沈妍雋

[摘 ?要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，或許教師在教給學(xué)生解題方法的時(shí)候，應(yīng)該更多地幫助他們指明解題方向，讓他們擁有解題之路的指南針. 所以教師的作用就是要通過(guò)平時(shí)的不斷訓(xùn)練和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，讓思維有一定的指向性，使學(xué)生的解題能力得到提高.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)科價(jià)值;方向性;直覺思維

數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中寫到：“是的，這個(gè)解答看起來(lái)是行的，它似乎是正確的，但怎樣才能想到這個(gè)解答呢？是的，這個(gè)實(shí)驗(yàn)看起來(lái)可行，這似乎是事實(shí)，但是人們?cè)趺窗l(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)的？而我自己如何才能想到或發(fā)現(xiàn)它們呢？”一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人！這不正是我們初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中的難點(diǎn)且需要突破的嗎？我們經(jīng)常面臨這樣的場(chǎng)景：當(dāng)老師給學(xué)生講解習(xí)題，尤其是略有難度的題目時(shí)，有時(shí)候可能只需要老師點(diǎn)一下，學(xué)生就茅塞頓開，驚呼：“我當(dāng)時(shí)怎么沒想到呢？這么簡(jiǎn)單！”學(xué)生真的是笨嗎？真的是數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備不足嗎？做的題目還不夠多嗎？我們教師不應(yīng)該反思嗎……為什么我們給了學(xué)生這么多方法，這么多“武林秘籍”，他們就是不會(huì)用呢？

下面以一個(gè)初三習(xí)題為例，來(lái)說(shuō)明解題方向?qū)忸}方法的影響.

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0），B（-6，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少？

題目背景 ?此題是出現(xiàn)在初三學(xué)生的一次周末家庭作業(yè)中，第一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，第二輪專題復(fù)習(xí)正在進(jìn)行中，主要就是想強(qiáng)化學(xué)生的方法性思考，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)直覺和能力. 筆者在周一的批改過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)好幾位同學(xué)都對(duì)了，所以在課堂上就嘗試讓學(xué)生上黑板講解，尤其要求學(xué)生講出他是怎么想到這種方法的. 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思路真的很開闊，而且突破口抓得既巧妙又合情合理，甚至有的方法筆者自己都未曾想到. 這說(shuō)明學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)中，已經(jīng)很好地自我修復(fù)和構(gòu)建了多種數(shù)學(xué)模型或者說(shuō)思想方法. 課后，筆者將學(xué)生的思路提煉出了四種較經(jīng)典的代表，整理如下.

思考方向1 ?學(xué)生甲提供，他是我們班級(jí)的學(xué)霸，很多時(shí)候，他總能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，從而巧解各類難題. 他的思考方向是由定邊加定角想到構(gòu)建隱圓. 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)C在動(dòng)的過(guò)程中，保證∠BCA不變，所以聯(lián)想到圓中同弧所對(duì)的圓周角都相等，且等于所對(duì)圓心角度數(shù)的一半，從而想到建立圓來(lái)解決問(wèn)題，找到解題方法. 即建立隱圓如下：如圖1，以P（-1，5）為圓心，PB=5 為半徑的圓，交y軸于點(diǎn)C，結(jié)合△PCF用勾股定理求得CF=7，從而求得點(diǎn)C坐標(biāo)（0，12）以及其對(duì)稱點(diǎn)（0，-12）.

思考方向2 ?學(xué)生乙提供，他從初一到初三的數(shù)學(xué)都是由筆者任教，所以對(duì)于筆者平時(shí)在教學(xué)中用到的模型，應(yīng)用起來(lái)比其他同學(xué)更得心應(yīng)手. 他的思考方向是由“一線三等角”模型展開. 所謂一線三等角模型即三個(gè)等角頂點(diǎn)在同一直線上，如圖2所示，則總可以證明兩側(cè)兩個(gè)三角形相似. 在學(xué)生熟知這個(gè)模型的基礎(chǔ)上，確立了構(gòu)建45°一線三等角模型的思考方向. 解題分析如圖3所示.

解題思路如下：構(gòu)建圖3，∠D和∠E都等于45°，可證得△BCD∽△CAE，從而得到 = ，即 = ，可求得CO=12，即得點(diǎn)C（0，12）或?qū)ΨQ點(diǎn)（0，-12）.

思考方向3 ?由學(xué)生丙提供，此學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)并不是非常突出，所以他能解決這個(gè)問(wèn)題，確實(shí)讓筆者比較驚喜. 他沒有用什么模型，只是由45°角直覺想到構(gòu)建等腰直角三角形，且充分利用已知數(shù)據(jù)6和4，從而得到一些新數(shù)據(jù)，并在構(gòu)建等腰直角三角形的同時(shí)，用45°角觀察到產(chǎn)生的一些相似三角形，由此可嘗試解決. （其實(shí)此法也是上題一線三等角的變式）

解題思路如下：如圖4，構(gòu)建等腰直角三角形△BOE和△AOD，得到新數(shù)據(jù)BO=OE=6，BE=6 ，AO=DO=4，AD=4 ，DE=2，可證得△BCE∽△CAD，得到 = ，即 = ，可求得CE=6，故CO=12，即得點(diǎn)C（0，12）或?qū)ΨQ點(diǎn)（0，-12）.

思考方向4 ?由學(xué)生丁提供，該生記憶力比較好，曾經(jīng)做過(guò)的題目，他都會(huì)有較深印象. 他的思路是由第一輪復(fù)習(xí)中的一個(gè)旋轉(zhuǎn)題拓展而來(lái). 他想到將兩個(gè)獨(dú)立小三角形分別往兩側(cè)旋轉(zhuǎn)，從而構(gòu)建出一個(gè)正方形，再借助勾股定理解決.

解題思路如下：旋轉(zhuǎn)△AOC、△BOC得△BEC和△ADC，延長(zhǎng)EB，DA交于點(diǎn)F，可證得正方形CEFD，CE=CD=EF=DF=CO，在△ABF中，由勾股定理：BF2+AF2=AB2，通過(guò)等量代換可得：（CO-4）2+（CO-6）2=102，解得CO=12，即得點(diǎn)C（0，12）或?qū)ΨQ點(diǎn)（0，-12）.

通過(guò)一道小小的練習(xí)題，學(xué)生們就根據(jù)自己的思考方向不同，得出來(lái)這么多精彩的方法，這不得不讓筆者感到欣慰和感嘆！數(shù)學(xué)的解題方法千千萬(wàn)萬(wàn)，我們要做的并不是讓學(xué)生掌握每一種方法，而是要他們學(xué)會(huì)自己去思考、分析、解決. 這更堅(jiān)定了筆者對(duì)“方向比方法更重要”這句話的認(rèn)識(shí)，只有正確的思考方向才能引領(lǐng)好的解題方法. 這就需要我們教師在平時(shí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多問(wèn)為什么，如“這個(gè)題目為什么可以這么解？”“為什么他會(huì)想到這種方法？”教他們學(xué)會(huì)從條件和結(jié)論中，最大限度地提取有用信息，將顯性、隱性信息和不同數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，再聯(lián)系最近發(fā)展區(qū)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，推動(dòng)信息的延續(xù)，產(chǎn)生解題方向. 手握“指南針”，構(gòu)建成已有數(shù)學(xué)模型，形成方法，最終化為行動(dòng).

這也正是學(xué)科教學(xué)根本價(jià)值的體現(xiàn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維、形成習(xí)慣、積累教養(yǎng)，將學(xué)習(xí)中的思維過(guò)程、方法策略內(nèi)化為學(xué)生走向社會(huì)解決具體問(wèn)題的基本技能、基本思想、基本態(tài)度和基本素質(zhì). 這何嘗不是我們生活的智慧呢？只有明確了人生努力的方向，才有可能盡最大力量去尋找最佳方法來(lái)實(shí)現(xiàn)它！