張 安， 陳明義， 馬增強(qiáng)

（石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043）

滾動(dòng)軸承是現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用最多的部件之一，但由于疲勞、磨損、粘著、腐蝕和破損等因素引起的軸承故障會(huì)導(dǎo)致軸承組件出現(xiàn)問(wèn)題［1］，甚至?xí)?dǎo)致整個(gè)機(jī)械損壞。而故障振動(dòng)信號(hào)，尤其是早期故障，由于內(nèi)部激勵(lì)弱，以及周圍復(fù)雜的噪聲背景和其它干擾源的影響，振動(dòng)信號(hào)的故障特征就會(huì)被周圍設(shè)備噪聲所淹沒(méi)，難以識(shí)別。作為一種非線性濾波的信號(hào)處理方法，奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）能夠有效地消除信號(hào)中的噪聲，提高信號(hào)的信噪比，且處理過(guò)的信號(hào)無(wú)相位偏移，具有良好的穩(wěn)定性，得到了廣泛的應(yīng)用。

在SVD 降噪的方法中確定奇異值階次一直是研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題。在工程應(yīng)用中往往通過(guò)觀察奇異值曲線，找出曲線的突變點(diǎn)來(lái)確定有效階次或者進(jìn)行試湊來(lái)找到有效階次，這2種方法往往都非常依賴操作者的經(jīng)驗(yàn)，不易掌握。所以，研究人員都想要找到一種操作性強(qiáng)、原理清晰、結(jié)果準(zhǔn)確、有量化判據(jù)的奇異值有效秩階次的確定方法。王益艷等［2］提出了奇異值均值法，求得分解后得到的奇異值的平均值，將此數(shù)值對(duì)應(yīng)點(diǎn)作為有效階次。此方法計(jì)算簡(jiǎn)單便捷，在工程方面應(yīng)用廣泛。趙學(xué)智等［3］提出了奇異值差分譜法，相鄰奇異值做差，差值依次排列得到差分譜，根據(jù)差分譜最大值選擇有效階次，該方法在信號(hào)信噪比較高的情況下有較好的降噪效果，被廣泛采用。王樹(shù)青等［4］采用奇異值相對(duì)變化率的最大值確定有效秩階次，此方法相比于差分譜是對(duì)奇異值做差后的差值增加了權(quán)值，其降噪效果以及存在的不足與差分譜法基本相同。錢征文等［5］將信號(hào)頻譜圖中主頻個(gè)數(shù)的2倍作為奇異值有效秩階次，對(duì)于頻譜特征明顯的仿真信號(hào)，此方法效果較好。趙學(xué)智等［6］發(fā)現(xiàn)了有效奇異值和信號(hào)頻率個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，并能夠提取出信號(hào)的單個(gè)頻率，此方法在主頻明顯的情況下效果較好。代蕩蕩等［7］設(shè)置奇異值模糊區(qū)，通過(guò)模糊C均值聚類來(lái)確定多個(gè)有效奇異值，所提方法完全基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，具有較好的去噪效果。龔木紅等［8］提出一種分段串聯(lián)奇異值分解降噪方法，該方法降噪效果優(yōu)于全局奇異值分解降噪，但在數(shù)據(jù)分段時(shí)需要進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)找出最佳值。鄭顧平等［9］提出了基于遺傳算法的奇異值降噪方法，能夠還原信號(hào)細(xì)節(jié)，有較強(qiáng)魯棒性。

針對(duì)奇異值降噪中有效階次去確定的問(wèn)題，上述方法進(jìn)行了充分的探究，并得到了豐富的成果，但也存在著過(guò)降噪、欠降噪以及只適用于特定信號(hào)等不足之處。本文也對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了一種新的有效階次確定方法，該方法通過(guò)奇異值建立波動(dòng)譜，選擇波動(dòng)譜單邊極大值作為有效階次。對(duì)于上述問(wèn)題有一定改進(jìn)。

1 奇異值分解降噪

1.1 奇異值分解原理

測(cè)得含有故障信息的振動(dòng)信號(hào)x（i）（i＝1，2，…，N），基于相空間重構(gòu)理論，能夠構(gòu)造出吸引子軌跡矩陣，也稱為Hankel矩陣［10］。式中，N 為信號(hào)長(zhǎng)度；L 為矩陣行數(shù)。

對(duì)式（1）所得的Hankel進(jìn)行奇異值分解，過(guò)程如下式

將式（1）中的零奇異值去除，可以把A 的奇異值分解寫成精簡(jiǎn)的向量形式［11］

式中，ui、vi分別為U、V 的第i個(gè)列向量。

得到的一系列奇異值σi各自代表一系列分量信號(hào)，因?yàn)閤（i）是含有故障信息的有用信號(hào)和噪聲組成，所以矩陣A 也同樣含有2種信號(hào)，而分解得出的奇異值σi則反映了有用信號(hào)和噪聲的能量集中情況。前面較大的奇異值主要反映的是有用信號(hào)，后面較小的奇異值則主要反映噪聲，將這些奇異值置零就可以去除實(shí)測(cè)信號(hào)中的噪聲。再利用式（2）進(jìn)行矩陣重構(gòu)，經(jīng)過(guò)奇異值分解反變換就可得到重構(gòu)矩陣，進(jìn)而將重構(gòu)矩陣轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度為N 的重構(gòu)信號(hào)，也就是降噪信號(hào)。

1.2 奇異值分解關(guān)鍵問(wèn)題

因此利用奇異值分解降噪，要達(dá)到良好的去噪效果關(guān)鍵是奇異值階次和矩陣結(jié)構(gòu)即行數(shù)L 的確定。矩陣有著良好的去噪效果，在構(gòu)造矩陣方面的理論研究已經(jīng)相對(duì)成熟。延遲步長(zhǎng)τ＝1［12］，這在式（3）中已經(jīng)顯示出來(lái)，是在構(gòu)造矩陣時(shí)采用最為廣泛的一種形式。在矩陣行數(shù)L 選取的方面，Golyandina［13］和Mahmoudva ND R et al［14］經(jīng)過(guò)研究都得出當(dāng)N 為偶數(shù)時(shí)，行數(shù)L＝N／2，當(dāng)N 為奇數(shù)時(shí)，行數(shù)L＝（N-1）／2，這樣構(gòu)造出的矩陣降噪效果最好。采用上述矩陣構(gòu)造方式，對(duì)奇異值有效階次的確定問(wèn)題進(jìn)行研究。

2 基于單邊波動(dòng)差分譜的有效階次確定

奇異值的有效階次確定的本質(zhì)就是分析奇異值突變情況，從而找出較大較小的分界線，即找出相差最大的2個(gè)奇異值，本文提出利用波動(dòng)差分譜法來(lái)確定奇異值階次，原理如下。

將分解得到的奇異值由大到小排列形成序列S＝（σ1，σ2，…，σr），通過(guò)某個(gè)奇異值與它前一個(gè)以及后一個(gè)奇異值的差值絕對(duì)值之和來(lái)表示奇異值曲線的波動(dòng)程度k

則所有ki所形成的序列K（K1，K2，…，Kr-1）稱為波動(dòng)差分譜。通過(guò)波動(dòng)差分譜可以觀察到奇異值曲線的波動(dòng)幅值情況，在波動(dòng)差分譜中根據(jù)單邊極大值原則［15］從右至左，選擇第一個(gè)至少單邊與其相鄰峰值比較，差距絕對(duì)值最大的極大峰值對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置來(lái)確定有效階次。它代表了奇異值去曲線的突變情況，表明了奇異值所反映的意義發(fā)生了變化，即故障信息和噪聲的區(qū)別。前n 個(gè)奇異值對(duì)應(yīng)的分量為有用信號(hào)分量，之后的奇異值對(duì)應(yīng)的分量為噪聲信號(hào)分量。

3 仿真信號(hào)分析

構(gòu)建仿真信號(hào)，采用本文方法進(jìn)行分析，來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與廣泛應(yīng)用的均值法、差分譜法進(jìn)行對(duì)比，該仿真信號(hào)如下式所示。

式中，x1（t）為調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)；x2（t）為正弦信號(hào)；x3（t）為信噪比為5 dB的高斯白噪聲。x（t）是由上述3個(gè)信號(hào)組成的含噪仿真信號(hào)，信噪比為25．530 7 dB，x1（t）+x2（t）是不含噪聲的凈信號(hào)。信號(hào)的采樣頻率為fs＝1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N＝1 024，采樣時(shí)間t＝1 s。仿真信號(hào)波形如圖1所示。

圖1 仿真信號(hào)波形

現(xiàn)分別使用4種算法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行去噪分析，4種算法奇異值有效階次的選取結(jié)果如圖2所示。由圖2（a）得均值法選取的有效奇異值階次為229，圖2（b）得差分譜法選取的有效奇異值階次為4，單邊極大值法選取的有效奇異值階次為6。由圖2（c）全貌圖以及圖2（d）放大圖可得，本文方法所選的極大峰值為2、4、8、10對(duì)應(yīng)的峰值。根據(jù)單邊極大值原則，8對(duì)應(yīng)峰值與4對(duì)應(yīng)峰值差距絕對(duì)值最大且是從右往左的第一個(gè)極大峰值，所以確定的有效奇異值階次為8。

圖2 仿真信號(hào)奇異值有效階次

根據(jù)選取的有效奇異值階次對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，得到重構(gòu)次信號(hào)即為降噪信號(hào)，4種方法得到的降噪信號(hào)的時(shí)域波形如圖3所示。可以看出，均值法得到的降噪信號(hào)與凈信號(hào)有較大差別，波形凌亂，噪聲嚴(yán)重，周期特征不明顯。差分譜法噪聲明顯減少，但是調(diào)幅調(diào)頻特征已經(jīng)明顯被濾掉，出現(xiàn)了過(guò)降噪現(xiàn)象。單邊極大值法前半部分調(diào)幅調(diào)頻特征被濾掉，也同樣出現(xiàn)了過(guò)降噪現(xiàn)象。本文方法噪聲明顯減小，且信號(hào)趨勢(shì)與凈信號(hào)基本一致，直觀上看降噪效果較好。

圖3 仿真信號(hào)降噪后時(shí)域波形

為了能夠更精確的評(píng)價(jià)4種方法的降噪效果，從數(shù)值上進(jìn)行比較，采用信號(hào)均方誤差（Mean Square Error，MSE）和信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）來(lái)評(píng)價(jià)上述4種方法，其定義分別如下

式中，s（i）為凈信號(hào)的第i個(gè)數(shù)據(jù)；^s（i）為降噪信號(hào)的第i個(gè)數(shù)據(jù)。

表1是4種方法降噪后的MSE和SNR，從表中數(shù)值可以看出，本文降噪方法的MSE最小且SNR 最大，降噪效果最好。

表1 4種方法降噪后信號(hào)MSE和SNR

在凈信號(hào)中加入不同強(qiáng)度的噪聲，得到信噪比分別為-100 dB、-50 dB、-30 dB、-10 d B、0 d B、10 dB的仿真信號(hào)，來(lái)驗(yàn)證本文方法在不同信噪比情況下的去噪能力。在不同信噪比情況下的有效奇異值階次以及降噪信號(hào)的信噪比如圖4、圖5所示，具體數(shù)值在表2、表3中列出。

仿真信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，由第一小節(jié)可知，經(jīng)過(guò)奇異值分解可以得到512個(gè)奇異值。由圖4以及表2可以得出均值法在不同噪聲水平下確定的奇異值有效階次最大為249，最小為152，平均值為223。差分譜法確定的奇異值有效階次最大為10，最小為2，平均值為5。單邊極大值法確定的有效階次最大為28，最小為4，平均值為14。本文方法確定的有效奇異值階次最大為38，最小為6，平均值為16?？梢钥闯霰疚姆椒ù_定的有效奇異值階次更為合理。

降噪結(jié)果可由圖5看出，本文方法的降噪信號(hào)的信噪比曲線位于其它3種方法上方，即各個(gè)噪聲水平的仿真信號(hào)經(jīng)過(guò)降噪后，得到的降噪信號(hào)的信噪比都比其它3種方法大。為了更清楚地說(shuō)明各個(gè)方法的降噪能力，采用降噪指數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)，定義如下

式中，I為降噪指數(shù)；SNR1為仿真信號(hào)信噪比；SNR2為降噪信號(hào)信噪比。

圖4 不同噪聲水平有效奇異值階次對(duì)比

圖5 不同噪聲水平降噪信號(hào)信噪比對(duì)比

表2 不同噪聲水平有效奇異值階次

表3 不同噪聲水平降噪信號(hào)信噪比及降噪指數(shù) dB

由圖5以及表3可以得出，本文方法相較于均值法降噪指數(shù)平均值提升了48．19%，較差分譜法降噪指數(shù)提升了17．38%，較單邊極大值法降噪指數(shù)提升了7．57%。因此，本文方法在信號(hào)的不同噪聲水平下降噪效果更有優(yōu)勢(shì)。

4 實(shí)測(cè)信號(hào)分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出方法在滾動(dòng)軸承故障特征提取中的有效性，采用實(shí)際滾動(dòng)軸承故障信號(hào)進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6 所示的QPZZ-Ⅱ旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障試驗(yàn)臺(tái)。信號(hào)的采樣頻率為25 600 Hz，軸承轉(zhuǎn)速為314 r／min。根據(jù)滾動(dòng)軸承的參數(shù)（表4）得到內(nèi)圈故障特征頻率為38 Hz。

圖6 QPZZ-Ⅱ旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障試驗(yàn)臺(tái)

表4 滾動(dòng)軸承參數(shù)

內(nèi)圈故障信號(hào)的時(shí)域和頻域波形如圖7所示，從圖中可以看出，時(shí)域波形雜亂，無(wú)法看出周期性沖擊成分；在頻譜圖中，噪聲將故障信號(hào)特征掩蓋，無(wú)法識(shí)別故障特征頻率及其故障種類。

由仿真信號(hào)的實(shí)驗(yàn)可以看出，均值法降噪效果與另外3種方法有較大差距，而差分譜，單邊極大值法與本文方法在仿真信號(hào)分析時(shí)效果較為接近。因此，在對(duì)噪聲水平較高的實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，對(duì)差分譜法、單邊極大值法以及本文方法進(jìn)行了對(duì)比。

3種算法奇異值有效階次的選取結(jié)果如圖8所示。由圖8（a）可得，差分譜法選取的有效奇異值階次為5，單邊極大值法選取的有效奇異值為7。由圖8（b）可得，5和7對(duì)應(yīng)峰值差距絕對(duì)值為0．328 9，19和21對(duì)應(yīng)峰值差距絕對(duì)值為0．395 0，所以本文方法選取的有效奇異值階次為19。

根據(jù)選取的有效奇異值階次對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，得到降噪信號(hào)，2種方法得到的降噪信號(hào)的時(shí)域波形如圖9所示。由圖9（a）和圖9（b）可以看出，差分譜法以及單邊極大值法降噪后的信號(hào)幅值明顯偏小，且沖擊特性基本被消除，不能體現(xiàn)出原信號(hào)的時(shí)域特征，出現(xiàn)了過(guò)降噪現(xiàn)象。本文方法降噪后的信號(hào)時(shí)域波如圖9（c）所示，降噪信號(hào)沖擊特征被保留，而且周期性比原信號(hào)更加明顯，凌亂程度也有所減小，噪聲被較好地濾除。

圖7 內(nèi)圈故障信號(hào)波形及其頻譜

圖8 內(nèi)圈故障信號(hào)奇異值有效階次

圖9 降噪信號(hào)時(shí)域波形

為了進(jìn)一步分析3種方法的降噪效果，對(duì)差分譜法、單邊極大值法以及本文方法的降噪信號(hào)分別進(jìn)行Hilbert包絡(luò)變換，得到如圖10所示包絡(luò)譜。由圖10（a）可以看出差分譜法降噪信號(hào)的包絡(luò)圖已經(jīng)明顯失真，故障信息丟失，不能分辨出軸承的故障特征頻率及其倍頻。由圖10（b）可以看出，單邊極大值法的包絡(luò)圖只能夠看出故障沖擊特征的1倍頻（37．5 Hz），也出現(xiàn)了一定的失真。而本文方法的降噪信號(hào)的包絡(luò)譜如圖10（c）所示，在背景噪聲復(fù)雜的情況下，提取的故障特征頻率更明顯，能夠清晰地看到故障特征的1倍頻（37．5 Hz）、2倍頻（75 Hz）和3倍頻（115 Hz），凸顯了故障特征，能直觀有效地分析出故障類型，與理論結(jié)果非常接近。

圖10 降噪信號(hào)包絡(luò)譜

5 結(jié)論

對(duì)SVD 中有效奇異值選擇問(wèn)題進(jìn)行了探究，用本文方法分別對(duì)仿真信號(hào)和實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行了降噪實(shí)驗(yàn)，并與被廣泛采用的均值法、差分譜法以及單邊極大值法進(jìn)行了對(duì)比，得到了如下結(jié)論：

（1）用奇異值方法進(jìn)行降噪的過(guò)程中，均值法確定的奇異值階次偏大，重構(gòu)后的降噪信號(hào)往往降噪不足。而差分譜法確定的有效奇異值階次變小，很多有用的凈信號(hào)分量也被濾除，因此容易出現(xiàn)過(guò)降噪現(xiàn)象。本文方法確定的有效奇異值階次較為合理，不同噪聲水平的信號(hào)降噪后的信噪比較好。

（2）本文方法能夠在較為完整地保留故障信息的前提下，有效地消除噪聲，降噪后的信號(hào)經(jīng)過(guò)包絡(luò)解調(diào)可以提取出軸承的故障特征頻率及其倍頻。

（3）在對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)的分析中可以看出，本文方法得到的包絡(luò)譜對(duì)故障頻率的提取只提取到了三倍頻，說(shuō)明方法在信號(hào)的高頻段出現(xiàn)了過(guò)降噪問(wèn)題，需要對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，并進(jìn)行研究、解決。