蓋俊峰，趙國榮，高 超，耿寶亮

（1.91206部隊(duì)，山東青島266108；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

隨著模型預(yù)測控制理論的日趨成熟，對于不確定對象的魯棒模型預(yù)測控制的研究成為當(dāng)前預(yù)測控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。魯棒預(yù)測控制的實(shí)質(zhì)是在線求解一個關(guān)于系統(tǒng)未來狀態(tài)和輸入的min-max 優(yōu)化問題[1]。對于多胞模型描述的不確定系統(tǒng)，線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequalities，LMI）成為魯棒預(yù)測控制器設(shè)計的重要工具。1996年，Kothare等[2]率先提出了針對多胞不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制器設(shè)計方法。該方法將魯棒預(yù)測控制問題轉(zhuǎn)化為由LMI 描述的優(yōu)化問題，為后來采用LMI方法設(shè)計魯棒預(yù)測控制器及處理約束條件的研究奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[3]用LMI方法設(shè)計了一種高效魯棒預(yù)測控制器，在性能分析的基礎(chǔ)上，提出了改善魯棒預(yù)測控制次優(yōu)性的方法。

近年來，針對不確定時滯系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制的研究也取得了若干成果[4-17]。其中，文獻(xiàn)[5]針對一類多胞模型描述的不確定時滯系統(tǒng)，提出了一種帶有時滯補(bǔ)償?shù)臅r滯相關(guān)魯棒模型預(yù)測控制方法。將難以求解的min-max 優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為帶有LMI 約束的凸優(yōu)化問題，設(shè)計了能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的魯棒模型預(yù)測控制器，并證明了其控制算法的可行性。目前所見的研究成果中，控制器設(shè)計方案大多采用狀態(tài)反饋，這要求系統(tǒng)的狀態(tài)始終是可測的。但在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)及工程控制領(lǐng)域，系統(tǒng)的狀態(tài)往往是不能直接測量得到的。對于時滯系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋設(shè)計控制器時往往只考慮當(dāng)前的狀態(tài)信息，卻忽略了時滯對系統(tǒng)的影響，因而使設(shè)計出的控制器具有較高的保守性。

鑒于上述狀態(tài)反饋預(yù)測控制器的局限性，本文針對一類具有多胞結(jié)構(gòu)的不確定離散時滯系統(tǒng)，提出了一種基于LMI 的輸出反饋魯棒預(yù)測控制算法。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充要條件，并將系統(tǒng)的預(yù)測控制優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為易于求解的LMI 問題。在設(shè)計輸出反饋預(yù)測控制器的過程中，為了減少在線計算量，對輸出反饋增益矩陣的計算是離線實(shí)現(xiàn)的。對系統(tǒng)輸入、輸出約束和狀態(tài)時滯的考慮使所提出的魯棒預(yù)測控制算法更接近于工程實(shí)踐。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性。

1 問題描述

被控對象系統(tǒng)選為如下具有多胞結(jié)構(gòu)的不確定離散時滯系統(tǒng)：

式（1）中：x( k )∈?n、u( k )∈?m和y( k )∈?l分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和輸出；U ??m和Y ??l分別為系統(tǒng)的輸入約束集和輸出約束集；矩陣C 為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；τ ＞0 為時滯常數(shù)；φ( k )為初始向量；矩陣A( k)、Aτ( k)、B( k )共同表征了系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性，且都屬于凸集Ω ，而Ω 為具有N 個頂點(diǎn)Ω1,Ω2,…,ΩN的凸多面體。

式中：Co 表示多面體的凸殼；[ Aj,Aτj,Bj] 則為凸殼的頂 點(diǎn)。 即 存 在 L 個 非 負(fù) 系 數(shù) 0 ≤λj( k )≤1 ，j=1,2,…,L，使：

式中：Ny為預(yù)測域；Nu為控制域，且Nu≤Ny；Q、R為給定的加權(quán)矩陣。

為了使系統(tǒng)輸出能對設(shè)定參考軌跡進(jìn)行有效跟蹤，給出如下的誤差積分器：

式中：yr(k)為期望參考軌跡；e(k)=Cx(k)-yr(k)為系統(tǒng)輸出跟蹤誤差。

將積分器（2）加入到系統(tǒng)模型（1）后，簡便起見，可將模型重寫為：

2 輸出反饋預(yù)測控制器設(shè)計

現(xiàn)有文獻(xiàn)多見采用狀態(tài)反饋的控制器設(shè)計方案，但在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)及工程控制領(lǐng)域，系統(tǒng)的狀態(tài)往往是不能被直接測量到的，而系統(tǒng)輸出一般可直接測量。對于時滯系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋設(shè)計控制器往往只利用當(dāng)前的狀態(tài)信息，卻忽略了時滯對系統(tǒng)的影響，因而使設(shè)計出的控制器具有較高的保守性。鑒于上述狀態(tài)反饋預(yù)測控制器的局限性，本節(jié)給出的控制器設(shè)計方案采用輸出反饋。因而具有一定的工程應(yīng)用價值。

針對系統(tǒng)重構(gòu)模型（3），設(shè)計輸出反饋模型預(yù)測控制器的形式如下：

在k 時刻預(yù)測的k+d 時刻的輸入、輸出和期望參考軌跡的預(yù)測值分別定義為u( k+d )，y( k+d )和yr( k+d )∈?l，其中d ≥1。預(yù)測域?yàn)镹y，控制域?yàn)镹u，且Nu≤Ny。當(dāng)i={Nu,Nu+1,…,Ny-1} 時，有?ij=O。

系統(tǒng)（3）在k+d 時刻的預(yù)測狀態(tài)為

式中，d={0 ,1,…,Ny-1} 。

定義包含未來預(yù)測狀態(tài)和期望參考軌跡為：

對式（5）進(jìn)行處理，可得系統(tǒng)狀態(tài)的模型預(yù)測值為：

或者表示為如下簡略形式：

式（9）中：

模型（7）在無限最優(yōu)域上的代價函數(shù)形式如下：

式中，

式（11）中：Qd∈?n?×n?、Rd∈?m×m分別是半正定和正定矩陣。

對 所 有 的 d ， 有 Q=diag(Q0,Qf)，Qf=diag{Q1,Q2,…,QNy} ，R=diag{R0,R1,…,RNu-1} 且Qi=qiI ， Rj=hjI ， qi,hj＞0 ， i={0 ,1,…,Ny} ，j={0 ,1,…,Nu-1} 。

3 穩(wěn)定性分析

在上節(jié)中，已經(jīng)構(gòu)造了系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測模型（7）。將式（7）中的uf( k )用式（9）代替，可得閉環(huán)模型預(yù)測式如下：

式（12）中，

由于向量yrf( k )與狀態(tài)向量x?( k )相互獨(dú)立，那么閉環(huán)系統(tǒng)（12）的穩(wěn)定性和魯棒性將不受yrf( k )的影響。因此，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性原理，在分析系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性或者設(shè)計魯棒控制器時，將向量yrf( k )設(shè)定成零向量并不失一般性。故閉環(huán)模型預(yù)測式（12）可以表示如下：

式（14）中：

本文研究的目標(biāo)是在給定預(yù)測域Ny和控制域Nu的前提下，為對象系統(tǒng)設(shè)計一個帶有輸出反饋（9）的魯棒模型預(yù)測控制器，且能保證閉環(huán)系統(tǒng)（14）的穩(wěn)定性。

3.1 Lyapunov函數(shù)的選定

針對閉環(huán)系統(tǒng)（14），選取如下的Lyapunov函數(shù)

函數(shù)V( x,k )的一階差分方程ΔV( x,k )可表示為：

由式（14）可得：

式中，INy=[O … O I ]∈?n?×n?Ny。

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)式（17）為負(fù)，即所選取的Lyapunov函數(shù)V( x,k )遞減時，閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。因此，可通過函數(shù)V( x,k )的一階差分方程ΔV( x,k )的符號來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

3.2 基于LMI的魯棒穩(wěn)定性條件

在本節(jié)中，為第2 節(jié)中設(shè)計的魯棒輸出反饋預(yù)測控制器給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的一個充要條件，并將系統(tǒng)的預(yù)測控制優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為LMI 問題。為了將控制過程中的二次矩陣不等式轉(zhuǎn)化為便于處理的LMI，通常會用到如下的Schur補(bǔ)引理。

證明：( a )?( b )，由于S 為對稱陣，故有S11=，S22=，S21=。應(yīng)用矩陣的塊運(yùn)算規(guī)則可得。

故有

( a )?( c )，由于

故有

定理1得證。

為第2節(jié)中設(shè)計的魯棒輸出反饋預(yù)測控制器所給出的保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充要條件，總結(jié)為如下定理。

定理2：具有Lyapunov 函數(shù)（16）的閉環(huán)系統(tǒng)（14）是魯棒穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣K ∈?n?Ny×n?()Ny+1和矩陣Φ，使如下的LMI成立。

式（19）中：

證明：充分性：不失一般性，令Qk=O，Rk=O。

式（20）中：

對式（20）進(jìn)行整理可得

則有

由式（17）、（22）得：

由式（22）、（23）可得：

即Lyapunov函數(shù)（16）單調(diào)遞減，則閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。

充分性得證。

必要性：假設(shè)存在對稱正定矩陣P( k )使魯棒穩(wěn)定性條件（17）成立；必要的，存在一個標(biāo)量ε ＞0，使得：

上述不等式可以被重寫為：

對式（25）應(yīng)用Schur補(bǔ)引理可得：

經(jīng)過處理后得到：

式（27）中：

當(dāng)ε →0 時，不等式（20）和不等式（19）可分別得到，必要性得證。

由式（19）可得如下的多胞系統(tǒng)LMI：

式（29）中：i={1 ,2,…,N }；Adi=[ Acxi-Acfi]T；Gi=diag{- Pi,PiINy} =diag{- Pi,O,…,O,Pi} 。

若式（29）在未知對稱陣Pi=＞O,i={1 ,2,…,N}和矩陣K 下成立，且有可行解，則反饋增益矩陣Φ 在定義的凸集Ω 內(nèi)保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

4 基于LMI的魯棒模型預(yù)測控制算法

為減少在線計算量，本文的預(yù)測控制算法對輸出反饋增益矩陣Φ 的計算是離線實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)模型預(yù)測控制的滾動優(yōu)化策略，僅有矩陣Φ 的第1個元素?0用來計算施加于控制對象的控制作用u( k )，Φ 的其他元素用來預(yù)測系統(tǒng)的未來狀態(tài)或輸出。而式（4）則實(shí)現(xiàn)了實(shí)際控制作用u( k )的在線計算。

由式（9），可得到實(shí)際控制作用如下：

式中，Cd、Cyrf和σ( k )在第2節(jié)中已經(jīng)作了定義。

式（31）中：Ac=Acf( k)-1Ac,x( k )；Aτ=Acf( k)-1Axτ( k )；Bc=-( k )Bcf( k )。

得到向量σ( k )的形式為：

將式（30）中的σ( k )用式（32）代替，得到實(shí)際控制作用u( k )的在線計算結(jié)果為：

式（33）中，

綜上所述，當(dāng)x( 0 )=x0時，本文基于LMI 的輸出反饋魯棒模型預(yù)測控制算法可總結(jié)如下：

Step 1：令k=1。設(shè)置控制時間終點(diǎn)為T ，預(yù)測域?yàn)镹y，控制域?yàn)镹u；

Step 2：對式（29）求解；

Step 3：利用Step 2得到的解離線計算輸出反饋增益矩陣Φ；

Step 4：通過被控對象獲得新的當(dāng)前輸出值，并用系統(tǒng)模型預(yù)測輸出值；

Step 5：計算u( k+i )，i=0,1,…,Nu-1，從而可得到最優(yōu)控制序列uf( k )；

Step 6：將uf( k )應(yīng)用于模型預(yù)測，僅將uf( k )的第1項(xiàng)u( k )作用于系統(tǒng)；

Step 7：如果k ＜T ，令k：=k+1，返回Step 4；否則結(jié)束。

5 仿真分析

考慮如下的多胞不確定離散時滯系統(tǒng)：

式（35）中：

基于LMI的魯棒預(yù)測控制問題較易求解，因其求解過程不需要進(jìn)行任何參數(shù)調(diào)整，可一次性求解多個變量。利用上述數(shù)據(jù)，通過LMI Toolbox 對式（29）求解，可得輸出反饋增益矩陣Φ 及矩陣Hx( k )、Hτ( k )、Hyrf( k )的值，由第4 節(jié)中的魯棒預(yù)測控制算法得出使控制性能指標(biāo)最小且使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制序列。本例中的參考軌跡設(shè)定為一方波信號。仿真結(jié)果如圖1～3 所示。其中，圖1 為系統(tǒng)輸出對參考軌跡的跟蹤曲線，y1、y2分別為2 個不同頂點(diǎn)的系統(tǒng)輸出，yr為參考軌跡；圖2為控制輸入曲線u1、u2分別為2 個不同頂點(diǎn)的控制輸入；圖3 為魯棒控制性能指標(biāo)變化曲線。圖1 表明，誤差積分器的加入使系統(tǒng)輸出能有效跟蹤參考軌跡，且能滿足輸出約束條件；圖2表明，控制輸入能滿足輸入約束條件；圖3 表明，魯棒預(yù)測控制性能指標(biāo)在滾動時域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了在線最小化。

圖1 系統(tǒng)輸出跟蹤曲線Fig.1 System output tracking curve

圖2 控制輸入曲線Fig.2 Control input curve

圖3 性能指標(biāo)變化曲線Fig.3 Performance indicator change curve

6 結(jié)論

本文針對一類具有多胞結(jié)構(gòu)的不確定離散時滯系統(tǒng)，提出了一種基于LMI的輸出反饋魯棒預(yù)測控制算法。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的一個充要條件，并將系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為易于求解的LMI 問題。通過離線計算魯棒預(yù)測控制器中的輸出反饋增益矩陣，大大減少了算法的在線計算量。對系統(tǒng)輸入、輸出約束和狀態(tài)時滯的考慮，使所提出的魯棒預(yù)測控制算法更接近于工程實(shí)踐。而輸出反饋的采用突破了以往算法中要求系統(tǒng)狀態(tài)必須可測的限制，使算法具有更低的保守性。實(shí)際工業(yè)過程中的系統(tǒng)輸出一般是直接可測的，因而本文的輸出反饋魯棒預(yù)測控制算法具有一定的工程應(yīng)用價值。