吳亞強(qiáng)，姚立綱，張 俊，蔡永武，謝志宇

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院,福建 福州 350108)

0 引言

章動減速器是基于天體行星運(yùn)動原理而提出的一種新型傳動形式，具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大、傳動效率高等特點(diǎn)，可望廣泛應(yīng)用于機(jī)床、儀表、石化、航空等各類傳動裝置中.章動減速器的研究日益引起國內(nèi)外學(xué)者的重視.Fanghella[1-2]通過建立章動錐齒輪行星齒輪系的動力學(xué)模型，得到了消除內(nèi)部慣性力的平衡條件，并通過仿真試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.Saribay[3]分析了錐齒輪章動傳動系統(tǒng)齒面受載性能和傳動性能.姚立綱[4]提出將雙圓弧齒形作為章動傳動螺旋錐齒輪的基本齒形，建立了雙圓弧螺旋錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型，完成了雙圓弧螺旋錐齒輪章動傳動三維虛擬樣機(jī)的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)實(shí)時仿真.王廣欣[5]采用ADAMS對章動面齒輪傳動模型進(jìn)行動態(tài)嚙合力仿真，分析章動面齒輪副動態(tài)嚙合力的變化規(guī)律.李璐瑤[6]研究了章動傳動冠狀齒輪的齒形嚙合原理,完成了減速器的運(yùn)動仿真和動力學(xué)仿真.謝志宇[7]借助ADAMS建立雙側(cè)雙級雙圓弧螺旋錐齒輪傳動章動減速器的多體動力學(xué)模型，并對章動減速器進(jìn)行了動力學(xué)特性仿真.

以上文獻(xiàn)取得了許多有價值的研究成果，但研究對象多為借助軟件對章動齒輪進(jìn)行動力學(xué)仿真.由于雙圓弧螺旋錐齒輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，通過建立雙圓弧螺旋錐齒輪章動傳動系統(tǒng)非線性微分方程求解其振動響應(yīng)的研究相對較少.通過對雙圓弧螺旋錐齒輪章動減速器的動力學(xué)分析，可對章動傳動系統(tǒng)動態(tài)特性、振動穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)估、分析，具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義.有鑒于此，本研究以雙側(cè)雙級雙圓弧螺旋錐齒輪章動減速器為例，在計入時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙、傳遞誤差等因素的情況下，建立章動傳動系統(tǒng)彎-扭耦合非線性動力學(xué)模型，采用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值計算，并研究了激勵頻率和支承剛度對其動態(tài)特性的影響，為后續(xù)章動減速器結(jié)構(gòu)改進(jìn)、動態(tài)優(yōu)化設(shè)計提供參考依據(jù).

1 動力學(xué)建模

圖1 雙側(cè)雙級章動減速器機(jī)構(gòu)簡圖傳動系統(tǒng)Fig.1 Schematic diagram of two-stage bilateral meshing nutation drive

雙側(cè)雙級章動減速器機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示，三維模型如圖2所示.兩級齒輪副在徑向方向上為“一上一下”式嚙合，即第1級齒輪副(內(nèi)錐齒輪1和外錐齒輪2)在一側(cè)嚙合，第2級齒輪副(內(nèi)錐齒輪3和外錐齒輪4)在相反的另一側(cè)嚙合.內(nèi)錐齒輪1、3固連在一起，做章動運(yùn)動，稱為章動齒輪.外錐齒輪2與機(jī)架固連，輸入軸的水平軸線與章動齒輪所在傾斜軸線的夾角為章動角ε.齒輪副主要參數(shù)如表1所示.

表1 雙側(cè)雙級章動減速器齒輪參數(shù)Tab.1 Gear parameters of two-stage bilateral meshing nutation drive

1.1 彎-扭耦合模型

為方便雙側(cè)雙級章動減速器傳動系統(tǒng)動力學(xué)建模，不失一般性，作如下假設(shè)：1)不考慮齒輪嚙合時的齒面摩擦；2)系統(tǒng)阻尼視為一般粘性阻尼；3)由于內(nèi)錐齒輪1和內(nèi)錐齒輪3固連在一起，視其為一體，即內(nèi)錐齒輪1和內(nèi)錐齒輪3具有相同的自由度，兩齒輪的振動位移相同，兩齒輪之間不產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn).基于上述假設(shè)，將各齒輪視為集中質(zhì)量和集中慣量，輸入軸視為剛體，軸承的彈性支承通過彈簧和阻尼器來模擬.采用集中參數(shù)法建立章動減速器傳動系統(tǒng)的彎-扭耦合分析模型，如圖2所示.

在圖2中，內(nèi)錐齒輪1和內(nèi)錐齒輪3的端面重合且錐點(diǎn)重合于一點(diǎn)O,以此點(diǎn)為原點(diǎn)建立兩個坐標(biāo)系：空間嚙合坐標(biāo)系O-xyz和隨章動齒輪轉(zhuǎn)動的動坐標(biāo)系O-x0y0z0，其中：y軸與y0軸重合，z軸與z0軸的夾角為章動角ε;T2和T4分別為輸入力矩和負(fù)載力矩;xi、yi、zi(i=13,2,4)分別為各齒輪在x、y、z方向的平移振動位移，θi(i=13,2,4)為各齒輪的扭轉(zhuǎn)位移；kpq、cpq(p=13,2,4;q=x,y,z)分別為各齒輪在3個坐標(biāo)方向受到的支承剛度和支承阻尼；km j、cm j、en j(t)(j=1,2)為各齒輪副的時變嚙合剛度、嚙合阻尼、法向靜態(tài)傳遞誤差；fm j(j=1,2)為由齒側(cè)間隙構(gòu)成的非線性力-位移函數(shù).

圖2 雙側(cè)雙級章動減速器傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of two-stage bilateral meshing nutation drive

1.2 系統(tǒng)的激勵分析

齒輪系統(tǒng)的動態(tài)激勵有內(nèi)部激勵和外部激勵兩類.外部激勵主要指來自原動機(jī)轉(zhuǎn)矩或負(fù)載的阻力矩作用產(chǎn)生的激勵，包括轉(zhuǎn)速波動、轉(zhuǎn)矩波動、幾何偏心等激勵；內(nèi)部激勵是指齒輪動態(tài)嚙合過程產(chǎn)生的激勵，主要包括剛度激勵和誤差激勵.

對于雙圓弧齒形的齒輪，其嚙合剛度定義為所有同時嚙合點(diǎn)單點(diǎn)嚙合剛度的總和,因而它與嚙合點(diǎn)數(shù)及嚙合位置有關(guān).雙圓弧螺旋錐齒輪單點(diǎn)嚙合剛度[8]的表達(dá)式為

(1)

式中：Fn為作用于單個嚙合點(diǎn)齒面的法向接觸力；un為單個嚙合點(diǎn)處的綜合彈性變形.輪齒的綜合彈性變形包括嚙合點(diǎn)的接觸彈性變形uH、輪齒彎曲產(chǎn)生的輪齒接觸位置的位移ub以及軸承、軸和支撐結(jié)構(gòu)的變形對接觸點(diǎn)變形位置的影響uf.由于uf的量級較小，因此式(1)簡化為：

(2)

由于雙圓弧螺旋錐齒輪同時有多個嚙合點(diǎn)接觸，各嚙合點(diǎn)之間是并聯(lián)的耦合關(guān)系，故齒輪綜合嚙合剛度的表達(dá)式為：

(3)

式中：r為同時接觸的嚙合點(diǎn)數(shù).

雙圓弧螺旋錐齒輪的齒面非常復(fù)雜，沿齒長方向上的齒厚是變化的，其綜合嚙合剛度目前沒有解析解.利用有限元軟件ABAQUS建立雙側(cè)雙級章動減速器傳動系統(tǒng)有限元模型，如圖3所示，并對其進(jìn)行加載接觸分析，得到嚙合點(diǎn)處的法向接觸力和彈性變形量，從而計算出齒輪綜合嚙合剛度.為便于求解章動傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型并盡量模擬真實(shí)值，采用8階Fourier級數(shù)對綜合嚙合剛度曲線進(jìn)行擬合，其結(jié)果如圖4所示.

圖3 雙圓弧螺旋錐齒輪嚙合剛度Fig.3 Meshing stiffness of double circular arc spiral bevel gears

圖4 雙側(cè)雙級章動減速器傳動系統(tǒng)有限元模型Fig.4 Finite element model of two-stage bilateral meshing nutation drive

時變嚙合剛度km j的表達(dá)式為：

(4)

式中：kav j為齒輪副嚙合剛度的平均值；an j、bn j為諧波項(xiàng)嚙合剛度的幅值；ωm j為齒輪副的嚙合頻率，ωm=2πnz/60，n為各齒輪等效轉(zhuǎn)速，即將行星輪系轉(zhuǎn)化為定軸輪系后的轉(zhuǎn)速.各次諧波參數(shù)如表2所示.另外，各級齒輪副嚙合剛度的平均值分別為kav1=210 kN·mm-1，kav2=215.4 kN·mm-1.

表2 嚙合剛度的各次諧波參數(shù)Tab.2 Harmonic parameters of meshing stiffness (kN·mm-1)

齒輪嚙合的靜態(tài)傳遞誤差是指實(shí)際嚙合位置與理論嚙合位置在嚙合作用線上的差值.各級齒輪副法向靜態(tài)傳遞誤差可表示為：en j(t)=er jsin(ωm jt+φj).式中：er j為各級齒輪副法向靜態(tài)傳遞誤差幅值.不失一般性，假設(shè)減速器為7級精度，參考少齒差行星減速器靜態(tài)傳遞誤差[9]，取er j=25 μm；φj為初相位，取φj=0.

1.3 運(yùn)動微分方程推導(dǎo)

齒輪副在嚙合時的法向動載荷及其沿坐標(biāo)方向的分力[10]可表示為

Fky=Fn jcosβcosαn;Fkz=Fn j(sinδksinαn-cosδksinβcosαn)

(5)

式中：λn j(j=1,2)為錐齒輪嚙合過程中因振動和誤差導(dǎo)致嚙合輪齒間產(chǎn)生的動態(tài)相對位移；δk(k=1,2,3,4)為各錐齒輪的節(jié)錐角;β為螺旋角;αn為法面壓力角.間隙非線性函數(shù)表達(dá)式為

(6)

在嚙合力作用下，外錐齒輪2齒面的法向位移xn2可表示為：

(7)

式中：rm2表示外錐齒輪2嚙合點(diǎn)處半徑，下文中rm1、rm3、rm4含義類似.在實(shí)際分析中，取嚙合點(diǎn)半徑為齒寬中點(diǎn)處的回轉(zhuǎn)半徑[12].

考慮到章動角的影響，章動齒輪1齒面的法向位移xn1可表示為：

(8)

則第一級齒輪副兩齒輪嚙合過程中由于振動和誤差導(dǎo)致嚙合輪齒間產(chǎn)生的動態(tài)相對位移λn1=xn1-xn2-en1(t)；同理可得第二級齒輪副兩齒輪嚙合過程中由于振動和誤差導(dǎo)致嚙合輪齒間產(chǎn)生的動態(tài)相對位移λn2=xn3-xn4-en2(t)，其中：

考慮時變嚙合剛度、輪齒誤差、嚙合阻尼、齒側(cè)間隙等因素，根據(jù)牛頓第二定律，得到章動傳動系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程如下:

(9)

式中：mi、Ji(i=13,2,4)為各齒輪的集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；L01、L03是兩個內(nèi)錐齒輪章動運(yùn)動產(chǎn)生的陀螺力矩，方向沿O-y軸負(fù)方向，其通式[13]為

(10)

由于齒側(cè)間隙的存在，使得齒輪章動傳動系統(tǒng)的約束不完整，章動傳動系統(tǒng)存在剛體位移與不定解.為消除剛體位移，采用λn j消除方程中的θi以實(shí)現(xiàn)降維，式(9)第4、8、12個方程可整合為：

式中：mdk(k=1,2,3,4)為各齒輪的等效質(zhì)量，mdk=Jk/rmk2；md13表示固連齒輪1和3的等效質(zhì)量，md13=J13/(rm1·rm3).

定義齒輪副的動載荷系數(shù)Kj=Fn j/Pn j(j=1,2),式中：Pn j為齒輪副法向靜載荷，Pn1=T1/rm1=T2/rm2，Pn2=T3/rm3=T4/rm4;Tk(k=1,2,3,4)為各齒輪扭矩.

以齒側(cè)間隙的一半b為位移標(biāo)稱尺度，引入相對位移λ1、λ2作為新的自由度，并引入一組無量綱變量其中：取第一級齒輪副的固有頻率ωn為基準(zhǔn)頻率，其中：ωn=(kp1/me1)1/2，me1=m2(m1+m3)/(m1+m3+m2).構(gòu)造系統(tǒng)的無量綱時間τ=ωnt進(jìn)行歸一化處理，限于篇幅量綱歸一化后的微分方程組這里不再列出.

2 非線性振動特性分析

采用四階Runge-Kutta法求解章動減速器的運(yùn)動微分方程，取積分時間為500Tm(Tm=2π/Ω，Ω為無量綱激勵頻率，Ω=ωm1/ωn)，舍棄積分初始的200個周期，取后面穩(wěn)態(tài)響應(yīng)作為系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng).

已知各齒輪支承剛度分別為：k13x=k13y=k13z=170 kN·mm-1，k2x=k2y=k2z=220 kN·mm-1，k4x=k4y=k4z= 290 kN·mm-1.以第二級齒輪副為例，分析參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響.

2.1 激勵頻率對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

齒輪副在不同激勵頻率下的動態(tài)響應(yīng)如圖5所示.隨著激勵頻率的變化，章動傳動系統(tǒng)出現(xiàn)多種振動響應(yīng).當(dāng)Ω=0.9時，系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)7周期次諧波響應(yīng)，即周期為7Tm的周期運(yùn)動，相圖為具有一定寬度的近似橢圓曲線，龐加萊圖呈現(xiàn)7個散點(diǎn).當(dāng)Ω=1.9時，相圖為具有一定寬度且交叉纏繞的曲線帶，龐加萊圖呈現(xiàn)7個帶狀點(diǎn)集，系統(tǒng)處于從多周期運(yùn)動到混沌運(yùn)動的過渡階段，表明系統(tǒng)在此嚙合頻率下為擬周期運(yùn)動狀態(tài).當(dāng)Ω=2.9時，相圖為互相纏繞交叉但不重復(fù)的曲線，龐加萊圖呈現(xiàn)有限區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)集，表明系統(tǒng)在此嚙合頻率下處于混沌運(yùn)動狀態(tài).由此可知，隨著激勵頻率的提高，章動傳動系統(tǒng)由多周期狀態(tài)經(jīng)擬周期過渡到混沌狀態(tài)，系統(tǒng)非線性特性增強(qiáng).激勵頻率對動載荷系數(shù)的影響如圖6所示.

圖5 不同激勵頻率下的動態(tài)響應(yīng)Fig.5 Dynamic response under different excitation frequencies

圖6 激勵頻率對動載荷系數(shù)的影響Fig.6 Influence of excitation frequency on dynamic load coefficient

圖6(a)為動載荷系數(shù)幅值Kmax隨激勵頻率的變化，當(dāng)無量綱激勵頻率Ω為0.5和1.0時，動載荷系數(shù)出現(xiàn)峰值，系統(tǒng)振動最為激烈.圖6(b)為不同激勵頻率下動載荷系數(shù)時域圖，當(dāng)無量綱激勵頻率Ω為0.3～0.5時，動載荷系數(shù)幅值隨激勵頻率的增大有顯著增加;但當(dāng)Ω=0.6時，系統(tǒng)動載荷系數(shù)幅值反而下降.類似地，當(dāng)無量綱激勵頻率在1.0附近時，動載荷系數(shù)有同樣的現(xiàn)象，此處不再贅述.因此，通過調(diào)節(jié)激勵頻率的大小可改善系統(tǒng)的動態(tài)特性.

2.2 支承剛度對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

章動減速器采用表1中的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩，改變支承剛度，得到不同支承剛度下的動載荷系數(shù)，如圖7所示.圖7(a)為動載荷系數(shù)幅值Kmax隨支撐剛度的變化.可以看出，當(dāng)支承剛度倍數(shù)為0.5～3.5時，章動減速器動載荷系數(shù)幅值隨支承剛度的增加而顯著降低；當(dāng)支承剛度倍數(shù)為3.5～7.0時，系統(tǒng)動載荷系數(shù)幅值隨支承剛度的增加逐漸增大；當(dāng)支承剛度倍數(shù)大于7時，動載荷系數(shù)幅值基本不變.圖7(b)為不同支承剛度下的動載荷系數(shù)時域圖.可以看出，當(dāng)支承剛度倍數(shù)由1增大到3.5時，動載荷系數(shù)幅值及變化幅度均逐漸減小;當(dāng)支承剛度倍數(shù)由3.5增大到5.0時，動載荷系數(shù)幅值反而增大.因此，適當(dāng)增大支承剛度可以降低系統(tǒng)的動載荷系數(shù)，提高章動傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

圖7 支承剛度對動載荷系數(shù)的影響Fig.7 Influence of support stiffness on dynamic load factor

3 動力學(xué)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證動力學(xué)建模的正確性，將由集中參數(shù)法求得的動態(tài)嚙合力與用ADAMS仿真得到的法向嚙合力進(jìn)行對比.不失一般性，假設(shè)工況均為輸入轉(zhuǎn)速1 050 r·min-1、輸出轉(zhuǎn)速10 r·min-1、輸出轉(zhuǎn)矩170 N·m，由微分方程(9)求得的動態(tài)嚙合力如圖8所示.ADAMS仿真求解得到的齒輪法向嚙合力詳見文[7].

由集中參數(shù)法求得的兩級齒輪副穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下動態(tài)嚙合力均值分別為5 877、5 628 N，由ADAMS仿真求得的兩級齒輪副穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下嚙合力均值分別為6 074、5 885 N，嚙合力均值最高僅相差4.37%.集中參數(shù)法求得的嚙合力波動較大,主要是由于考慮了時變嚙合剛度.在ADMAS中計算碰撞力時剛度系數(shù)為定值，表明采用集中參數(shù)法更能反映動態(tài)嚙合力的時變性，從而驗(yàn)證了本彎-扭耦合動力學(xué)模型的正確性.

圖8 集中參數(shù)法求得的齒輪動態(tài)嚙合力Fig.8 Gear dynamic meshing force obtained by the lumped parameter method

4 結(jié)語

1)計入時變嚙合剛度、嚙合阻尼、傳遞誤差、齒側(cè)間隙等因素，建立了雙側(cè)雙級雙圓弧螺旋錐齒輪章動減速器彎-扭耦合非線性動力學(xué)模型.

2)隨著激勵頻率的增大，系統(tǒng)相繼呈現(xiàn)3類穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：7周期次諧響應(yīng)、擬周期響應(yīng)、混沌響應(yīng).當(dāng)無量綱激勵頻率等于0.5和1.0時，動載荷系數(shù)出現(xiàn)峰值，系統(tǒng)振動最為激烈.適當(dāng)調(diào)節(jié)激勵頻率的大小可以改善系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性.

3)在支承剛度的0.5～3.5倍范圍內(nèi)，系統(tǒng)動載荷系數(shù)隨著支承剛度的增加而降低.適當(dāng)增大支承剛度可以降低章動傳動系統(tǒng)的動載荷系數(shù)，提高章動傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為后續(xù)章動傳動系統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計提供一定的理論依據(jù).

4)通過對比本模型所求解的動態(tài)嚙合力與用ADAMS軟件仿真求得的法向嚙合力，發(fā)現(xiàn)嚙合力均值最高僅相差4.37%，驗(yàn)證了本彎-扭耦合非線性動力學(xué)模型的正確性.