厲豐群

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).在評(píng)價(jià)建議中則指出：評(píng)價(jià)要注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和思想方法的把握，避免片面強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶、模仿以及復(fù)雜技巧.教師教給學(xué)生的解法好不好，不是看解法是否簡單，而應(yīng)該看該解法是否是本質(zhì)解法，是否具有普適性，即：適合絕大多數(shù)學(xué)生掌握，并能解決同類問題.

【關(guān)鍵詞】題根;基本不等式;絕對(duì)值函數(shù)

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》教學(xué)建議，筆者認(rèn)為，教學(xué)中若教師能夠遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重題根教學(xué)，不僅能使學(xué)生較好地學(xué)會(huì)做題、領(lǐng)悟解題，還能達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的效果.下面舉兩個(gè)題根教學(xué)的案例來說明.

題根1 已知正數(shù)a，b滿足ab=a+b，求a+b的最小值.

分析 這是一道很經(jīng)典的題目，大多數(shù)學(xué)生都能做出來，常見的有以下幾種做法.

解法1 利用基本不等式處理，ab=a+b≥2ab，得ab≥4.

解法2 由ab=a+b得1a+1b=1，利用“1”的代換求解.

解法3 多元問題消元轉(zhuǎn)化處理，f（a）=a+b=a+aa-1，轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理.

解法4 條件中同時(shí)有a+b和ab，聯(lián)想韋達(dá)定理，構(gòu)造方程求解.

如果解完題目就萬事大吉，就甚是可惜，應(yīng)靜下心來好好反思，回顧解題過程，挖掘試題背后有價(jià)值的東西.以上幾種做法中，解法1和解法2是通用通法，是適用性比較強(qiáng)的方法，若是我們能夠從中進(jìn)行合理變式，則能最大限度地滿足不同層次學(xué)生的需要.

變式1.1 （改變系數(shù)）已知正數(shù)a，b滿足a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

分析 由已知得1b+3a=5，∴3a+4b=15（3a+4b）·1b+3a=153ab+12ba+13≥5，當(dāng)a=1，b=12時(shí)取到最小值.

變式1.2 （構(gòu)造函數(shù)背景）已知函數(shù)f（x）=ax-1-2（a>0，a≠1）的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx-ny-1=0上，其中m>0，n>0，則1m+2n的最小值是.

分析 定點(diǎn)A（1，-1）代入直線得m+n=1，∴1m+2n=1m+2n（m+n）=nm+2mn+3≥22+3.當(dāng)m=2-1，n=2-2時(shí)取到最小值.

變式1.3 （構(gòu)造數(shù)列背景）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項(xiàng)am，an，使得am·an=2a1，則1m+4n的最小值為.

分析 由條件a7=a6+2a5得公比q=2，代入am·an=2a1，化簡可得2m-1·2n-1=2，∴2m+n-2=2，∴m+n=3，1m+4n=131m+4n（m+n）=13nm+4mn+5≥3，當(dāng)m=1，n=2時(shí)取到最小值.

變式1.4 （構(gòu)造直線背景）已知m，n為正整數(shù)，且直線2x+（n-1）y-2=0與直線mx+ny+3=0互相平行，則2m+n的最小值為.

分析 由直線平行關(guān)系可得2m=n-1n≠-23，化簡得m+2n=mn，即1n+2m=1，∴2m+n=（2m+n）·1n+2m=2mn+2nm+5≥9，當(dāng)m=n=3時(shí)取到最小值.

變式1.5 （構(gòu)造三角形背景）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

分析 由S△ABC=12acsin120°=12asin60°+12csin60°得：ac=a+c，即1a+1c=1，∴4a+c=（4a+c）·1a+1c=ca+4ac+5≥9，當(dāng)a=32，c=3時(shí)取到最小值.

題根2 已知函數(shù)f（x）=x-12（x∈[0，1]），求f（x）的最大值和最小值.

分析 此題為常見的絕對(duì)值函數(shù)，畫出圖像，結(jié)合自變量的范圍可求得f（x）max=f（0）=f（1）=12，f（x）min=f12=0.此類函數(shù)應(yīng)掌握其圖像“V”字形的特征，根據(jù)“V”的頂點(diǎn)位置和自變量區(qū)間范圍進(jìn)行討論.教師應(yīng)有意對(duì)問題進(jìn)行變式拓展，引導(dǎo)學(xué)生探究、認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)，在探究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的普適面;應(yīng)恰當(dāng)?shù)亍⒉宦逗圹E地幫助學(xué)生，順應(yīng)學(xué)生的“原生態(tài)”思路，對(duì)問題多角度思考，廣泛聯(lián)系，并進(jìn)行類比、拓展、延伸;應(yīng)有意給學(xué)生時(shí)間和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生嘗試、交流，提高解題能力.

變式2.1 已知函數(shù)f（x）=|2x-a|（x∈[0，1]），求f（x）的最大值.

分析 設(shè)t=2x，g（t）=|t-a|，t∈[0，2].其圖像“V”字形頂點(diǎn)處t=a.

當(dāng)a≤1時(shí)，g（t）max=g（2）=|2-a|=2-a;

當(dāng)a>1時(shí)，g（t）max=g（0）=|a|=a，

∴f（x）max=2-a，a≤1;a，a>1.

變式2.2 已知a∈R，函數(shù)f（x）=x+4x-a+a在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，求a的取值范圍.

分析 設(shè)t=x+4x，g（t）=|t-a|+a，t∈[4，5].其圖像“V”字形頂點(diǎn)為（a，a）.當(dāng)a≤92時(shí)，g（t）max=g（5）=|5-a|+a=5-a+a=5，符合題意;當(dāng)a>92時(shí)，g（t）max=g（4）=|4-a|+a=a-4+a=2a-4，由2a-4=5得a=92.綜上所述，a的取值范圍為a≤92.

變式2.3 已知a∈R，函數(shù)f（x）=|sinx+cosx-a|，對(duì)任意的x∈-π2，0，都有f（x）≤2a成立，求a的取值范圍.

分析 f（x）=|sinx+cosx-a|=2sin（x+π4）-a，設(shè)t=2sinx+π4，則g（t）=|t-a|，t∈[-1，1]，其圖像仍然為“V”字形.只需g（t）max≤2a成立.當(dāng)a≤0時(shí)，g（t）max=g（1）=|1-a|=1-a，由1-a≤2a得a≥13，不符合，舍去;當(dāng)a>0時(shí)，g（t）max=g（-1）=|-1-a|=1+a，由1+a≤2a得a≥1.綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

年年歲歲題相似，歲歲年年意相同，數(shù)學(xué)的教與學(xué)均要求我們學(xué)會(huì)總結(jié)，學(xué)會(huì)聯(lián)系，這就要求我們學(xué)會(huì)反思，探究題根，這樣才能把書從“厚”讀到“薄”，也才能讓數(shù)學(xué)的教與學(xué)漸入佳境，才能讓教師越教越新，學(xué)生越學(xué)越活.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]耿道永.中學(xué)數(shù)學(xué)“有效備課”的探索[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（9）：15-17.

[3]王弟成.自主中溝通聯(lián)系 轉(zhuǎn)化中實(shí)現(xiàn)目標(biāo)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（9）：42-45.