各種開方細(xì)草和方法解釋60條左右，包括了方程不同系數(shù)符號與不同開方形式的說明．《弧矢算術(shù)》專門研究弧矢形的弧、矢、圓、徑、弦、截積之間的關(guān)系，書中也載有開方細(xì)草．《測圓算術(shù)》則是顧應(yīng)祥對《測圓海鏡》和勾股及其容圓的進(jìn)一步研究，書中開方細(xì)草共有26條，內(nèi)容較《測圓海鏡分類釋術(shù)》少，但較之精簡．

經(jīng)過分析，顧應(yīng)祥[36]的著作中大部分開方細(xì)草都是“布實(shí)于左”，將商數(shù)“置一于左上為法”．除此之外，還有“布實(shí)于左，從于右”的說法．而且整個開方過程沒有“借一算”，沒有各項(xiàng)的退位變化，也沒有各項(xiàng)的上下對位說明，而顧氏開方法中出現(xiàn)的“左上”一詞，意思為“左邊的左邊”的可能性比較大，也就是屬于各項(xiàng)從左至右一橫行式排列的開方法．由于書中所載均為帶從開方法，涉及到的項(xiàng)數(shù)比較多，數(shù)目也比較大，特別是其開方法中多有18 000 000、43 008 000等之類的數(shù)，如果選擇算籌進(jìn)行開方運(yùn)算，不可能將各項(xiàng)從左至右擺放，增加運(yùn)算難度，只有用算盤進(jìn)行開方時，因算具的特殊性，只好將各項(xiàng)在算盤上從左至右擺放．

現(xiàn)存開方材料中，《測圓海鏡分類釋術(shù)》最早記載了珠算開方法，雖然顧應(yīng)祥無法理解天元術(shù)，并在其書中刪去了有關(guān)天元術(shù)的內(nèi)容，但他對開方法的發(fā)展起到了非常重要的作用．

3.2 朱載堉及其《算學(xué)新說》《嘉量算經(jīng)》

朱載堉(1536—1611年)，字伯勤，號句曲山人，是明朝開國皇帝朱元璋的九世孫，明仁宗朱高熾的七世孫，10歲時被冊封為鄭世子[37].他從小喜歡音樂、數(shù)學(xué)，一生著作甚豐，著有《瑟譜》《律學(xué)新說》《律呂精義》《樂學(xué)新說》《律呂正論》《算學(xué)新說》《嘉量算經(jīng)》《律歷融通》等，大部分都收集在《樂律全書》中，涉及音律學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、計量學(xué)、音樂、舞蹈、詩歌等多方面內(nèi)容．

朱載堉在數(shù)學(xué)方面的成就有，用算盤進(jìn)行九進(jìn)制和十進(jìn)制的小數(shù)換算，求圓周率以及進(jìn)行開平方、開立方的運(yùn)算，有的開方運(yùn)算結(jié)果多達(dá)25位，是中國珠算史上、乃至數(shù)學(xué)史上非常重要的成果．其具體開方運(yùn)算過程見于《算學(xué)新說》和《嘉量算經(jīng)》，后一著作所載開方內(nèi)容均包含在前一著作中．兩書中專門介紹了珠算開方的基本知識，有利于讀者熟悉開方與乘方的關(guān)系，易于掌握定商的位數(shù)、數(shù)位和估計各位商數(shù)，避免錯位，同時也使全書形成一個整體．經(jīng)分析，朱載堉使用81位大算盤進(jìn)行珠算開平方運(yùn)算，用至少兩個81位大算盤進(jìn)行珠算開立方運(yùn)算，且珠算歸除開平方法很可能是朱載堉首創(chuàng)或至少獨(dú)立創(chuàng)造的，而珠算商除開立方法雖然可能出現(xiàn)更早，但朱氏的珠算商除開立方法有自己的特色．朱載堉創(chuàng)立這兩種珠算開方法的時間大概在16世紀(jì)六七十年代．此外，朱氏歸除開平方法比程大位、王肯堂、李長茂等的方法更簡單，也更適合在算盤上進(jìn)行運(yùn)算[38]．但這種方法并未得到很好的繼承和發(fā)展，如清代梅瑴成《增刪算法統(tǒng)宗》所載珠算歸除開平方法仍是程大位方法的改進(jìn)版，依然不如朱氏方法簡單、便于操作．

日本尊經(jīng)閣藏有《算學(xué)新說》，可見此書也傳入過日本．該書因在《樂律全書》中，其中的珠算開方知識在我國似乎未得到傳播，也未見之后的數(shù)學(xué)著作有關(guān)于朱氏開方法的記載．

3.3 張爵《九章正明算法》、余楷《一鴻算法》

程大位《算法統(tǒng)宗》卷十七“算經(jīng)源流”載“正明算法嘉靖己亥金臺張爵作”[18]，該書在諸家書目中未見記載，李兆華得見此書殘本[39]，并分析稱此書全名即為《九章正明算法》，全書共四卷，現(xiàn)存卷四即最后一卷，為明萬歷十年(1582年)北京重刊本，程大位所說嘉靖己亥(1539年)或?yàn)槌蹩甏鶕?jù)李兆華所錄書中題目及例解，本文分析書中用珠算進(jìn)行開方的可能性較大，但因不知前三卷內(nèi)容，所以不清楚具體情況，但看其表述方式，此書是珠籌并用的算書的可能性比較大．

明代余楷著有《一鴻算法》四卷(1585年刊印完成)，該書的明刻本現(xiàn)藏于安徽省黃山市博物館，“算經(jīng)源流”也有關(guān)于此書的記載：“一鴻算法萬歷甲申銀邑余楷作”[18]．據(jù)李迪和王榮彬[40]介紹，該書內(nèi)容淺顯，是一種普及性讀物，雖然書中沒有算盤圖，但根據(jù)內(nèi)容可知是一部珠算書．王榮彬和李迪[41]對《一鴻算法》中的開平方和開立方法進(jìn)行了介紹．以開平方法為例，據(jù)其中關(guān)于算法過程的文字表述以及開方圖式，可知其開平方法有法、實(shí)、對3項(xiàng)，分列左、中、右．與《算法統(tǒng)宗》等書中的不同，是一種新的珠算開平方法．這種表述方式也是首次出現(xiàn)，淺顯易懂．

4 結(jié)束語

明代既是珠算普及的重要時期，也是各家研究珠算的高峰時期，珠算加減乘除開方等各類計算法都完成了從籌算到珠算的過渡，并發(fā)展成熟，有關(guān)珠算的各類口訣和捷算法也都被普遍使用，并得到進(jìn)一步發(fā)展．珠算作為一種計算方法，有其特有的科學(xué)價值，這一時期它的特點(diǎn)是：珠算加減口訣得以完善，乘法以留頭乘法為主，除法以歸除法為主，有著實(shí)用價值的各類捷算法涌現(xiàn)，開方法完成了從傳統(tǒng)籌算開方法到籌算開方新法，到珠算商除開方法，再到珠算歸除開方法的演變過程，且各類開方法并存．總的來說，明代數(shù)學(xué)著作中的珠算知識大都有繼承前人算書的跡象，小部分著作有所創(chuàng)造和發(fā)展，各類口訣也在發(fā)展過程中不斷完善，形成后來常用的珠算口訣．

這一時期出現(xiàn)了大量的珠算家和普及性、研究性著作，算盤被使用到生活中的各個方面．特別是王文素、朱載堉和程大位等對珠算的傳承和發(fā)展起到了非常重要的作用，他們的著作更是為后人留下了寶貴的財富，成為海內(nèi)外學(xué)者爭相研究的對象．

此外，珠算還傳入了日本和朝鮮等地，為他們提供了更有效的計算手段，特別是明代珠算著作向日本等地的傳播，促進(jìn)了日本珠算的發(fā)展，對日本和算也產(chǎn)生了很大的影響．珠算作為中國比較重要的傳統(tǒng)文化之一，沒有被世人遺忘和摒棄，由之發(fā)展起來的珠心算教育正在全世界如火如荼地進(jìn)行，讓更多的人們了解中國珠算的起源與發(fā)展，對傳承和弘揚(yáng)珠算文化具有重要意義．