秦華偉

(山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 237016)

0 引 言

四旋翼無(wú)人機(jī)因其低成本、高性能、獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和飛行模式而被廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域，而飛行控制系統(tǒng)是決定整體無(wú)人機(jī)飛行狀態(tài)的關(guān)鍵所在.目前，四旋翼無(wú)人機(jī)仍以傳統(tǒng)類型的PID控制器為主，然而，由于受各種環(huán)境因素以及外部干擾等影響，該類傳統(tǒng)控制方法已無(wú)法完全滿足實(shí)際使用需要.為此，人們相繼提出了各種非線性控制方法[1-4]，其中，為保證四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)輸出狀態(tài)的快速收斂，Madani T.等人率先提出了一種反步控制法[5]，該方法在無(wú)干擾理想軌跡跟蹤條件下具有良好的性能；隨后，Mian等人結(jié)合實(shí)際情況提出了反饋線性化和基于反步法的PID控制策略來(lái)實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制[6]，使系統(tǒng)能夠針對(duì)外界干擾和模型不確定性具有一定的魯棒性；同時(shí)，國(guó)內(nèi)石川等人在反步法中引入積分環(huán)節(jié)構(gòu)成了積分反步法，并和模糊控制相結(jié)合，來(lái)解決系統(tǒng)的不確定性，進(jìn)而提高無(wú)人機(jī)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)和魯棒性[7].

事實(shí)上，四旋翼無(wú)人機(jī)在實(shí)際飛行過(guò)程中，風(fēng)擾動(dòng)是不可忽略的主要因素，因此，為考察風(fēng)擾動(dòng)因素對(duì)飛行控制方法的影響，本文結(jié)合飛行器動(dòng)力學(xué)理論以及反步控制方法，提出了一種積分反步控制器模型，著重對(duì)比其在風(fēng)擾動(dòng)條件下積分反步法與PID控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，進(jìn)而為反步控制方法在四旋翼無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用提供參考.

1 四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

眾所周知，四旋翼無(wú)人機(jī)是依靠四旋翼運(yùn)動(dòng)提供的扭矩和升力進(jìn)行飛行的，而不同的升力和扭矩則取決于四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速變化.為便于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)需做如下假設(shè)：① 近似認(rèn)為無(wú)人機(jī)本體和葉片均為剛體，忽略它們的彈性形變；② 機(jī)體坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)與無(wú)人機(jī)的質(zhì)心一致；③ 四旋翼無(wú)人機(jī)的機(jī)身關(guān)于機(jī)體坐標(biāo)系的各個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱；④ 升力和阻力與旋翼轉(zhuǎn)速的平方成正比；⑤ 無(wú)人機(jī)的質(zhì)量、重力加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變.

為了建立無(wú)人機(jī)的數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)模型，首先需要確認(rèn)坐標(biāo)系，典型十字布局的四旋翼無(wú)人機(jī)地面坐標(biāo)系E與機(jī)體坐標(biāo)系B如圖1 所示.根據(jù)Newton-Euler方法，在外力作用下，機(jī)體坐標(biāo)系中的剛體動(dòng)力學(xué)方程為[8]

(1)

式中：I3×3是機(jī)體坐標(biāo)系的單位矢量；V是無(wú)人機(jī)的質(zhì)心線速度；ω是無(wú)人機(jī)的旋轉(zhuǎn)角速度；F是無(wú)人機(jī)受到的外力；τ是無(wú)人機(jī)受到的外力矩；I是無(wú)人機(jī)機(jī)體的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為無(wú)人機(jī)質(zhì)量.

對(duì)于式(1)可以改寫(xiě)為[9]

(2)

式中：x，y，z分別為無(wú)人機(jī)的坐標(biāo)位置；φ,θ,φ分別為無(wú)人機(jī)的橫滾角，俯仰角以及偏航角；Ix,Iy以Iz及分別為無(wú)人機(jī)繞機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；U1,U2,U3,U4則為與無(wú)人機(jī)旋翼控制電機(jī)相關(guān)的變量；l1與l2分別是無(wú)人機(jī)涵道到質(zhì)心的橫向與縱向距離.

圖1 四旋翼無(wú)人機(jī)的坐標(biāo)系Fig.1 The coordinate system of the quadrotor UAV

2 反步積分法控制律設(shè)計(jì)

2.1 飛行控制器總體設(shè)計(jì)

根據(jù)四旋翼無(wú)人機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，整個(gè)控制系統(tǒng)可分為兩個(gè)子系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制，外環(huán)為位置控制.具體控制回路如圖2 所示.

實(shí)際飛行過(guò)程中，預(yù)先給定位置控制回路的軌跡控制量xd,yd,zd和姿態(tài)控制回路的控制量期待偏航角φd，期待滾轉(zhuǎn)角φd和期待俯仰角θd，同時(shí)，引入4個(gè)與旋翼控制電機(jī)相關(guān)的控制量[U1,U2,U3,U4]，將非線性系統(tǒng)分解成4個(gè)獨(dú)立的控制路徑.通過(guò)位置控制回路可以解算出控制x,y,z3軸位移的控制量U1，而通過(guò)姿態(tài)控制回路可以解算出控制φ,θ,φ3個(gè)姿態(tài)角的控制量U2,U3,U4，將這4個(gè)控制量輸入到電機(jī)轉(zhuǎn)速逆變換模塊可以解算出電機(jī)轉(zhuǎn)速[Ω1,Ω2,Ω3,Ω4].具體轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

式中：b為旋翼升力系數(shù)；d為旋翼阻力系數(shù)；Ω為旋翼的轉(zhuǎn)速.

依據(jù)上述關(guān)系將電機(jī)轉(zhuǎn)速逆變換后得到的速度引入到電機(jī)整體模型中，進(jìn)而解算出整個(gè)控制回路的位置信號(hào)反饋和姿態(tài)信號(hào)反饋，從而形成閉環(huán)反饋系統(tǒng).

圖2 四旋翼無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Quadrotor UAV control system block diagram

2.2 位置控制回路設(shè)計(jì)

首先，設(shè)計(jì)基于積分反步法控制器的四旋翼無(wú)人機(jī)的高度控制通路，并通過(guò)積分反步法推導(dǎo)出控制變量U1.

第一步，先定義高度的跟蹤誤差e7及其積分項(xiàng)

(4)

選擇Lyapunov函數(shù)為

(5)

因?yàn)閂(χ4,e7)≥0，則該函數(shù)是正定的，對(duì)式(5)求導(dǎo)得

(6)

式中：f1是假設(shè)的虛擬控制量，令：

(7)

第二步，定義高度的二階跟蹤誤差，即速度追蹤誤差

(8)

則

選擇Lyapunov函數(shù)為

(9)

該函數(shù)是正定的，求導(dǎo)得

(10)

(11)

則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

式(11)進(jìn)一步整理可得

(c7+c8)e8-c7λ4χ4].

(12)

引入水平位置控制的虛擬控制量

(c9,c10,c11,c12,λ5,λ6>0)，

(13)

式中：

式中：(χ5,χ6)分別為x,y水平方向的誤差積分，并且c7,c8,c9,c10，c11均為大于零的常數(shù).

2.3 姿態(tài)控制回路設(shè)計(jì)

內(nèi)環(huán)的姿態(tài)控制回路同樣采用積分反步法來(lái)控制，用與推導(dǎo)高度控制量同樣的方法可以推出滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角的控制量[U2,U3,U4].

(c3,c4,c5,c6,λ2,λ3>0),

(14)

其中，

式中：(χ1,χ2,χ3)分別代表滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角的誤差積分，并且c1～c6均為大于零的常數(shù).

3 仿真算例

根據(jù)上述控制回路在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下構(gòu)建四旋翼無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)的仿真模型，其中，無(wú)人機(jī)原始參數(shù)取值為：旋翼升力系數(shù)b與阻力系統(tǒng)d分別為：4.95×10-5，7.5×10-7；涵道到質(zhì)心的橫向距離l1與縱向距離l2均為：0.25 m；四旋翼無(wú)人機(jī)的質(zhì)量m為1.44 kg；繞機(jī)體坐標(biāo)系xyz的3軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：0.028 kg·m2，0.028 kg·m2與0.074 kg·m2.

3.1 軌跡跟蹤效果驗(yàn)證

設(shè)無(wú)人機(jī)的初始狀態(tài)靜止于坐標(biāo)系的原點(diǎn)，初始姿態(tài)角為0°，期望偏航角為0°，使其跟蹤軌跡：x=0.3sin(t/2);y=sin(t/4);z=0.2t.計(jì)算得到三維軌跡跟蹤曲線以及跟蹤誤差分別如圖3，圖4 所示.從圖3 與圖4 中可以看出，跟蹤軌跡與給定期望軌跡走向基本一致，并且3個(gè)軸的水平位移和高度變化在期望值的0.05 m之內(nèi)，滾轉(zhuǎn)角和偏航角變化在期望值的±10°之內(nèi)，因此，在積分反步控制方法下無(wú)人機(jī)飛行穩(wěn)定、跟蹤效果良好.

圖3 三維軌跡跟蹤曲線Fig.3 3D trajectory tracking curve

圖4 積分反步法控制律跟蹤誤差Fig.4 The tracking error of the integral anti-step control law

3.2 抗脈沖干擾分析

為便于對(duì)比分析，本文分別選擇了PID、反步法以及積分反步法進(jìn)行對(duì)比，其中，針對(duì)脈沖干擾在t=5 s時(shí)在3個(gè)通道的力矩輸入端分別加入幅值為0.25 N·m，持續(xù)時(shí)間為0.1 s的干擾力矩.無(wú)人機(jī)的姿態(tài)角響應(yīng)曲線如圖5 所示.從圖5 中可以看出，PID控制律的俯仰角和橫滾角波動(dòng)約為1° ,偏航角波動(dòng)約為2°，穩(wěn)定時(shí)間則需3 s；而積分反步法控制律的滾轉(zhuǎn)角波動(dòng)僅約為0.2°，俯仰角波動(dòng)約僅為0.3°，偏航角則不到1°，穩(wěn)定時(shí)間也只需1 s，并且對(duì)橫滾與偏航通道的控制性能也要優(yōu)于反步法.

圖5 3種控制方法脈沖干擾響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Comparison of pulse interference response of three control methods

3.3 抵抗陣風(fēng)干擾效果對(duì)比

同樣地，針對(duì)陣風(fēng)干擾，仿真中t=8 s～11 s之間在3個(gè)通道的力矩輸入端分別加入幅值為0.25 N·m，持續(xù)時(shí)間為3 s的干擾力矩，PID控制系統(tǒng)和反步法控制系統(tǒng)以及積分反步法控制系統(tǒng)的姿態(tài)角輸出曲線如圖6 所示.

圖6 3種控制方法陣風(fēng)干擾響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparison of gust interference response of three control methods

PID控制律的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角波動(dòng)約為0.7°，偏航角約為18°，穩(wěn)定時(shí)間約需3 s；積分反步法控制律的滾轉(zhuǎn)角約為0.2°，俯仰角約為0.35°，偏航角則不到2°，穩(wěn)定時(shí)間也只需1 s.因此，當(dāng)系統(tǒng)存在陣風(fēng)干擾的時(shí)候，積分反步法的抗干擾效果也得到了顯著提高，同時(shí)，整體性能略優(yōu)于反步法.

4 結(jié) 論

本文依據(jù)四旋翼無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)和飛行原理建立了無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了基于積分反步法的控制系統(tǒng)回路，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了軌跡跟蹤以及抗干擾仿真分析.仿真結(jié)果表明，該積分反步控制方法對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的飛行軌跡跟蹤效果良好.同時(shí)，針對(duì)脈沖干擾和陣風(fēng)擾動(dòng)，分別對(duì)比了PID控制器、反步法控制器和積分反步法控制器的抗擾動(dòng)響應(yīng).結(jié)果顯示，與PID控制器相比，反步法控制器和積分反步法控制器在脈沖和陣風(fēng)擾動(dòng)情況下的姿態(tài)角誤差較小，并且積分反步法控制相較于反步法控制的優(yōu)勢(shì)在于其引入了積分環(huán)節(jié)可以更好地消除模型誤差.