孔繁艷

[摘 ?要] 文章基于核心素養(yǎng)背景，提出勾股定理教學(xué)的幾點(diǎn)建議：重視數(shù)學(xué)文化的滲透;重視價(jià)值與思想方法回歸;重視創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);勾股定理;建議

勾股定理的出現(xiàn)，稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑. 它隱含著豐富的數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用價(jià)值. 勾股定理作為初中平面幾何中的一個(gè)重要定理，值得教師好好研究，即通過(guò)教學(xué)如何讓學(xué)生感受勾股定理的文化價(jià)值、實(shí)用價(jià)值和創(chuàng)新價(jià)值. 基于此，本文提出幾點(diǎn)教學(xué)建議，供大家參考.

重視數(shù)學(xué)文化的滲透

在大力提倡核心素養(yǎng)培養(yǎng)、數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化滲透的教學(xué)大背景下，通過(guò)勾股定理教學(xué)弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化勢(shì)在必行. 教學(xué)中，我們不僅要向?qū)W生介紹定理的發(fā)展史，而且要通過(guò)對(duì)勾股定理的多種證明方法的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的思維.

對(duì)于勾股定理的證明，除了探究課本上的證明外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生搜集資料，探究其他證明方法，如鄒元治證明、趙爽證明、美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明、梅文鼎證明、項(xiàng)明達(dá)證明、歐幾里得證明、利用相似三角形的性質(zhì)證明、辛卜松證明、陳杰證明等，讓學(xué)生在不同的證明方法中感受勾股定理的博大精深與多姿多彩的文化價(jià)值，與此同時(shí)，教師也可以適時(shí)引入與勾股定理有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題.

素材1： “趙爽弦圖”問題

利用弦圖（圖1）證明勾股定理由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽首創(chuàng)，為緬懷這位偉大的數(shù)學(xué)家，第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)特意把弦圖作為這次大會(huì)的會(huì)標(biāo). 圖1為古代著名“趙爽弦圖”示意圖，其由四個(gè)相同的直角三角形組成. 在Rt△ABC中，若直角邊AC=6，BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是多少？

下面用勾股定理加以解析.

如圖2，標(biāo)注出D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn).

因?yàn)锳C=6，BC=5，

所以GD=6，DE=5.

因?yàn)镕G=DG，所以FD=2DG=12.

在Rt△DEF中，由勾股定理得

EF= = =13.

所以這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)為4（EF+FG）=4×（13+6）=76.

素材2： “蕩秋千”問題

《直指算法統(tǒng)宗》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明朝數(shù)學(xué)家程大位所著. 這本書中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，其以詞的形式呈現(xiàn)如下：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？

詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（每5尺為一步），秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，如果這時(shí)秋千的繩索拉得很直，試問它有多長(zhǎng).

下面我們用勾股定理進(jìn)行分析.

如圖3，設(shè)繩索AC=AD=x尺，則AB=（x+1）-5=x-4（尺）.

又BD=10尺，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5，即繩索的長(zhǎng)為14.5尺.

引導(dǎo)學(xué)生搜集資料，探析數(shù)學(xué)大家的足跡. 課堂中進(jìn)行文化題的賞析，能有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的滲透，比單純課本例題的探究更高效.

重視價(jià)值與思想方法回歸

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活. 為讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、感受勾股定理及其實(shí)用價(jià)值，教師在勾股定理的教學(xué)中應(yīng)重視實(shí)用價(jià)值的滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用勾股定理解決實(shí)際問題. 如，可以引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理解決以下幾個(gè)問題.

問題1：地基挖得合格嗎？

圖4是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)現(xiàn)AB=DC=8米，AD=BC=6米，AC=9米，請(qǐng)你幫他看一下挖得是否合格.

問題2 ：木棒能放進(jìn)木箱嗎？

如圖5，有一根70厘米長(zhǎng)的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是50厘米、30厘米、40厘米的木箱中，能放進(jìn)去嗎？

問題3 ：如何彎折鐵絲做風(fēng)箏？

一根長(zhǎng)160厘米的細(xì)鐵絲，李昊同學(xué)將其剪成三段準(zhǔn)備制作成風(fēng)箏的邊框. 風(fēng)箏呈等腰三角形形狀（如圖6）. 假設(shè)這個(gè)等腰三角形底邊上的高AD=40厘米，請(qǐng)問：李昊同學(xué)是怎樣彎折鐵絲的？

教師在引導(dǎo)學(xué)生利用勾股定理解決上述實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)隨時(shí)啟發(fā)學(xué)生總結(jié)解決問題時(shí)用到的基本思想與方法，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)思想武裝自己的頭腦.

問題4：受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？

據(jù)某地氣象臺(tái)預(yù)測(cè)，一熱帶風(fēng)暴中心正從A城正西方向300千米的地方，以每小時(shí)26千米的速度向北偏東60°方向飛快移動(dòng). 在離風(fēng)暴中心200千米的范圍內(nèi)都會(huì)受到影響. 請(qǐng)問：A城會(huì)受到這次風(fēng)暴的影響嗎？若不受影響，請(qǐng)說(shuō)出理由;若受影響，試計(jì)算受到風(fēng)暴影響的時(shí)間.

本題的情境來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活，材料既新鮮又新穎，能挑戰(zhàn)學(xué)生的思維深度. 要想解決這類問題，就必須尋找合理的數(shù)學(xué)模型，并加以轉(zhuǎn)化，這是解題的難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵.

本題可構(gòu)建直角三角形模型. 如圖7，O為風(fēng)暴中心，OC為風(fēng)暴中心的移動(dòng)方向. 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D，在Rt△OAD中，因?yàn)椤螦OD=30°，OA=300千米，故AD=150千米<200千米，所以A城將受到這次風(fēng)暴的影響. 如圖7，設(shè)AB=AC=200千米，在Rt△BAD中，由勾股定理，得

BD= = =50 （千米）.

所以，A城遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間= ≈10.2（小時(shí)）.

問題是數(shù)學(xué)的心臟，思想是數(shù)學(xué)的靈魂. 讓學(xué)生帶著勾股定理走進(jìn)實(shí)際問題，又在實(shí)際問題中感悟數(shù)學(xué)思想，能大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓他們從心底里愛上數(shù)學(xué).

重視創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

在勾股定理的教學(xué)中，所謂創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，就是倡導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用勾股定理解決一些看似與勾股定理無(wú)關(guān)的問題，這是應(yīng)試的需要，更是培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的需要.

案例1：勾股定理與不等式的證明

已知：a，b，c，d都是正數(shù)，求證： + > ?.

分析 ?本題是一個(gè)代數(shù)問題，從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（即平方關(guān)系）考慮，可運(yùn)用幾何方法（也就是利用勾股定理）來(lái)解決.

證明 ?如圖8，構(gòu)造一個(gè)矩形ABCD，其相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為a+b，c+d. 在Rt△ABE中，可得BE= = = ;在Rt△BCF中，可得BF= = = ;在Rt△DEF中，可得EF= = . 在△BEF中，因?yàn)锽E+EF >BF，所以 + > .

從本題的解答中可以看出，在不等式的證明中，勾股定理為從“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化搭起了“友誼的橋梁”，體現(xiàn)了勾股定理的工具性與實(shí)用性. 反之，對(duì)于有些幾何問題，也可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理來(lái)解決，即用代數(shù)方法解決幾何問題.

案例2：勾股定理與拼圖問題

（1）2002年8月20日，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在首都北京隆重召開. 圖9所示的圖形就是這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成，且拼接起來(lái)就是一個(gè)大正方形. 假如已知這個(gè)大正方形的面積是13，而一個(gè)直角三角形兩條直角邊的和是5，那么你能計(jì)算出中間的小正方形的面積嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?/p>

（2）小麥同學(xué)手里有一張長(zhǎng)為6.5厘米、寬為2厘米的矩形紙片（如圖10），請(qǐng)你幫助小麥同學(xué)把這個(gè)矩形分割成6塊，且能拼合成一個(gè)正方形.

（要求：先在圖10中畫出分割線，再畫出拼成的正方形，并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)）

解析 ?（1）設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a與b，且a>b，那么小正方形的邊長(zhǎng)為a-b. 于是依題意有a+b=5①. 另一方面，根據(jù)勾股定理，得a2+b2=13②. ①2-②，得2ab=12. 所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1③.故小正方形的面積為1.

（2）所拼成的正方形的面積為6.5×2=13（平方厘米），故可按照?qǐng)D9進(jìn)行制作. 由③得a-b=1④. 將①④聯(lián)立成方程組，可以解得a=3，b=2. 根據(jù)題意，直角三角形較長(zhǎng)的直角邊只能在紙片6.5厘米的長(zhǎng)邊上截取，剪去四個(gè)直角三角形后，余下部分的面積為13- ×3×2×4=13-12=1（平方厘米），而這正好是中間那個(gè)小正方形的面積. 于是，得到如圖11的分割方法（拼合后的圖如圖12）.

說(shuō)明 ?這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中考命題中，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以研究，這樣不僅能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，還能為將來(lái)的中考復(fù)習(xí)打基礎(chǔ).

勾股定理，屬于我們，也屬于世界，需要我們代代傳承. 在勾股定理的教學(xué)中，我們不僅要關(guān)注勾股定理本身，更要重視它的文化價(jià)值、實(shí)用價(jià)值和創(chuàng)新價(jià)值，處處體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)之核心素養(yǎng)教學(xué)觀.