■程建軍

恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)高考題中的重要題型，通常要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，常常出現(xiàn)在壓軸題的位置。這類(lèi)試題處在中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯處，其知識(shí)點(diǎn)可以涵蓋函數(shù)的單調(diào)性與極值問(wèn)題、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、不等式的放縮、切線(xiàn)問(wèn)題等多方面的內(nèi)容，對(duì)同學(xué)們的思維能力要求比較高。因此，探索這類(lèi)問(wèn)題的解法有非常高的實(shí)用價(jià)值。

題目已知f(x)=[2xlnx+m(x2-1)](x-1)且f(x)≤0，(m∈R)，求m的取值范圍。

分析：應(yīng)注意到題中因式(x-1)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的調(diào)節(jié)器。令h(x)=2xlnx+m(x2-1)，易得，從而當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h(x)≥0?當(dāng)x≥1時(shí)，h(x)≤0。于是本題等價(jià)于“當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h(x)≥0，求m的取值范圍”。

解法一(分離變量法)：易知，當(dāng)x=1時(shí)，h(1)=0，故只需考慮0＜x＜1的情形。分離變量得，求導(dǎo)得，令x2=t，則，求導(dǎo)得。

點(diǎn)評(píng)：此解法屬于通法，需要二次求導(dǎo)和運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限，其中有一個(gè)代換簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧，對(duì)同學(xué)們的知識(shí)面和計(jì)算能力要求較高。

解法二(含參討論法)：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，可知m＜0。對(duì)h(x)求導(dǎo)可得h'(x)=2lnx+2+2mx，h″(x)=，從而當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，h″(x)＞0，故h'(x)在(0，1]上單調(diào)遞增。

故h(x)min=h(x0)=2x0lnx0+m-1)=-2x0(1+mx0)+=-2x0-，即，矛盾。

當(dāng)m≤-1時(shí)，h'(x)=2lnx+2+2mx≤2(x-1)+2+2mx=2x(m+1)≤0，因此h(x)在(0，1]上單調(diào)遞減，由于h(1)=0，故m≤-1即為所求。

點(diǎn)評(píng)：此解法也屬于通法之一，需求二階導(dǎo)數(shù)，涉及設(shè)而不求的思想及基本不等式的運(yùn)用，對(duì)同學(xué)們的思維能力和計(jì)算能力要求較高。

解法三(數(shù)形結(jié)合法，巧用柯西中值定理)：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h(x)=2xlnx+m(x2-1)≥0恒成立?當(dāng)0＜x≤1時(shí)，2xlnx≥-m(x2-1)恒成立(由于y=2xlnx在區(qū)間(0，1]上不單調(diào)，處理起來(lái)有些不方便，故繼續(xù)進(jìn)行下面的轉(zhuǎn)化)。

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，恒成立

?當(dāng)0＜x≤1時(shí)，s(x)=2lnx的圖像恒在上方

??x0∈(0，1)，t(x0)＜s(x0)＜0恒成立

??x0∈ (0，1)，?ξ∈(x0，1)，使得恒成立(柯西中值定理)

?m＜恒成立。

易得m≤-1。

點(diǎn)評(píng)：此解法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，其中用柯西中值定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化的部分完全是高等數(shù)學(xué)的范疇，當(dāng)屬高觀點(diǎn)下的高中數(shù)學(xué)題，自然不宜介紹給同學(xué)們。不過(guò)，這個(gè)方向的探索啟發(fā)了我們?nèi)ふ腋印帮@而易見(jiàn)”的數(shù)形結(jié)合的解法。

解法四(數(shù)形結(jié)合法)：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h(x)=2xlnx+m(x2-1)≥0恒成立

?當(dāng)0＜x≤1時(shí)，2xlnx≥-m(x2-1)恒成立

?當(dāng)0＜x≤1時(shí)，2lnx≥-m恒成立當(dāng)t∈(-∞，0)時(shí)，t≥恒成立

?當(dāng)t∈(-∞，0)時(shí)，y=t的圖像恒在的圖像上方(圖略)。

點(diǎn)評(píng)：本解法中的代換化曲為直是解題的要點(diǎn)，避免了上一解法中用柯西中值定理去轉(zhuǎn)化的“麻煩”，可以結(jié)合圖像直觀地“看”出結(jié)論。當(dāng)然的圖像實(shí)際上需要用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的凹凸性才可以得到，所以這種解法是否可以推薦給同學(xué)們需要大家一同探討。