余吉東　王中群

【摘 要】基于對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的分析，應(yīng)用較為典型的數(shù)學(xué)案例，并在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的過程中滲透進(jìn)數(shù)學(xué)建模的思想方法予以探究，從而提高學(xué)習(xí)者應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)建模思想方法;滲透

中圖分類號(hào)： G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 2095-2457（2019）33-0103-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.051

The Penetration of Mathematical Modeling Thought in Middle School Mathematics Learning Process

YU Ji-Dong WANG Zhong-qun

（School of Mathematics and Statistics， Qiannan Normal University for Nationalities，Duyun Guizhou 558000，China）

【Abstract】Based on the analysis of the mathematics learning situation of middle school students， this paper applies the typical mathematical cases， and penetrated into the ideological and method of mathematical modeling in the course of the learners learning， and explores them so as to improve the ability of applying mathematics knowledge to solve practical problems and the ability of mathematical thinking.

【Key words】Mathematical modeling; Mathematical models; Mathematical modeling ideas and methods; Penetration

1 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想方法的意義

1.1 有利于提升學(xué)習(xí)者的整體處理和創(chuàng)造能力

數(shù)學(xué)建模立足于實(shí)際問題，要讓學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)知識(shí)的綜合利用。解答數(shù)學(xué)問題本身就是一個(gè)在不斷創(chuàng)新促使解答完成的過程，所以在這種背景下，利用數(shù)學(xué)建模能夠構(gòu)建出一個(gè)活動(dòng)性、創(chuàng)造性比較良好的空間。

1.2 有利于對(duì)學(xué)習(xí)者進(jìn)行正確評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)建模在構(gòu)建過程中，對(duì)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)成績并沒有硬性規(guī)定。由此可以看出，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，能夠?qū)W(xué)習(xí)者的真實(shí)學(xué)習(xí)水平進(jìn)行準(zhǔn)確反饋[1]。

2 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)滲透數(shù)學(xué)建模思想的案例分析

2.1 構(gòu)建方程（組）模型

例1：一家汽車銷售公司8月份銷售某廠家的汽車。在一定的范圍內(nèi)，每1部汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則這部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元;每多銷售1部，所有銷售出去的汽車的進(jìn)價(jià)都降低0.1萬元∕部。月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利銷售公司，銷售量在10部以內(nèi)（含10部），每部汽車返利0.5萬元;銷售量在10部以上，每部汽車返利1萬元。

（1）若汽車銷售公司一個(gè)月銷售3部，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為多少萬元？

（2）如果汽車的進(jìn)價(jià)28萬元∕部，汽車銷售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？

建模過程如下：

2.1.1 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

問題1：每部汽車的進(jìn)價(jià)為：27-0.1×2=26.8（萬元）

問題2：盈利=銷售利潤+返利

設(shè)需要售出x部汽車

由題意可知：每部汽車銷售利潤為

28-[27-0.1×（x-1）]=（0.1x+0.9）（萬元）

2.1.2 對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解

問題2：28-[27-0.1×（x-1）]=（0.1x+0.9）（萬元）

當(dāng)0≤x≤10當(dāng)x>10

方程為：x×（0.1x+0.9）+0.5x-12

方程為：x×（0.1x+0.9）+x=12

化簡方程得x2+14x-120=0

化簡方程得x2+19x-120=0

所以x1=-20（舍去），x2=6

所以x1=-24（舍去），x2=5（5<10）舍去

2.1.3 回歸實(shí)際問題

問題1：若汽車銷售公司一個(gè)月銷售3部，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為26.8萬元;

問題2：如果汽車的進(jìn)價(jià)28萬元∕部，汽車銷售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元，那么需要售出6部汽車。

方程（組）模型是研究數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們更準(zhǔn)確的描述實(shí)際問題。

2.2 構(gòu)建函數(shù)模型

例2：一個(gè)農(nóng)民育肥了一頭100kg的豬，在上一周的觀測表明這頭豬每天增重約2kg，并且知道五天前生豬的售價(jià)為7.8元/kg，現(xiàn)在豬的售價(jià)下降為7.5元/kg了。如果繼續(xù)飼養(yǎng)下去，每天的飼養(yǎng)的費(fèi)用需要7.1元。還知道這頭豬前期育肥的投入大約500元。這位農(nóng)民計(jì)劃在最近把這頭豬售出。問什么時(shí)間出售這頭豬的收益最高。

這個(gè)題不難轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。但是，由于我們對(duì)于今后豬的生長狀況，銷售狀況知之不多，因此需要通過假設(shè)把他它們明確下來。

建模過程如下：

2.2.1 模型假設(shè)

（1）出售前，豬每天的日增重是相同的。

（2）生豬的售價(jià)近期可能會(huì)繼續(xù)下跌，但是價(jià)格將以每天相同的數(shù)量減少。

（3）生豬飼養(yǎng)的花費(fèi)每天不變。

（4）豬在飼養(yǎng)和出售期間不再有其他的花費(fèi)。

2.2.2 建模

首先將有關(guān)的變量和參量用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來：

豬飼養(yǎng)時(shí)間 t（d），t天時(shí)豬的重量w（t）（kg）， 售價(jià)p（t） 元，t天時(shí)售豬所獲得的總收益R（t）（元/kg）， 飼養(yǎng)的總花費(fèi)C（t）（元），最終獲得的凈收益P（t）（元）。這些都是隨著時(shí)間t改變的變量。

另外，根據(jù)題目和假設(shè)可以知道：豬的現(xiàn)價(jià)p0（元/kg），售價(jià)日減少量r（元），豬的初重w0（kg），豬的日增重量g（kg）， 前期投入k0（元），每天飼料的花費(fèi)k（元/d）。這些都是與問題有關(guān)的參數(shù)。

2.2.3 建立模型

繼續(xù)飼養(yǎng)期間生豬的重量w（t）=w0+gt

繼續(xù)飼養(yǎng)期間生豬的單價(jià)p（t）=p0+rt

繼續(xù)飼養(yǎng)期間生豬的總花費(fèi)C（t）=k0+kt

繼續(xù)飼養(yǎng)t天售豬的總收益R（t）=p（t）w（t）

繼續(xù)飼養(yǎng)t天農(nóng)民售豬得到的凈收益的模型為

2.2.4 參數(shù)估計(jì)

根據(jù)假設(shè)可以給出模型中有關(guān)參數(shù)的估計(jì)w0=100kg，g=2kg，p0=7.5元，r= =0.06（元/d），k=7.1元/d，k0=500元。于是我們的模型將可以具體地寫為

P（t）=R（t）-C（t）=（7.5-0.06t）（100+2t）-（500+7.1t）

P（t）=250+1.9t-0.12t2

2.2.5 問題的結(jié)論

我們的問題是要確定使得收益最高的售豬時(shí)間。因此問題就轉(zhuǎn)化為上面的模型中求時(shí)間t，使得模型中的凈收益P（t）達(dá)到最大。

令p'（t）=0，則有1.9-1×0.12t=0，解得t=7.9，

P（7.9）=250+1.9×7.9-0.12×7.92=257.52

2.2.6 回歸實(shí)際問題

還需要飼養(yǎng)大約（7.9≈）8d，然后出售，這時(shí)獲得的凈收益最高，為257.52元。

通過建立函數(shù)模型以及運(yùn)用模型解決問題，進(jìn)一步體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，體會(huì)函數(shù)的廣泛應(yīng)用和應(yīng)用方法。在現(xiàn)實(shí)問題中有諸多的體現(xiàn)如銷售問題、水電費(fèi)問題等。

2.3 構(gòu)建三角與幾何模型

諸如臺(tái)風(fēng)、航海、皮帶傳動(dòng)，等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。

例3：如下圖1，李明從家門口A點(diǎn)出發(fā)到公園，上午9點(diǎn)在A點(diǎn)出發(fā)往北偏東∠2=30°的B處走，AB=30米。下午2點(diǎn)在A點(diǎn)出發(fā)往北偏西∠1=60°的C處走，AC=10米。李明行駛是保持直線勻速行走。

圖1

圖2

（1）求李明行駛的速度？

（2）李明走了一段時(shí)間后，到達(dá)D處，問此時(shí)距離李明出發(fā)點(diǎn)A處有多遠(yuǎn)？

建模過程如下：

（1）問題重述：這是一道應(yīng)用題，畫出示意圖幫助分析，觀察思考圖中各個(gè)角度的大小，求解問題1求李明行駛的速度？問題2又經(jīng)過一段時(shí)間后，李明到達(dá)A處的正西方向的D處，問此時(shí)李明距離出發(fā)點(diǎn)A處有多遠(yuǎn)？

（2）問題分析：由題意可知，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，畫出示意圖2，幫助分析，觀察思考圖中各個(gè)角度的大小，可以得出ΔABC是直角三角形，李明是沿南偏西方向行走，根據(jù)勾股定理，求出BC的長度就可以得到行駛的速度，通過解ΔACD就可以求得AD。

（3）模型假設(shè)：假設(shè)此題就是圖2所示的幾何問題;運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決。

（4）模型的建立與求解：

問題1：解在中ΔABC，∵∠CAB=30°+60°=90°

問題2：解∵∠DAC=90°-60°=30°，

根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型圖，觀察模型圖，可知ΔABC是直角三角形，運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法求得AD。

從以上數(shù)學(xué)案例可以看出，教學(xué)模型的建立過程，就是簡化復(fù)雜的思考過程，合理化解決抽象的數(shù)學(xué)問題[2]。因此，學(xué)習(xí)者要學(xué)會(huì)調(diào)查數(shù)學(xué)問題，收集相關(guān)資料，觀察問題表象，深入研究問題對(duì)象的內(nèi)在特征和規(guī)律，弄清楚解決問題的關(guān)鍵，從而建構(gòu)起反映數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系，再利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想與方法去解決問題[3]。

3 結(jié)論

數(shù)學(xué)建模思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的滲透是鍛煉和提升學(xué)習(xí)者的各方面能力的，在分析、作圖、以及數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)等方面，都會(huì)在實(shí)踐中不斷強(qiáng)化。數(shù)學(xué)建模思想方法的滲透不僅能夠極大地吸引學(xué)習(xí)的注意力，而且能夠打開更廣闊的數(shù)學(xué)思維，從而達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，會(huì)用數(shù)學(xué)的效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]于梅英.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的幾點(diǎn)嘗試[J].數(shù)學(xué)通訊.2009.02

[2]范振成.數(shù)學(xué)建模思想方法應(yīng)用[J].閩江學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（5）：25-27.

[3]楊愛華.借助情景“事理”理解“數(shù)理”——基于“應(yīng)用題”與“解決問題”繼承與發(fā)展關(guān)系的教學(xué)探究[J].教育導(dǎo)刊， 2012（2）：82-86.

[4]周學(xué)耘.高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)探究[J].科教文匯（上旬刊）， 2012（10）：99-101.