沙國祥

數(shù)學(xué)作為一種文化，其基本問題或思想往往在很久前就有了萌芽，但當(dāng)時未必明了或引申其深遠(yuǎn)意義.一旦發(fā)掘出新的意義和價(jià)值，這些問題或思想便會大放異彩.

這樣的例子，歷史上并不鮮見哩！

我們先來瞧一瞧幾個與等比數(shù)列有關(guān)的“怪圖”，它們在數(shù)學(xué)史上曾被晾在一邊，現(xiàn)在卻因?yàn)槭欠中味暣笤?至于何為分形，它們?nèi)绾闻c等比數(shù)列牽起手來，現(xiàn)在暫且不表，讀完本文你自然知曉.

一是如今大名鼎鼎、風(fēng)光無限的康托爾集（不久前在網(wǎng)上看到一篇文章，方知它聲名遠(yuǎn)播至數(shù)學(xué)圈之外，有人用康托爾集研究股市呢）.100多年前，康托爾集初生之時，還不為當(dāng)時的“主流數(shù)學(xué)”所矚目，一如康托爾初創(chuàng)的集合論，尚未在數(shù)學(xué)中立穩(wěn)腳跟，更不談閃亮登場啦！那康托爾集究竟是啥模樣？

康托爾集也稱“康托爾三分集”，是由不斷挖去直線段中間的三分之一而創(chuàng)造出來的（如圖1所示）.

圖1

看起來康托爾集支離破碎，與一般的幾何圖形迥然不同，的確有點(diǎn)怪怪的.

再算一算：設(shè)原線段的長度為1，每挖一次剩下線段的長度之和是挖前線段長度之和的，這樣挖了n次后，剩下線段的長度之和是因而挖去的線段長度之和便是L（n）=1-

顯然，當(dāng)n趨向于無窮大時（記為n→∞），L（n）→1.也就是說，挖去的線段的長度的總和為1，即原線段的長度！

計(jì)算挖去的線段長度之和，還有一種方法，就是累計(jì)每次挖去的線段有多長：

……

因此，挖啊挖，共n次挖去的線段長度總和為

瞪大眼睛瞧一瞧，這是什么？

呵呵，這不就是等比數(shù)列（首項(xiàng)為1）的前n項(xiàng)求和公式嗎？

如果把此式右邊改寫一下，成為你就會看得一清二楚了.

可憐的康托爾集，被挖得七零八落、所剩無幾！但是，它居然還深深蘊(yùn)含著一個等比數(shù)列的求和公式呢！其實(shí)，康托爾集是個“寶山”，其中還藏著許多寶貝，以后再慢慢挖掘吧！舉一個例子：如果每次挖去的線段都是“無頭”的（可視為數(shù)軸上的開區(qū)間），那么，康托爾三分集中還剩下無窮多個點(diǎn)，可是這些點(diǎn)不成氣候，它們組成的康托爾集的長度（在數(shù)學(xué)上我們嚴(yán)格地稱之為“測度”）為0.

我們再看看有趣的“謝爾賓斯基碎片”——它在歷史上也曾被拋進(jìn)被人遺忘的角落.如圖2，它是由一個正三角形開始，每次不斷被挖去每個黑色三角形中間的一個小的正三角形而得，直至被挖得千瘡百孔，最后所得的圖形——“謝爾賓斯基碎片”，也是奇怪無比：面積為0，周長卻為無窮大！（面積每次減少四分之一，周長每次擴(kuò)大為原來的1.5倍，你只需看圖2中第1幅到第2幅圖就明白啦?。?/p>

圖2

類似于康托爾集，謝爾賓斯基碎片中隱含著等式：

一般地，有等比數(shù)列｛qn｝（q≠1）的求和公式：

（1-q）+q（1-q）+q2（1-q）+…+qn-1（1-q）=1-qn. ⑤

⑤式的證明不難，只要將其左邊展開即可：

1-q+q-q2+q2-q3+…+qn-1-qn=1-qn.

注意到了嗎？這里又出現(xiàn)了qn-1-qn=qn-1（1-q），或an+1-an=（q-1）an（這里an=qn-1）.

這就是歐幾里得證法??！

它穿越2000多年，現(xiàn)身于康托爾三分集、謝爾賓斯基碎片這樣的“分形”中.

何為“分形”？康托爾三分集、謝爾賓斯基碎片中的每個局部，都分別與整個圖形相似，這樣的圖形被稱為“分形”.分形的這種無窮自相似特性（比的不變性），與等比數(shù)列有著天然的密切聯(lián)系，也因此具有所謂“標(biāo)度對稱性”——在放大或縮小時某些量或性質(zhì)保持不變.（注：本期的封面就是分形幾何藝術(shù)哦?。?/p>

分形的研究約始于50年前，法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在一篇奇文《英國的海岸線有多長》中首次闡述了分形，現(xiàn)在分形幾何成為數(shù)學(xué)的熱門學(xué)科，并廣泛滲透到很多學(xué)科領(lǐng)域中去.于是，原先鮮為人知的“怪圖”，如康托爾集、謝爾賓斯基碎片，還有本期封底介紹的“雪花曲線”等，便見怪不怪，反而成為典型的分形幾何研究對象，從受人冷落之客，一躍而升為數(shù)學(xué)、科學(xué)殿堂的座上賓！

你說，這事兒怪不怪？