宋麗君 ，周 蕾，李紹良，付強(qiáng)文

(1.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，西安 710055；2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，西安 710072)

0 引言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyro,HRG)是一種具有高精度、高可靠性、抗沖擊、不需預(yù)熱、啟動(dòng)時(shí)間短、壽命長(zhǎng)等突出優(yōu)點(diǎn)的新型陀螺，是利用球殼徑向振動(dòng)產(chǎn)生的駐波沿環(huán)向進(jìn)動(dòng)敏感基座旋轉(zhuǎn)的振動(dòng)陀螺，其以可擴(kuò)展空間慣性參考系統(tǒng)(Scalable Space Inertial Reference Unit，SSIRU)為基礎(chǔ)，在高精度慣性傳感器領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。

HRG主要敏感部件是具有超低阻尼的半球諧振子，也正是因?yàn)榘肭蛑C振子的優(yōu)越性能，HRG廣泛應(yīng)用于海陸空天電等技術(shù)領(lǐng)域。本文圍繞半球諧振子成型工藝、性能指標(biāo)和最終用戶要求，對(duì)半球陀螺諧振子環(huán)向振型進(jìn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，建立半球陀螺能量型諧振子數(shù)學(xué)模型，確定半球殼體旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)選取的最佳振型與進(jìn)動(dòng)因子，為后續(xù)大批量、低成本可行的成型工藝路線提供理論研究基礎(chǔ)，以加快HRG的研制及其應(yīng)用進(jìn)程。

1 半球諧振子運(yùn)動(dòng)方程

半球諧振子由薄壁半球殼體與支撐桿兩部分構(gòu)成。薄壁半球殼體使諧振腔材料對(duì)彎曲能量?jī)?chǔ)存達(dá)到最大值，支撐桿通過(guò)銦焊方式固定，起到約束和支撐諧振子的作用，同時(shí)還進(jìn)行電信號(hào)的傳遞。本文在半球諧振子基?；舴?李雅夫數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論了基于能量守恒原理的能量型半球諧振子數(shù)學(xué)模型，而且諧振頻率和進(jìn)動(dòng)因子的具體表達(dá)式也是基于能量守恒原理給出。在采用能量型諧振子數(shù)學(xué)模型分析諧振子振動(dòng)特性的同時(shí)，還分析了諧振子底端角φ0、頂端角φF和壁厚h(φ)的非理想性等因工藝缺陷引起半球諧振子參數(shù)對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的影響。

半球諧振子坐標(biāo)示意圖如圖1所示[4-5]。

圖1 半球諧振子坐標(biāo)示意圖Fig.1 The coordinates of hemispherical resonator

圖1中，x軸為諧振子中心軸；R和h(φ)分別為諧振子半球殼的中面半徑和壁厚；φ0為諧振子底端角，是諧振子約束端與中心軸的夾角，其大小由諧振子支撐桿半徑與半球殼半徑比值決定；φF為諧振子頂端角，為諧振子自由端與中心軸的夾角，在沒(méi)有任何約束的情況下，φ0=0°，φF=90°。

殼體上A點(diǎn)的位移矢量為

V=au+bv+cw

其中，u、v、w分別為殼體母線、切線和徑向的位移分量，a、b、c分別為相應(yīng)的動(dòng)矢量。

半球諧振子形變和應(yīng)力受薄殼彈性力學(xué)約束，假設(shè)當(dāng)半球諧振子在慣性空間以角速度Ω=Ωx+Ωyz旋轉(zhuǎn)時(shí)，依據(jù)參考文獻(xiàn)[10]，旋轉(zhuǎn)空間的半球諧振子振型可以表示為

(1)

其中，u(φ)、v(φ)、w(φ)分別為沿各向分布的振型，ψ為振型進(jìn)動(dòng)角，n為環(huán)向波數(shù)，ωn為諧振頻率，K為進(jìn)動(dòng)因子。

由彈性薄殼理論可知，半球諧振子的彈性勢(shì)能為

(2)

式中，E為彈性模量，μ為材料的泊松比。

半球殼中，式(2)中可拉伸半球薄殼的中面應(yīng)變和中面彎曲變形分別為

(3)

在實(shí)際系統(tǒng)中，半球殼頂端自由，底端受到約束并處于微幅振動(dòng)狀態(tài)，因此半球殼體滿足中面不擴(kuò)張理論，即中面法向應(yīng)變和切向應(yīng)變?yōu)?，則振型u(φ)、v(φ)、w(φ)有如下關(guān)系

(4)

因底端約束邊界條件

u(φ0)=v(φ0)=w(φ0)=0

可得

(5)

其中，C1為一待定常數(shù)，由振動(dòng)的初始激勵(lì)條件確定[6-9]。

2 半球陀螺諧振子的進(jìn)動(dòng)特性

2.1 HRG的工作原理

HRG基于科氏效應(yīng)原理對(duì)輸入的角速度或者角度進(jìn)行測(cè)量。當(dāng)HRG不旋轉(zhuǎn)時(shí)，波腹點(diǎn)和波節(jié)點(diǎn)的位置相對(duì)于半球殼是靜止?fàn)顟B(tài)，對(duì)諧振子施加外部激振，使諧振子的能量在不同模態(tài)之間轉(zhuǎn)換，形成穩(wěn)定振形。當(dāng)HRG旋轉(zhuǎn)時(shí)，陀螺內(nèi)穩(wěn)定振動(dòng)的諧振子振形會(huì)滯后于陀螺本體的物理旋轉(zhuǎn)，其滯后量約為旋轉(zhuǎn)角度的30%，其工作原理如圖2所示。

圖2 諧振子角度滯后原理示意圖Fig.2 The angular hysteresis principle of hemispherical resonator

2.2 半球諧振子的諧振頻率

在研究半球諧振子的諧振頻率時(shí),除考慮作用在半球諧振子體積元上的慣性力之外，還需要考慮作用在諧振子表面邊緣的外力。

設(shè)彈性力做的虛功為δWK，角速度Ω引起的外力做的虛功為δWe，振動(dòng)慣性力做的虛功為δT。

依據(jù)參考文獻(xiàn)[10]，在位移V下，可得振動(dòng)慣性力F所做虛功為

因旋轉(zhuǎn)慣性力在引起旋轉(zhuǎn)加速度a(Ω)=a(Ωx)+a(Ωyz)，需要考慮角速度Ω引起的外力，依據(jù)參考文獻(xiàn)[10],可得旋轉(zhuǎn)慣性力所做虛功為

殼體彈性勢(shì)能由彈性力產(chǎn)生,彈性力所做虛功為

δWK=δ(-U)

依據(jù)參考文獻(xiàn)[10],可得彈性力所作虛功為

根據(jù)虛位移原理，保持靜止的條件是虛位移所做的功總和為0，可得

δT+δWe+δWK=0

由此可得半球諧振子的諧振頻率為

(6)

其中

sinφh(φ)dφ

2.3 半球諧振子振型的進(jìn)動(dòng)因子

當(dāng)諧振子在慣性空間以角速度Ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，此時(shí)，環(huán)向振型則以P=KΩx的速率沿Ωx的反向轉(zhuǎn)過(guò)ψ角[11-12]。

半球諧振子殼體任一點(diǎn)處慣性力為

F=F0+F(Ωx)+F(Ωyz)

其中：F0、F(Ωx)和F(Ωyz)分別為半球諧振子不旋轉(zhuǎn)時(shí)的慣性力，在虛位移下所做的虛功為

δT=δT0+δT(Ωx)+δT(Ωyz)+δT(Ω)-δW(Ω)

其中

w(φ)δw]Rh(φ)dφ

w(φ)δw]Rh(φ)dφ+2πρnPΩxcos2ωt·

sinφv(φ)δw+sinφw(φ)δv]Rh(φ)dφ

δT(Ωyz)=0

δW(Ω)為由Ω引起的初始彈性力所做虛功，即δWK0，于是由虛位移原理可得

δT+δWK0=0

即

δWK0-δWK(Ω)+δT0+δT(Ω)=0

在半球諧振子振動(dòng)模態(tài)中，δWK0-δWK(Ω)為模態(tài)彈性力的虛功，δT0為該模態(tài)下彈性力所做虛功。當(dāng)諧振子在慣性空間以角速度Ω=Ωx+Ωyz旋轉(zhuǎn)時(shí)，其沿Ωx的旋轉(zhuǎn)為主振動(dòng)，根據(jù)主振動(dòng)能量保持不變、主振動(dòng)動(dòng)能與勢(shì)能之和保持不變的原理可知，當(dāng)半球諧振子殼體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可得

δT(Ωx)=0

設(shè)

sinφv(φ)δw+sinφw(φ)δv]Rh(φ)dφ

可得

nPG1+2G2Ωx=0

整理可得進(jìn)動(dòng)因子

(7)

其中，G1和G2只與振型以及諧振子的約束關(guān)系和殼體的幾何特性有關(guān)，也反映了殼體上產(chǎn)生的哥氏效應(yīng)和慣性力的大小。

3 諧振子參數(shù)誤差對(duì)陀螺性能的影響

本文針對(duì)某型高精度半球陀螺諧振子成型技術(shù)研究要求：設(shè)計(jì)球半徑為15mm，為保證諧振頻率的穩(wěn)定性，球殼半徑誤差不大于0.014%，約為2μm；諧振子壁厚0.6mm，壁厚誤差不大于0.067%，約為0.402μm；球殼球度不大于0.0003mm；支撐桿半徑2mm，支撐桿誤差不大于0.13%，約為7.8μm；由支撐桿半徑和半球殼半徑的比值可得底端角φ0=7.3°；頂端角與底端角精度不大于0.01°；支撐桿與半球同軸度不大于0.0015mm，品質(zhì)因數(shù)Q值不小于1×107。

3.1 最佳環(huán)向波數(shù)

采用式(6)與式(7)對(duì)半球諧振子的諧振頻率和進(jìn)動(dòng)因子進(jìn)行計(jì)算，如表1所示。

表1 半球諧振頻率與進(jìn)動(dòng)因子

隨著半球諧振子環(huán)向波數(shù)n的增加，半球諧振子振型越來(lái)越復(fù)雜，維持諧振子振動(dòng)的能量持續(xù)增加，諧振頻率也越來(lái)越高。而半球諧振子的進(jìn)動(dòng)因子隨環(huán)向波數(shù)n單調(diào)減小,振型的進(jìn)動(dòng)特性減弱，檢測(cè)靈敏度降低。

從半球諧振子能量損耗的角度考慮，希望維持半球諧振子振型所需能量越少越好，而且，振型的復(fù)雜變化不利于半球諧振子的激振和信號(hào)檢測(cè)與控制。綜合考慮HRG工程應(yīng)用要求和振動(dòng)實(shí)現(xiàn)條件，半球諧振子振型選取最佳環(huán)向波數(shù)為n=2，此時(shí)K≈0.3。本文后續(xù)分析采用環(huán)向波數(shù)為n=2。

3.2 頂端角與底端角對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的影響

為便于分析，設(shè)半球諧振子進(jìn)動(dòng)因子K的變化率為

σK=ΔK/K0

其中，K0是諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求(φ0=7.3°、φF=90°)時(shí)的進(jìn)動(dòng)因子，ΔK是進(jìn)動(dòng)因子變化量[13-14]。

進(jìn)動(dòng)因子K的具體表達(dá)式如下

(8)

當(dāng)振型環(huán)向波數(shù)為2時(shí)，諧振子頂端角φF、φ0與K的關(guān)系如圖3和圖4所示。

圖3 φF與K關(guān)系圖(φ0=7.3°)Fig.3 The relationship between φF and K(φ0=7.3°)

圖4 φ0與K關(guān)系圖(φF=90°)Fig.4 The relationship between φ0and K(φF=90°)

由圖3和圖4可知：

當(dāng)諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)，即φ0=7.3°,φF=90°，理想進(jìn)動(dòng)因子K0=-0.2981762；當(dāng)φ0變化區(qū)間為[7°,8°]時(shí)，其σK的變化區(qū)間為[-0.0139%,0.00037%]，即進(jìn)動(dòng)因子K對(duì)底端角φ0變化不敏感；而當(dāng)φF變化區(qū)間為[89°,91°]時(shí)，其σK的變化區(qū)間為[1.2425%,-1.4761%]，即進(jìn)動(dòng)因子K對(duì)頂端角φF變化相對(duì)敏感。

設(shè)計(jì)指標(biāo)中要求半球諧振子頂端角精度不大于0.01°。

當(dāng)Δφ0=0.01°時(shí)，ΔK=1.2×10-6，如果輸入角速度是1(°)/s，則由ΔK引起的角速度誤差是ΔΩ=0.00432(°)/h。

當(dāng)ΔφF=0.01°時(shí)，ΔK=4×10-5，如果輸入角速度是1(°)/s，則由ΔK引起的角速度誤差是ΔΩ=0.144(°)/h。

由此可知，Δφ0引起的角速度誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于相同的ΔφF引起的角速度誤差。

3.3 壁厚不均勻?qū)M(jìn)動(dòng)因子的影響

加工高精度球殼結(jié)構(gòu)半球諧振子是半球諧振陀螺的技術(shù)核心，參考國(guó)內(nèi)外半球諧振子超精密加工技術(shù)的研究成果和經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合熔融石英玻璃在加工中存在的技術(shù)瓶頸，針對(duì)半球諧振子的材料和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，充分考慮熔融石英玻璃的加工性能,進(jìn)行加工性能研究。

對(duì)于環(huán)向波數(shù)固定的振型，由于加工造成的壁厚不均勻會(huì)引起諧振頻率變化，同時(shí)也會(huì)對(duì)進(jìn)動(dòng)因子產(chǎn)生影響，其影響主要分為以下兩種情況：

1)諧振子底部壁厚增加，此時(shí)諧振子壁厚變化規(guī)律函數(shù)如下

h(φ)=h(1+αcosφ)

2)諧振子頂部壁厚增加，此時(shí)諧振子壁厚變化規(guī)律函數(shù)如下

h(φ)=h(1+αsinφ)

其中，半球諧振子的球心角φ的變化為0°≤φ≤90°，α是壁厚變化因子。

當(dāng)振型環(huán)向波數(shù)為2時(shí)，諧振子底部與頂部壁厚增加時(shí)K的變化如圖5和圖6所示。

圖5 底部壁厚增加時(shí)的進(jìn)動(dòng)因子Fig.5 The precession factor with increasing of bottom wall thickness

圖6 頂部壁厚增加時(shí)的進(jìn)動(dòng)因子Fig.6 The precession factor with increasing of top wall thickness

由圖5和圖6可知，半球諧振子底部壁厚增加使進(jìn)動(dòng)因子K的絕對(duì)值減小，當(dāng)α變化區(qū)間為[0,0.25]時(shí)，其σK的變化區(qū)間為[-0.012308%,-1.1021%]；半球諧振子頂部壁厚增加使進(jìn)動(dòng)因子K的絕對(duì)值增加，當(dāng)α變化區(qū)間為[0,0.25]時(shí)，其σK的變化區(qū)間為[0.0126435%,1.0503186%]。

4 仿真設(shè)計(jì)

4.1 半球諧振子有限元分析

有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)進(jìn)行模擬仿真分析。半球諧振子旋轉(zhuǎn)引起的特性變化會(huì)影響HRG的工作性能，尤其是半球諧振子結(jié)構(gòu)是影響半球諧振子振動(dòng)特性的關(guān)鍵因素，因此必須對(duì)半球諧振子振動(dòng)特性以及影響半球諧振子振動(dòng)特性的因素進(jìn)行分析。本文采用有限元計(jì)算方法對(duì)半球諧振子模態(tài)進(jìn)行分析，最終識(shí)別半球諧振子的模態(tài)參數(shù)，為其振動(dòng)特性分析、振動(dòng)故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

假定半球諧振子在沒(méi)有旋轉(zhuǎn)的自由狀態(tài)下作有阻尼或無(wú)阻尼振動(dòng)，此時(shí)多自由度運(yùn)動(dòng)的微分方程表示為

(9)

將式(9)時(shí)間域方程變換到拉氏域復(fù)變量p，并假設(shè)初始位移和初始速度為0，則得到拉氏域方程

Mp2+Cp+K=Q(p)

(10)

經(jīng)過(guò)變換可得傳遞函數(shù)

(11)

它的根即是極點(diǎn)

(12)

假設(shè)半球諧振子在一個(gè)振蕩周期內(nèi)能量損失非常微小，為便于分析，近似忽略施加在半球諧振子上的阻尼影響，此時(shí)，微分方程簡(jiǎn)化為

(13)

當(dāng)半球諧振子的結(jié)點(diǎn)載荷向量為0時(shí)，則微分方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(14)

式(14)為半球諧振子的自由振動(dòng)方程，又稱為動(dòng)力特性方程，由此方程可以解出半球諧振子的固有頻率和固有振型。

4.2 半球諧振子有限元仿真

對(duì)于高品質(zhì)半球諧振子,一方面要保證諧振頻率穩(wěn)定性,另一方面還要保證振型穩(wěn)定性。目前，半球諧振子的理想材料為熔融石英玻璃。采用這種材料的半球諧振子具有穩(wěn)定的振動(dòng)頻率、短延遲時(shí)間、高機(jī)械穩(wěn)定性、低熱膨脹率和較大的內(nèi)應(yīng)力。采用熔融石英玻璃制造的半球諧振子能夠在較大的溫度范圍內(nèi)工作，降低維持陀螺振動(dòng)所需的能量損耗。在制造加工過(guò)程中，半球諧振子的傾斜、旋轉(zhuǎn)以及支撐桿的變形和振動(dòng)都是對(duì)陀螺正常工作極其有害的，因此應(yīng)盡量避免。

半球諧振子要求熔融石英玻璃具有各向同性和高的品質(zhì)因數(shù)，要求溫度系數(shù)小且系數(shù)穩(wěn)定。通常彈性模量E=7.67×1010Pa，泊松比μ=0.17，密度ρ=2500kg/m3。本文HRG工作時(shí)的邊界約束為底端固定，頂端自由，仿真中采用的具體方法是在ANSYS中對(duì)支桿底端面的所有自由度均進(jìn)行限制，半球諧振子及以下部分采用自由狀態(tài)。

為減少半球諧振子建模的工作量，在建立模型時(shí)采用AUTOCAD進(jìn)行靜態(tài)模型建立，再導(dǎo)入ANSYS中，最終映射網(wǎng)格劃分。半球諧振子模型與網(wǎng)格劃分如圖7(a)與圖7(b)所示。

(a)

(b)

半球諧振子中間支桿底端固定情況下，對(duì)半球諧振子施加力，仿真結(jié)果中半球諧振子與下半段支桿的顏色發(fā)生改變，也即發(fā)生了變形。從諧振子總變形平視圖中可以發(fā)現(xiàn)，半球諧振子與桿的變形是越靠近半球邊緣，其變形越大，呈遞進(jìn)趨勢(shì)。半球諧振子總變形平視圖與底視圖如圖8(a)與圖8(b)所示。

在半球諧振子中間支桿底端固定、頂端自由情況下，其應(yīng)力變化是半球諧振子與桿連接處最大，從支桿向外逐漸減小。應(yīng)力變化較大的地方為中心桿和半球諧振子的接觸面，且由內(nèi)向外延伸，并隨著半球諧振子的移動(dòng)，發(fā)生了一定的形變。半球諧振子等效應(yīng)力平視圖與底視圖如圖9(a)與圖9(b)所示。

(a)

(b)

(a)

(b)

5 結(jié)論

本文針對(duì)HRG能量型諧振子數(shù)學(xué)模型，研究非理想因素對(duì)諧振頻率和進(jìn)動(dòng)因子的影響，以及諧振子頂端角、底端角和壁厚的非理想性對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的影響。其中，HRG的進(jìn)動(dòng)因子對(duì)頂端角變化的敏感性遠(yuǎn)大于對(duì)底端角變化的敏感性，且頂端角變化引起的HRG角速度誤差遠(yuǎn)大于相同底端角變化引起的HRG角速度誤差。因此，在實(shí)際制造過(guò)程中，對(duì)頂端角的制造精度要求遠(yuǎn)高于對(duì)底端角的制造精度要求。隨著半球諧振子壁厚增加，半球諧振子剛度將隨之增加，諧振頻率也隨之增加，諧振頻率的增加將使半球諧振子不易激振。而且當(dāng)半球殼壁厚減少時(shí)，由于制造上所造成的非軸對(duì)稱影響非常顯著，也會(huì)導(dǎo)致測(cè)量誤差增加。因此，在實(shí)際加工制造過(guò)程中，壁厚選擇需要綜合考慮，其加工制造精度也是精密加工中最難以保證的環(huán)節(jié)，是半球諧振子研制的技術(shù)瓶頸。