南京外國語學(xué)校 朱勝強

做一做

準(zhǔn)備一張圓形紙片，設(shè)其圓心為O.在圓O內(nèi)取不同于圓心的一點F，在圓周上任取一點N，將其與圓心O相連，得半徑ON.折疊圓形紙片，使點N與點F重合，將折痕與半徑ON的交點記作M.改變N的位置，重復(fù)以上過程，得到若干交點，觀察交點形成的曲線（如圖1），能說出它是什么曲線嗎？

圖1

猜一猜

從曲線的形狀看，像是橢圓.真的是橢圓嗎？注意到曲線內(nèi)有兩定點F，O，若M是曲線上的點，連結(jié)MF，不妨查看一下點M到兩定點F，O的距離之和是否為定值.

容易發(fā)現(xiàn)，無論M是曲線上何處的點，總有MN=MF，又因為NM+MO=ON（圓的半徑）.所以，MF+MO為定值.

想一想

事實上，這一折紙的過程建立了橢圓與圓之間的一種聯(lián)系.對于一個給定的圓，只要在圓內(nèi)確定了異于圓心的一點，即可按如上方法得到一個橢圓.圓心與圓內(nèi)取定的定點是該橢圓的兩焦點，圓的半徑是橢圓的長軸.反過來，如果已知一橢圓，則以該橢圓的一焦點為圓心，長軸為半徑便可得到一個圓，橢圓可看成是由此圓確定的（如圖1）.

橢圓與圓

依上述方法建立橢圓與圓聯(lián)系的依據(jù)，正是我們今天所熟知的橢圓的定義，即平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓.數(shù)學(xué)史上也將此定義稱為橢圓的焦半徑性質(zhì).不過，歷史上首次發(fā)現(xiàn)橢圓這一性質(zhì)的過程并不像折紙這樣輕松.

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（公元前3世紀(jì)）在歐幾里得《圓錐曲線》的基礎(chǔ)上，撰寫了一部劃時代的巨著——《圓錐曲線論》.在該書的第3卷，作者對圓錐曲線與切線相關(guān)的一些性質(zhì)進(jìn)行了研究，并花費了九牛二虎之力獲得了橢圓的焦半徑性質(zhì).后來的人們很想知道，阿波羅尼斯或者他以前的作者是否曾用過更簡單的方法來導(dǎo)出這個性質(zhì).無論如何，在現(xiàn)存的其他古希臘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，人們并沒有找到別的推導(dǎo)方法.

1822年，比利時數(shù)學(xué)家旦德林（1794～1847）在一篇論文中利用圓錐面的兩個內(nèi)切球，直接在圓錐面上導(dǎo)出橢圓的焦半徑性質(zhì)，給出了解決問題的一個奇妙無比的方法（如圖2）.

圖2

有了橢圓與圓間的這種聯(lián)系，橢圓的焦半徑性質(zhì)便可突破橢圓的束縛，這樣，我們在研究橢圓時就可有更廣闊的思路.

觀察圖1不難發(fā)現(xiàn)，折痕所確定的直線與橢圓只有一個公共點，也就是說，線段NF的垂直平分線與橢圓相切.

為此，設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，圓F2的半徑等于橢圓C的長軸.N是圓F2上任一點，線段NF1的垂直平分線為l，l與線段NF2的交點為M.易知點M在橢圓C上（如圖3）.

設(shè)T為l上異于M的一點，連結(jié)TF1，TF2，TN.則TF1+TF2=TN+TF2＞NF2（橢圓的長軸）.

所以，點T不在橢圓C上.即直線l與橢圓C有且僅有一個公共點.因此，直線l與橢圓相切.

圖3

借助這樣的關(guān)系，我們很容易過橢圓上一點作出橢圓的切線.

有了橢圓的切線，還可以很方便0地解釋橢圓的光學(xué)性質(zhì).

所謂橢圓的光學(xué)性質(zhì)是指：由橢圓一焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點（如圖4）.其等價形式為：橢圓上任意點的切線與兩焦半徑所成角相等.

圖4

從圖3中可以看出，MF1，MF2是橢圓C的兩條焦點徑，由對頂角關(guān)系及垂直平分線性質(zhì)可知，它們與直線l所成角相等.

橢圓的光學(xué)性質(zhì)在生產(chǎn)與科技方面有著廣泛應(yīng)用，如電影放映機的聚光燈泡，以及光能的換位聚焦等就是利用橢圓的這一性質(zhì).

通過折紙建立的橢圓與圓的聯(lián)系，使我們能夠從平面幾何的角度來運用橢圓的焦半徑性質(zhì)，拓展了研究問題的方法.不妨讓我們再看一下2019年高考江蘇省數(shù)學(xué)卷中的一道解析幾何題.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點E的坐標(biāo).

不難看出，圓F2與橢圓C之間的關(guān)系正是前面所提到的關(guān)系.

因為DA=DF1，F(xiàn)2A=F2B，所以△AF2B與△ADF1均是等腰三角形，所以∠ABF2=∠AF1D.因此，直線BF2∥DF1.如果再考慮到直線BF2與直線DF1關(guān)于原點對稱，而橢圓C也關(guān)于原點對稱，則可知點E，D關(guān)于原點對稱.因此，D的坐標(biāo)為），這樣E的坐標(biāo)也就幾乎可以直接看出來了.

圖5

如果利用（1）中已知求得2a=4，則DF2=4-DF1=4-.又F2的橫坐標(biāo)為已知.

數(shù)學(xué)中存在著十分廣泛的聯(lián)系，透過一次折紙讓我們看到了不同于課本的思考問題的方法.日常生活中，只要我們帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察，去思考，一定會有更多的發(fā)現(xiàn)與收獲.