蔡光斌， 趙陽， 張勝修， 楊小岡

(1.火箭軍工程大學 導(dǎo)彈工程學院, 陜西 西安 710025； 2.西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072)

0 引言

高超聲速技術(shù)被稱為21世紀航空航天技術(shù)的“制高點”[1-2]，其是當前以及未來航空航天領(lǐng)域發(fā)展的核心技術(shù)之一[3]，特別是具有“乘波體”構(gòu)型的吸氣式高超聲速飛行器，被認為是一種未來進入太空更經(jīng)濟有效的方式，因其重要的戰(zhàn)略意義而備受世界各軍事強國的廣泛關(guān)注[4]。

吸氣式高超聲速技術(shù)的發(fā)展始于20世紀50年代提出的高超聲速燃燒概念[2-3]。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，美國、俄羅斯、法國、德國、英國、日本和印度等國自20世紀90年代以來已在高超聲速技術(shù)方面陸續(xù)取得了重大進展，并相繼開展了多項地面試驗和飛行試驗[3-5]。目前，高超聲速技術(shù)已經(jīng)從早期的概念和原理探索階段進入到以高超聲速巡航導(dǎo)彈、高超聲速飛機和空天飛機等為應(yīng)用背景的先期技術(shù)開發(fā)階段和工程研制階段。對于高超聲速飛行技術(shù)的研究，我國起步較晚，在21世紀以前，我國的研究主要集中于基礎(chǔ)性的研究。2014年，我國自主完成首次高超聲速風洞實驗，結(jié)束了60多年的國外技術(shù)壟斷[4-9]。近年來，我國正在緊鑼密鼓地進行“乘波體”高超聲速飛行器的自主研制和飛行試驗工作，并取得了一系列的突破性進展。

與傳統(tǒng)的飛行器相比，吸氣式高超聲速飛行器由于采用超燃沖壓發(fā)動機、機體/發(fā)動機一體化設(shè)計技術(shù)，導(dǎo)致其氣動特性、推進系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)動態(tài)之間存在明顯的耦合效應(yīng)[6-9]；同時，高超聲速飛行器的飛行包線范圍更大，飛行環(huán)境更加復(fù)雜，存在各種隨機干擾和擾動，使控制系統(tǒng)隨飛行區(qū)域的變化呈現(xiàn)出強烈的非線性和嚴重不確定性[10]；此外，由于高超聲速飛行器的快速飛行，使得其所攜帶的燃料迅速消耗，從而引起高超聲速飛行器的質(zhì)量分布快速變化，使高超聲速飛行控制系統(tǒng)具有明顯的快時變性[3]。因此，高超聲速飛行控制系統(tǒng)具有強非線性、強耦合性、快時變性以及嚴重的不確定性。

目前，國內(nèi)外學者在高超聲速飛行器的飛行姿態(tài)控制技術(shù)方面已取得了一系列的研究成果，從控制方法角度出發(fā)，可分為以下3類：基于線性模型的控制方法、基于非線性模型的控制方法、基于線性參變/時變模型的控制方法。文獻[11-12]所采用的控制方法就屬于第一類控制方法，該類方法對模型的精度要求較低，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制性能設(shè)計，但對于具有快時變、強耦合、強非線性以及嚴重不確定性的高超聲速飛行控制系統(tǒng)而言，一般基于線性化的控制設(shè)計方法均存在著不同程度的局限性。例如：現(xiàn)有的線性控制設(shè)計一般只是基于系統(tǒng)的某個平衡工作點附近的線性化模型來設(shè)計局部控制器，而對于非平衡點處或者非設(shè)計區(qū)域無法實現(xiàn)對飛行器的大跨度機動飛行控制；文獻[13-14]所采用的控制方法屬于第二類控制方法，該類方法更加符合高超聲速飛行控制系統(tǒng)的非線性模型本質(zhì)，但對模型的結(jié)構(gòu)和精確性要求更高，且不易做魯棒性分析。這對于具有較強的參數(shù)與結(jié)構(gòu)不確定性和未建模動態(tài)的高超聲速飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計而言，限制了許多非線性方法的應(yīng)用。例如，許多非線性控制設(shè)計是基于反饋線性化模型展開的，但是對于大多數(shù)高超聲速飛行器模型而言，通常不滿足反饋線性化條件的，一般都是加入多個較強的假設(shè)條件才能實現(xiàn)反饋線性化。然而，即便是對可反饋線性化的系統(tǒng)，反饋線性化后得到的高階李導(dǎo)數(shù)求解過程和表達式都極為復(fù)雜，后續(xù)設(shè)計過程中無法在此基礎(chǔ)上展開諸如魯棒性、自適應(yīng)性等控制性能分析[15]。

基于線性參變模型的控制方法實質(zhì)上是利用線性控制方法對非線性系統(tǒng)進行控制器設(shè)計，其最大優(yōu)點是控制器本身為參數(shù)依賴，可以進行自增益調(diào)節(jié)，而且魯棒穩(wěn)定性可以從理論上得到保證，如文獻[16-23]，都屬于該類控制方法，因此本文采用該類控制方法設(shè)計高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)。

對于具有快時變、強耦合、強非線性、嚴重不確定性的高超聲速飛行控制系統(tǒng)而言[3]，所設(shè)計的控制器必須具備魯棒穩(wěn)定性、干擾抑制能力和一定的動態(tài)跟蹤特性。H∞控制器在系統(tǒng)出現(xiàn)不確定性時具有較好的魯棒穩(wěn)定性，但這是以犧牲其他指標為代價的，最終的控制系統(tǒng)性能仍難以滿足要求[17]；而H2性能對于處理隨機噪聲、干擾很有效，但控制效果完全依賴于描述被控對象數(shù)學模型的精確性，這點影響了傳統(tǒng)H2最優(yōu)控制器在實際中的應(yīng)用[18]；極點配置通過將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到指定區(qū)域內(nèi)，就能保證系統(tǒng)具有一定的動態(tài)特性[21]。因此，本文在得到吸氣式高超聲速飛行器剛性線性變參數(shù)(LPV)模型的基礎(chǔ)上，針對其縱向飛行姿態(tài)控制問題，提出了一種基于區(qū)域極點配置的H∞/H2多目標LPV控制系統(tǒng)設(shè)計方法，較之傳統(tǒng)的H∞控制器與H2控制器，該方法對控制系統(tǒng)模型的精確性要求不高，且不僅可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還使所設(shè)計的跟蹤控制器具有較好的魯棒性和動態(tài)特性；同時，通過引入松弛變量，降低了所設(shè)計控制器的保守性。最后通過與現(xiàn)有文獻[23]中的方法進行仿真對比，說明了所設(shè)計控制器的有效性和優(yōu)越性。

1 縱向LPV建模

1.1 吸氣式高超聲速飛行器縱向機理模型

吸氣式高超聲速飛行器縱向平面的詳細幾何尺寸可以參照文獻[3-4,7]。根據(jù)普朗特- 邁耶爾理論，應(yīng)用拉格朗日方程，可以得到吸氣式高超聲速飛行器縱向非線性機理模型[3-4]：

(1)

式中：v為飛行速度；h為飛行高度；α為攻角；γ為飛行路徑角；Q為俯仰角速率；T、D、L、Myy分別表示推力、阻力、升力、俯仰力矩；m為飛行器質(zhì)量；μ為地球引力常量；r為飛行器質(zhì)心到地心的距離；Iyy為俯仰轉(zhuǎn)動慣量。上述各力與力矩系數(shù)以及相應(yīng)的氣動力與力矩系數(shù)表達式為

1.2 剛性LPV模型

針對機理模型(1)式，忽略飛行器的彈性效應(yīng)，在后續(xù)的控制器設(shè)計中，將其視為模型的不確定性[3-4]。為了得到LPV模型，首先選取調(diào)度變量θ=[Ma,h]T，在馬赫數(shù)Ma∈[8,10]，飛行高度h∈[24 672,30 840]的飛行包絡(luò)內(nèi)進行網(wǎng)格劃分，并對網(wǎng)格上的每個點進行配平得到平衡狀態(tài)點，從而得到圍繞平衡狀態(tài)的增量模型，然后采用雅克比結(jié)合張量積的方法可以得到具有多胞結(jié)構(gòu)的剛性LPV模型，模型轉(zhuǎn)化的具體過程和主要思路參見文獻[20]。這里，給出增量形式的LPV模型如下：

(2)

式中：xν=[vν,hν,αν,γν,Qν]T代表飛行狀態(tài)圍繞平衡狀態(tài)的增量，vν、hν、αν、γν、Qν分別為飛行速度、飛行高度、攻角、飛行路徑角、俯仰角速率圍繞平衡狀態(tài)的增量；uν=[δeν,δcν,φν,Adν]T代表控制變量圍繞平衡狀態(tài)的增量，δeν和δcν分別為升降舵偏角和鴨翼舵偏角圍繞平衡狀態(tài)的增量，φν為等效燃料率的增量，用于控制發(fā)動機推力大小，Adν為擴散區(qū)比例的增量，用于控制發(fā)動機的進氣量，從而間接控制推力；A(θ)、B(θ)分別為

注釋1在后續(xù)內(nèi)容中，將針對上述高超聲速飛行器的多胞LPV模型進行控制器設(shè)計。下節(jié)中，將考慮更一般化的多胞LPV系統(tǒng)，提出連續(xù)時間多胞LPV系統(tǒng)的變增益H∞/H2控制器設(shè)計理論方法。其中，將在一般化的多胞LPV系統(tǒng)中引入了干擾輸入量，這類干擾輸入可以作為高超模型和參數(shù)不確定性、高超彈性模態(tài)影響等輸入項。

2 基于區(qū)域極點配置的混合多目標LPV狀態(tài)反饋控制

2.1 問題描述

考慮如下多胞LPV系統(tǒng)S：

(3)

式中：A(θ)、Bi(θ)、Ci(θ)、Di(θ)均為LPV系統(tǒng)S的相容矩陣；x∈Rn為狀態(tài)向量，w∈Rl為干擾輸入，u∈Rm為控制輸入，z∞∈Rn1為H∞性能指標下的控制輸出，z2∈Rn2為H2性能指標下的控制輸出，n、l、m、n1、n2表示向量維數(shù)且相容。針對LPV系統(tǒng)S，設(shè)計如下狀態(tài)反饋控制律：

u=K(θ)x，

(4)

式中：K(θ)∈Rm×n. (4)式代入到(3)式中，可以得到如下閉環(huán)LPV系統(tǒng)CDOF：

(5)

式中：系數(shù)矩陣Acl(θ)、C1cl(θ)和C2cl(θ)分別為

Acl(θ)=A(θ)+B2(θ)K(θ) ，

(6)

C1cl(θ)=C1(θ)+D12(θ)K(θ)，

(7)

C2cl(θ)=C2(θ)+D22(θ)K(θ).

(8)

問題1針對(3)式中的多胞LPV系統(tǒng)S，設(shè)計形如(4)式中的LPV狀態(tài)反饋控制器，使得(5)式中的閉環(huán)LPV系統(tǒng)CDOF對所有的調(diào)度參數(shù)滿足如下特性：

1)穩(wěn)定性能：系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置到復(fù)平面左半平面上指定的圓形線性矩陣不等式(LMI)區(qū)域(如圖1所示，LMI區(qū)域的具體定義詳見參考文獻[21-22])，使Acl(θ)穩(wěn)定；同時使閉環(huán)系統(tǒng)CDOF具有一定的動態(tài)性能。

圖1 圓形LMI區(qū)域Fig.1 Circular region of LMI[21-22]

2)H∞性能[22]：對于能量有界輸入信號w∈L2，給定性能指標γ>0，使得由w到z∞的傳遞函數(shù)矩陣Tz∞w(s)的H∞范數(shù)|Tz∞w(s)|∞<γ.

3)H2性能[22]：對于隨機干擾輸入信號w，給定性能指標η>0，使得由w到z2的傳遞函數(shù)矩陣Tz2w(s)的H2范數(shù)滿足|Tz2w(s)|2<η.

2.2 基于區(qū)域極點配置的H∞/H2LPV控制

為了解決問題1，首先給出如下引理：

(9)

(10)

式中：*表示由對稱矩陣的對稱性得到的塊矩陣(以下情形類似，不再重復(fù)說明)。

(11)

(12)

trace(Q)<η2.

(13)

引理4[16]下列條件等價：

2)存在矩陣G使得下式成立：

通過引入松弛變量G，使得在變量和約束增維的空間中，產(chǎn)生了擴展條件，可以實現(xiàn)Lyapunov函數(shù)矩陣與系統(tǒng)矩陣解耦。

根據(jù)文獻[23]中的思想，易將引理1～引理3從LTI系統(tǒng)推廣到多胞LPV系統(tǒng)，結(jié)合問題1，給出如下定理：

定理1針對(3)式中的多胞LPV系統(tǒng)S，給定正標量γ>0和η>0，存在形如(4)式中的增益調(diào)度狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)CDOF滿足問題1中3個特性的充分條件為存在正定對稱矩陣X，對稱矩陣Q和矩陣Li，i=1,…,N，j=1,…,N，假設(shè)各矩陣之間維數(shù)是相容的，且滿足如下LMI約束條件：

trace(Q)<η2，

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Ξij=

(20)

若(14)式～(20)式有解，則狀態(tài)反饋調(diào)度增益K(θ)可由(21)式求得：

(21)

證明(6)式～(8)式中的閉環(huán)系數(shù)矩陣代入(9)式、(10)式和(12)式的左邊，分別得：

(22)

(23)

(24)

令XD=X∞=X2=X，并引入新的矩陣變量L(θ)：

(25)

根據(jù)LPV系統(tǒng)的多胞特性， (22)式～(24)式可分別化為

Γ(θ)=

(26)

(27)

(28)

注釋2定理1由于計算簡單，計算量小，能簡化系統(tǒng)分析與綜合過程，所以應(yīng)用起來很方便。同時注意到定理1中的LMI約束不僅僅對矩陣X、Q和矩陣Li是線性的，而且也是性能指標γ和η的線性約束，因此，定理1的求解條件就可轉(zhuǎn)化成具有LMIs約束的線性目標函數(shù)最小化問題。然而，在實際應(yīng)用中，性能指標γ與η不可能同時達到最優(yōu)，必須進行加權(quán)處理，常見的加權(quán)形式如下：

J=aγ+bη,

(29)

式中：a、b為權(quán)值，可以根據(jù)具體的設(shè)計要求進行設(shè)定。于是，定理1的求解條件變?yōu)?/p>

(30)

由定理1的證明過程可知，此定理實際上限制了XD=X∞=X2=X,而且還要求在所有的多胞頂點上只存在一個共同的Lyapunov函數(shù)矩陣，顯然，這給系統(tǒng)的綜合帶來了較大的保守性。對此，可以通過引入松弛變量的方法來降低保守性，即提出定理2如下。

定理2針對定理1中的設(shè)計要求，其可行的充分條件為存在正定對稱矩陣X∞i、X2i，正定矩陣XDi，對稱矩陣Qi和矩陣G1、G2、H1i、H2i,i=1,…,N，假設(shè)各矩陣之間維數(shù)是相容的，且滿足如下LMI約束條件：

trace(Qi)<η2,

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

令

根據(jù)引理4，(12)式等價于(37)式：

(37)

令

(38)

根據(jù)引理4，(13)式和(14)式分別等價于(38)式：

(38)

(39)

由于問題1面向的是多胞LPV系統(tǒng)，根據(jù)凸優(yōu)化理論可知，只要針對多胞的頂點進行控制器設(shè)計即可，于是，(6)式～(8)式在多胞模型頂點的表達形式為

Aicl=Ai+B2iKi,
C1icl=C1i+D12iKi,
C2icl=C2i+D22iKi.

(40)

(40)式帶入(36)式～(39)式中，并引入新的矩陣變量H1i=KiG1，H2i=KiG2，i=1,…,N，即可得到(31)式～(35)式的LMI約束條件。證畢。

注釋3定理2通過引入松弛變量，使Lyapunov函數(shù)矩陣與系統(tǒng)矩陣解耦，從而可以在不同的頂點上使用不同Lyapunov函數(shù)矩陣，降低了控制系統(tǒng)設(shè)計的保守性，但由于存在著KiG1和KiG2等矩陣變量的耦合項，因此是一個雙LMI求解問題，不能直接利用Matlab中的LMI工具箱進行求解，解算難度增大，計算量相對于定理1也大大增加，具體解法可參見文獻[24]。

注釋4由于KiG1和KiG2等矩陣變量之間存在著耦合項，其并不是LMI的典型形式，不能直接使用LMI工具箱求解。采用文獻[25-27]提出的錐互補線性化算法，可將其轉(zhuǎn)化為一些受LMI約束的序列優(yōu)化問題來解決。故由錐互補線性化算法可將定理2中的求解條件轉(zhuǎn)化為如下所示的受LMI約束的最小優(yōu)化問題：

(41)

若受LMI約束的最小優(yōu)化問題(41)式可解，則定理2中的條件也是可解的，雖然不一定存在全局最優(yōu)解，但是此最小優(yōu)化問題也比雙線性不等式的求解過程容易得多。

3 數(shù)值仿真算例

3.1 控制器設(shè)計

應(yīng)用第2節(jié)提出的基于區(qū)域極點配置的H2/H∞控制系統(tǒng)設(shè)計方法，來實現(xiàn)吸氣式高超聲速飛行器的跟蹤控制。首先，參照文獻[20]中的方法，將(2)式中的剛性LPV模型擴展成系統(tǒng)設(shè)計所需的(3)式的形式。

重新書寫(2)式中的狀態(tài)方程，表達形式如下：

(42)

式中：xv表示參考輸入速度信號rv(τ)與實際速度v(τ)之差的積分；xh表示參考輸入高度信號rh(τ)與實際高度h(τ)之差的積分，以此擴展開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

A(θ)xν+Bw(θ)w+Bu(θ)uν.

(43)

Cz∞xν+Dz∞uν,

(44)

(45)

(46)

z∞=C1(θ)x+D12(θ)u,

(47)

z2=C2(θ)x,

(48)

表1 魯棒性能指標

表2 各頂點的閉環(huán)極點

通過表1可以發(fā)現(xiàn)，定理1得到的兩個性能指標與采用文獻[23]中方法得到的性能指標相比很接近，降低幅度不大，但定理2得到的兩個性能指標都小于前兩種方法得到的，因此，可以驗證定理2確實降低了控制系統(tǒng)設(shè)計的保守性；同時，還可以看出，定理1的計算迭代次數(shù)是最少的，更適合實際工程應(yīng)用，定理2的計算迭代次數(shù)明顯多于前兩種方法的迭代次數(shù)，而且計算結(jié)果還依賴于初值的選取，但對于目前計算機的計算速度來講，是能夠接受的。從表2可以看出，各頂點的閉環(huán)極點都配置到了圓形區(qū)域D(5,3)中，由多胞性質(zhì)可知，剛性LPV系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點都位于圓形區(qū)域D(5,3)中，可以使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性。

為了綜合求解上述的問題，首先將系統(tǒng)(2)式轉(zhuǎn)化為多胞形式。參數(shù)依賴的系統(tǒng)矩陣A(θ)和B(θ)可以表示為

根據(jù)各頂點狀態(tài)反饋控制器K1、K2、K3、K4，可以得到剛性LPV模型增益調(diào)度狀態(tài)反饋控制器K：

K(Ma,h)=α1K1+α2K2+α3K3+α4K4.

(49)

3.2 非線性仿真與結(jié)果分析

為了驗證上述所設(shè)計控制器的有效性，基于Matlab/Simulink仿真環(huán)境，在h=26 518 m，Ma=8.8的平衡巡航條件下(Ma=8.8，v=26 353 m/s，α=1.47°，Q=0°/s，h=26 518 m，γ=0°，δe=11.953°，δc=-0.62°，φ=0.338，Ad=0.84)進行非線性仿真。

參考輸入信號rv(t)和rh(t)的形式[4]如下：

仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2(a)、圖2(b)分別給出了在采用本文方法(定理1)與傳統(tǒng)方法(參考文獻[23])所設(shè)計控制器的作用下，標稱模型和引入?yún)?shù)不確定性后模型的速度和高度響應(yīng)曲線。由圖2(a)、圖2(b)中可知，對于任一種模型，采用本文定理1所設(shè)計的控制器都能在6 s內(nèi)跟蹤到參考指令輸入，而標稱模型在參考文獻[23]中傳統(tǒng)方法所設(shè)計控制器的作用下，需要10 s左右的時間才能跟蹤到參考指令輸入，且具有最大不確定參數(shù)模型的調(diào)節(jié)時間更長，因此采用定理1所設(shè)計控制器的動態(tài)性能要比采用參考文獻[23]中方法所設(shè)計控制器的動態(tài)性能好。兩種模型在采用定理1所設(shè)計控制器的作用下都能夠準確地跟蹤到參考指令輸入信號，同時，通過比較采用定理1所設(shè)計控制器作用下的兩種曲線可以發(fā)現(xiàn)，具有最大不確定參數(shù)模型的階躍響應(yīng)比標稱模型的階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)過程長，且還出現(xiàn)了一定的超調(diào)，但都在合理范圍之內(nèi)。此外，在進行非線性仿真過程中，引入了一定的外界干擾，但仿真結(jié)果中沒有出現(xiàn)被干擾的現(xiàn)象，因此說明所設(shè)計的控制器還具有較強的抗干擾能力。

圖2(c)～圖2(e)為其他狀態(tài)量在參考指令輸入信號作用下的變化曲線，從中可以看出，它們的大小均在有效范圍內(nèi)變化，并且很快地趨近穩(wěn)定。

圖2 速度跟蹤下的狀態(tài)階躍響應(yīng)Fig.2 Step response of speed tracking

圖3(a)和圖3(b)為兩個舵偏角控制輸入的變化曲線，從中可以看出，輸入變量均在有效地范圍內(nèi)變化，并且很快地趨近穩(wěn)定，說明所設(shè)計的控制器能夠保證執(zhí)行機構(gòu)不會達到飽和效應(yīng)。圖3(c)和圖3(d)分別為等效燃流率和擴散區(qū)比率的變化曲線。這兩個控制輸入的調(diào)節(jié)都會影響到發(fā)動機推力的變化。從圖3(c)可以看出，每當階躍輸入作用在閉環(huán)系統(tǒng)上時，等效燃流率都會迅速增加，最終趨于穩(wěn)定值，其控制作用直接影響到高超聲速飛行器的實際速度與高度變化，實現(xiàn)了速度和高度的跟蹤控制。從圖3(d)可以看出，擴散區(qū)比率的變化曲線隨著階躍輸入信號的一次次升高而一次次的降低，最終達到穩(wěn)定值，這正說明隨著飛行速度和高度的增加，高超聲速飛行器的發(fā)動機會自動調(diào)節(jié)擴散區(qū)比率的大小，來保證進入到燃燒室內(nèi)的壓縮空氣具有一定的速度，從而保證了發(fā)動機的正常工作。

圖3 速度跟蹤下的控制輸入階躍響應(yīng)Fig.3 Step response of control input of velocity tracking

4 結(jié)論

1) 針對吸氣式高超聲速飛行器的縱向飛行控制，本文建立了具有多胞結(jié)構(gòu)的剛性LPV模型。針對此類模型，提出了一種基于區(qū)域極點配置的H∞/H2多目標LPV狀態(tài)反饋魯棒控制算法，通過理論上的嚴格推導(dǎo)，證明了此算法能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的多目標控制。

2) 通過引入松弛變量的方法，降低了控制系統(tǒng)設(shè)計的保守性，最終得到了滿足期望性能指標要求的LPV狀態(tài)反饋魯棒跟蹤控制器。

3) 所設(shè)計的控制器應(yīng)用在高超聲速飛行器非線性機理模型上，通過仿真驗證了所設(shè)計的控制器有效性，實現(xiàn)了吸氣式高超聲速飛行器的自增益穩(wěn)定飛行控制。