崔 穎，王 曦

（1.中國航發(fā)貴州紅林航空動力控制科技有限公司，貴陽550009；2.北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京100191；3.先進航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100191）

0 引言

現(xiàn)代航空發(fā)動機的控制系統(tǒng)采用先進的全權限數(shù)字電子和多變量控制技術。為了獲得優(yōu)越的性能，現(xiàn)代航空發(fā)動機工作范圍非常接近部件的機械、氣動和熱負荷的極限最大狀態(tài)。因此，需要采用先進的多變量控制技術以保證發(fā)動機在全工作范圍內的高精準穩(wěn)態(tài)控制[1-2]，具有先進的伺服跟蹤和抗干擾的魯棒控制器成為現(xiàn)代航空發(fā)動機控制的核心技術。

在工程設計中，許多閉環(huán)反饋控制設計問題可以轉化為靜態(tài)輸出反饋進行求解[3-4]。近年來，相關研究取得了一系列成果。文獻[5]證明了對于嚴格真的線性系統(tǒng)都存在1 個穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制律的Riccati 方程解；文獻[6]在離散域研究了參數(shù)不確定性的靜態(tài)輸出反饋設計問題；文獻[7]提出了1 種改進的靜態(tài)輸出反饋線性矩陣不等式的迭代求解算法；文獻[8] 通過最小化2 個決策矩陣變量的方法將非凸優(yōu)化問題轉化為凸優(yōu)化問題進行求解，從而放寬了靜態(tài)輸出反饋控制的約束條件；文獻[9]提出了1 種通過求解線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality）和矩陣等式組成的方程組，獲得了嚴格真線性狀態(tài)空間模型輸出反饋控制律。

LMI 是MATLAB 軟件中解決魯棒控制問題的有效工具[10-12]，以橢球法和內點法作為求解凸優(yōu)化數(shù)值求解問題的基礎，近年來在控制領域的應用已十分廣泛[13-15]；采用雙目標最優(yōu)化修正的自適應控制則是近年來針對系統(tǒng)輸入中存在不確定性問題的1 種魯棒控制的有效方法[16]。

在穩(wěn)態(tài)控制器設計中，閉環(huán)極點在復平面的不同位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能[17]。本文以高精準穩(wěn)態(tài)控制為目標，在靜態(tài)輸出反饋漸近穩(wěn)定條件的基礎上，考慮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度和魯棒穩(wěn)定性能，推導了極點配置圓的條件，提出了1 種多變量控制系統(tǒng)閉環(huán)極點配置圓的LMI 設計方法，并對渦扇發(fā)動機的雙回路控制和單回路控制進行了仿真驗證。

1 輸出反饋PI 控制的轉化

設包含執(zhí)行機構動態(tài)特性的被控對象為

式中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t)∈Rp為系統(tǒng)控制向量；y(t)∈Rm為系統(tǒng)輸出向量。

考慮被控對象∑1的閉環(huán)輸出反饋PI 控制律為

式中：Kp和Ki分別為PI 控制器的比例增益和積分增益。

以被控對象∑1的狀態(tài)向量和輸出向量構造另一個被控對象∑2的新的狀態(tài)向量為

式中：T 為轉置符號。

則存在以下關系

式中：I∈Rm×m為單位對角矩陣。

將式（5）和式（6）代入式（2），則

并定義以下矩陣

則另一個被控對象∑2可用狀態(tài)向量z(t)∈Rn+m、控制向量u(t)∈Rp、輸出向量q(t)∈Rm+m構造如下

由式（7）和式（9）可知，存在∑2的閉環(huán)反饋輸出控制律

則

2 極點配置圓條件

∑2閉環(huán)系統(tǒng)等價于如下自治系統(tǒng)

式中：Kg為被控對象∑2的輸出反饋增益矩陣。

選Lyapunov 二次函數(shù)V(z) = zTQz ＞0，則

式中：Q 為正定矩陣。

為使V˙(z)負定，令Q-1= P，則

在上述漸近穩(wěn)定條件的基礎上，考慮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度和魯棒穩(wěn)定性能，設存在1 個正定矩陣P＞0和魯棒穩(wěn)定性能特征因子α ＞0, β ＞0，構造如下矩陣不等式

上述不等式（15）的第2 項P(Ag+ BgKgCg+ αI)T+(Ag+ BgKgCg+ αI)P ＜0反映了∑2閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，而第1 項β(Ag+ BgKgCg)P(Ag+ BgKgCg)T＜0 反映了∑2閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性能。

設ξ 為(Ag+ BgKgCg)T的特征值λ 的特征向量，對上式左乘ξ*右乘ξ，得

式中：λ*為λ 的共軛轉置，ξ*為ξ 的共軛轉置。即

式（17）表示閉環(huán)系統(tǒng)的極點矩陣(Ag+ BgKgCg)T的特征值λ 均落在如圖1 所示的以(-c,0)為圓心、r 為半徑的圓域內。

圖1 閉環(huán)極點圓在復平面上的分布區(qū)域

對上述矩陣不等式進行變換，得

由Schur 補引理，得線性矩陣不等式

設Y = KgCgP，則

求式（21）LMI 的解，其解P 若為正定陣，可構造如下矩陣

當M 非奇異時有惟一解為

當M 奇異時，存在廣義逆的逼近解為

3 多變量控制極點配置算法

綜上所述，同時考慮到渦扇發(fā)動機多變量控制系統(tǒng)中不同物理參數(shù)量綱變化較大，應對其進行歸一化處理，形成多變量控制極點配置算法：

（1）對在穩(wěn)態(tài)設計點獲得的渦扇發(fā)動機狀態(tài)空間模型進行歸一化處理，獲得渦扇發(fā)動機狀態(tài)空間歸一化線性模型；

（2）將執(zhí)行機構動態(tài)模型增廣到歸一化線性模型中，構建渦扇發(fā)動機增廣狀態(tài)空間模型∑1；

（3）將被控對象∑1轉化為∑2；

（4）給定極點配置圓的幾何參數(shù)c、r；

（5）由式（26）計算穩(wěn)定裕度和魯棒穩(wěn)定性能特征因子α、β；

（6）用LMI 工具箱求解式（21），求得P、Y；

（7）由式（22）構造M 矩陣，由M 的奇異性，通過式（24）、（25）求得Kg；

（8）對式（11）分解，可得Kp、Ki。

4 仿真驗證

為了驗證上述方法的伺服跟蹤和抗干擾性能，分雙軸渦扇發(fā)動機的多變量和單變量控制進行仿真和分析。

4.1 雙回路控制

雙軸渦扇發(fā)動機狀態(tài)空間模型為

式中：狀態(tài)向量為x = [NLNH]T，NL為低壓轉子轉速，NH為高壓轉子轉速；輸入向量為u = [ WfA8]T，Wf為主燃油流量，A8為尾噴口喉道面積；輸出向量為y =[NHπT]T，πT為渦輪落壓比。

設

則可得歸一化線性模型

采用雙回路控制系統(tǒng)結構，控制目標

設調節(jié)主燃油流量回路和尾噴口喉道面積回路的執(zhí)行機構傳遞函數(shù)是時間常數(shù)為0.1 s 的1 階慣性環(huán)節(jié)。

將發(fā)動機歸一化線性模型與執(zhí)行機構模型進行增廣，增廣狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣為

考慮到閉環(huán)極點圓的圓心位置在復平面上，若靠近虛軸，系統(tǒng)的動態(tài)響應會變慢；若離虛軸太遠，系統(tǒng)的動態(tài)響應太快，與較慢的執(zhí)行機構動態(tài)產(chǎn)生不匹配的問題。折中考慮后圓心選為（-5，0）；同時，考慮到極點不能落到復平面的右半平面內，以及極點位置不能太靠近虛軸，通過半徑對極點配置圓進行約束，半徑選為r = 4，可得α = 0.9，β = 0.2，按本文所述方法求解LMI，計算結果為

將上述解按歸一化增廣對象求得的PI 控制器進行反變換，得

對上述控制系統(tǒng)進行階躍和斜波響應的雙回路閉環(huán)仿真驗證。仿真時間為第5～45 s，其中在第5 ～30 s 考察階躍跟蹤響應情況，在第30～45 s 考察斜波跟蹤響應情況。高壓轉子轉速參考指令如圖2所示，渦輪落壓比參考指令如圖3 中所示。

圖2 NH 階躍指令、斜波指令和NH 響應曲線

圖3 πT 階躍指令、斜波指令和πT 響應曲線

從圖2 中可見，高壓轉子轉速參考指令在第5～10 s 保持NH= 10000 r/min 不變，在第10 s 加入ΔNH= 2800 r/min 的階躍信號，在第10～20 s 保持NH=12800 r/min 不變，在第20 s 加入ΔNH=-2800 r/min的階躍信號，在第20～30 s 保持NH=10000 r/min 不變，在第30～40 s 加入斜波指令信號，斜率為280 r/min/s，在第40～45 s 保持NH= 12800 r/min 不變。

從圖3 中可見，渦輪落壓比參考指令在第5～15 s保持πT= 8 不變，在第15 s 加入ΔπT= 0.5 的階躍信號，在第15～25 s 保持πT=8.5 不變，在第25 s 加入ΔπT= -0.5 的階躍信號，在第25～35 s 保持πT=8 不變，在第35～40 s 加入斜波指令信號，斜率為0.1/s，在第40～45 s 保持πT=9 不變。

高壓轉子轉速NH和渦輪落壓比πT的伺服跟蹤響應曲線如圖2、3 虛線所示。在第5～30 s 的仿真過程中可見，在雙回路控制中，2 個回路在各自不同的階躍輸入指令下，在NH和πT動態(tài)調節(jié)過程中存在相互耦合干擾。

當加入NH階躍指令信號時，NH響應能夠伺服跟蹤第10、20 s 的階躍指令，對第15、25 s 由另一回路πT階躍響應耦合的干擾具有抑制效果，且進入穩(wěn)態(tài)后，能夠無靜差伺服跟蹤參考指令。

當加入πT階躍指令信號時，πT響應能夠伺服跟蹤在第15、25 s 的階躍指令，但在第10 、20 s 由另一回路NH階躍響應耦合的干擾，會由于高壓轉子轉速NH的突變對渦輪落壓比πT帶來超調量約為1.3%的干擾，這種影響的動態(tài)調節(jié)時間不大于2 s，隨后進入穩(wěn)態(tài)后，能夠無靜差伺服跟蹤參考指令。

對于第30～40 s 的NH斜波指令和對于第35～40 s 的πT斜波指令，2 個回路之間的干擾作用很小，NH斜波跟蹤指令誤差不大于1.5%，πT斜波跟蹤指令誤差不大于0.4%。

4.2 單回路控制

固定噴口面積的雙軸渦扇發(fā)動機歸一化狀態(tài)空間模型為

執(zhí)行機構是時間常數(shù)為0.2 s 的1 階慣性環(huán)節(jié)。為了考察執(zhí)行機構動態(tài)對控制系統(tǒng)的影響，分以下2種情況進行對比分析。

4.2.1 情況1：不考慮執(zhí)行機構動態(tài)的設計

極點圓配置設計在以（-5，0）為圓心，r= 4 為半徑的圓內，按上述方法對歸一化固定噴口面積的雙軸渦扇發(fā)動機求解控制器得Knp=4.8349，Kni=17.1438。其閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點如圖4 所示。

圖4 情況1 的閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點

從圖中可見，這3 個閉環(huán)極點其中1 個極點為-1.4+0i，與1 個閉環(huán)零點距離很近，因此動態(tài)性能主要由1 對共軛主導極點-3.2±1.1i 決定，其阻尼比約為0.95。

其Nyquist 曲線如圖5 所示，Bode 圖曲線如圖6所示。從圖中可見，系統(tǒng)有無窮大的幅值裕度和86毅的相角裕度。

首先，進行不帶執(zhí)行機構模型的閉環(huán)階躍響應仿真，參考指令如圖7 中的實線所示。在穩(wěn)態(tài)點分別在第2、6、10、14 s 加入4 個小階躍和在第18 s 加入1個大階躍參考指令信號，獲得的低壓轉子轉速響應如圖7 中的虛線所示。無動態(tài)超調，調節(jié)時間約為1 s左右，穩(wěn)態(tài)誤差為0。

圖5 情況1 的Nyquist 曲線

圖6 情況1 的Bode 圖曲線

圖7 情況1 的不帶執(zhí)行機構模型的閉環(huán)NL 階躍響應曲線

其次，將執(zhí)行機構模型嵌入閉環(huán)中進行仿真，在不同階躍幅值下的NL響應動態(tài)性能變差，在第18 s加入較大的階躍指令幅值下的響應超調量約為11%，如圖8 所示。

為了分析動態(tài)性能變差的原因，對執(zhí)行機構模型增廣得到的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其閉環(huán)極點、零點分布如圖9 所示。

圖9 增廣執(zhí)行機構后的閉環(huán)系統(tǒng)極點、零點

從圖中可見，這4 個閉環(huán)極點中的1 個與1 個閉環(huán)零點距離很近，動態(tài)性能主要由1 對共軛主導極點-2.3±3.2i 決定，其阻尼比約為0.55。

其Nyquist 曲線如圖10 所示。從圖中可見，Nyquist 頻譜左向彎曲靠近（-1，0i）點。

其Bode 曲線如圖11 所示。從圖中可見，雖然具有無窮大的幅值裕度，但是相角裕度只剩下55毅。

可見，在不考慮執(zhí)行機構動態(tài)時，閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比將減小0.4，相角裕度減少了30毅左右，這是導致系統(tǒng)動態(tài)性能變差的主要原因。

圖11 增廣執(zhí)行機構模型后的Bode 圖曲線

如果進一步考察傳感器噪聲對控制系統(tǒng)性能的影響，加入頻率為10 Hz、幅值為±0.5 的均值為0 的高斯白噪聲測量信號，帶噪聲的轉速測量信號如圖12 所示。

圖12 情況1 的帶有噪聲NL 的測量信號

仿真結果如圖13 所示。從圖中可見，在不同階躍幅值下的階躍響應動態(tài)性能進一步變差，不僅超調增大，還出現(xiàn)不同程度的轉速擺動現(xiàn)象。

圖13 情況1 下閉環(huán)NL 階躍響應曲線

4.2.2 情況2：考慮執(zhí)行機構動態(tài)的設計

作為對比設計，將發(fā)動機歸一化線性模型與執(zhí)行機構模型進行增廣，增廣狀態(tài)空間模型矩陣為

極點圓配置同上，按上述方法求解，得Knp=2.2048，Kni=7.0648。其閉環(huán)極點、零點分布如圖14所示。其Nyquist 曲線如圖15 所示。

Bode 圖曲線如圖16 所示。從圖中可見，系統(tǒng)具有無窮大的幅值裕度和近78毅的相角裕度。

圖14 情況2 的閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點

圖15 情況2 的Nyquist 曲線

圖16 情況2 的Bode 圖曲線

首先，在仿真中未加入傳感器測量噪聲，在不同階躍幅值下的低壓轉子轉速響應曲線如圖17 所示。NL轉速無超調，調節(jié)時間為1.5 s。

圖17 情況2 的閉環(huán)NL 階躍響應曲線（傳感器不帶噪聲）

其次，在仿真中加入頻率為10 Hz、幅值為 的均值為0 的高斯白噪聲測量信號，轉速傳感器信號如圖18 所示。

帶傳感器噪聲的不同轉速階躍幅值下的響應曲線如圖19 所示。NL轉速無超調，調節(jié)時間為1.5 s。

圖18 情況2 的帶有噪聲的NL 測量信號

圖19 情況2 的閉環(huán)NL 階躍響應曲線（傳感器帶噪聲）

進一步考慮執(zhí)行機構建模的不確定性，設執(zhí)行機構的實際時間常數(shù)Ta=0.35 s，加入的傳感器噪聲信號同前，NL測量信號如圖20 所示。

仿真結果如圖21 所示。從圖中可見，即使在執(zhí)行機構未建模動態(tài)存在0.15 s 的情況下，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能未明顯變差，仍具有魯棒性能，小階躍超調量在0.5%之內，調節(jié)時間小于2 s，大階躍超調量在3%之內，調節(jié)時間小于3.5 s。

圖20 情況2 的含噪聲的反饋NL 信號

圖21 情況2 的閉環(huán)NL 階躍響應曲線（執(zhí)行機構Ta=0.35 s）

5 結論

本文提出了1 種多變量控制系統(tǒng)閉環(huán)極點配置圓的LMI 設計方法，在雙轉子渦扇發(fā)動機上進行了仿真驗證，得到結論如下：

（1）對雙轉子渦扇發(fā)動機雙回路控制的仿真表明：控制系統(tǒng)對于高壓轉子轉速回路和渦輪落壓比回路具有伺服跟蹤性能和抗回路耦合干擾性能；高壓轉子轉速NH的階躍突變對渦輪落壓比πT超調量約1.3%的干擾，動態(tài)調節(jié)時間不大于2 s，進入穩(wěn)態(tài)后，能夠無靜差伺服跟蹤參考指令。

（2）對雙轉子渦扇發(fā)動機單回路控制的仿真表明：不考慮執(zhí)行機構動態(tài)直接進行控制器設計，其相角裕度將減少30毅左右，導致系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性變差。