邢 晏，馮長(zhǎng)煥

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637000)

灰色系統(tǒng)理論是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問(wèn)題的新方法，它以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本、貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，灰色系統(tǒng)是指白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)系統(tǒng)。［1－2］灰色系統(tǒng)理論將隨機(jī)過(guò)程看作在一定范圍內(nèi)變化且與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程，將一切隨機(jī)變量看作在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，采用灰色生成方法，將雜亂無(wú)章的原始數(shù)據(jù)整理成較強(qiáng)規(guī)律性的生成數(shù)列再作研究。［3－8］灰色預(yù)測(cè)理論作為灰色系統(tǒng)理論的重要部分，同時(shí)也是一種新的現(xiàn)代預(yù)測(cè)方法。［9］此方法具有預(yù)測(cè)精度高、所需原始信息少且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，是一種對(duì)含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，用生成模塊建立微分方程模型，通過(guò)少量的、離散的數(shù)據(jù)尋找規(guī)律，時(shí)效性較強(qiáng)，比較適合“少數(shù)據(jù)建?！保?0］。

近年來(lái)，普遍認(rèn)為GM系列模型預(yù)測(cè)比較接近實(shí)際，目前已廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科技等各大領(lǐng)域。然而，由于灰色理論體系本身還不夠完善，特別是GM(1，1)模型，作為灰色系統(tǒng)理論的核心，是基于解決實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生的，該模型僅適用于具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列，對(duì)于一些擺動(dòng)較大的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)誤差往往較大，模型檢驗(yàn)常常不能通過(guò)。由此，對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)預(yù)測(cè)模型通過(guò)殘差修正建立灰色殘差模型進(jìn)行優(yōu)化，提高模型經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)精度，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 GM(1，1)模型的建立與檢驗(yàn)

1．1 GM(1，1) 模型建立

設(shè)原始時(shí)間序列為X(0)，滿足X(0)=(X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n))，通過(guò)累加，即

生成新序列

GM(1，1)模型相應(yīng)的微分方程為

其中:a為發(fā)展系數(shù)，b為內(nèi)生控制系數(shù)。

求解微分方程，得GM(1，1)預(yù)測(cè)模型

1．2 GM(1，1) 模型的檢驗(yàn)

在GM(1，1)模型建立之后，一般要通過(guò)模型檢驗(yàn)，檢驗(yàn)包括殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)及后驗(yàn)差檢驗(yàn)等過(guò)程。

1．2．1 殘差檢驗(yàn)

由預(yù)測(cè)模型得到 X∧(1)(i) ，將其通過(guò)累減，即 X∧(1)(i)=X∧(0)(i) － X∧(0)(i － 1) 得到 X∧(0)(i) ，從而求出X(0)(i)與X∧(0)(i)的誤差序列:

1．2．2 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

首先，根據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義算出X∧(0)(i)序列與X(0)(i)序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)。

定義1 關(guān)聯(lián)系數(shù)η(i)為

其中:

(1)令 Δ(0)(i)= X∧(0)(i) － X(0)(i)為第i個(gè)點(diǎn)X(0)與X∧(0)的絕對(duì)誤差。

(2)minΔ(0)(i)為第一級(jí)最小差，minminΔ(0)(i)為第二級(jí)最小差。同理，maxΔ(0)(i)為第一級(jí)最大差，maxmaxΔ(0)(i)為第二級(jí)最大差。

(3)分辨率 ρ∈ (0，1) ，通常取 ρ=0．5。

從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，取ρ=0．5，當(dāng)r＞0．6時(shí)達(dá)到滿意程度。

1．2．3 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

(4)計(jì)算小誤差概率P=p{Δ(0)(i)－Δ－(0)＜ 0．674 5S1} 。

若令li= Δ(0)(i)－Δ－(0)，S0=0．674 5S1，則 P=p{li＜ S0} ，預(yù)測(cè)精度等級(jí)［11］見(jiàn)表 1。

表1 預(yù)測(cè)精度等級(jí)

若殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)及后驗(yàn)差檢驗(yàn)均能合格，則可以用GM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。否則，說(shuō)明GM(1，1)模型檢驗(yàn)不合格或精度不理想。為此，可對(duì)GM(1，1)模型進(jìn)行殘差修正，從而提高預(yù)測(cè)精度。

2 GM(1，1)殘差模型修正

由原始序列X(0)建立的GM(1，1)模型

X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)} ，得到預(yù)測(cè)序列

定義殘差l(0)(j)=X(1)(j)－X∧(1)(j)，則與X(1)及X∧(1)對(duì)應(yīng)的殘差序列為

建立l(1)相應(yīng)的GM(1，1)模型

由此，得到經(jīng)過(guò)殘差修正的GM(1，1)原始序列預(yù)測(cè)模型

3 實(shí)證分析

表2為我國(guó)2012—2018年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP總量資料?，F(xiàn)根據(jù)資料建立GM(1，1)預(yù)測(cè)模型，分析今后短期發(fā)展趨勢(shì)，可為相關(guān)政策的制定提供一定的參考。

表2 我國(guó)2012—2018年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP總量情況(單位:萬(wàn)億元)

3．1 模型建立

首先，令原始序列為

則累加生成序列

故 a=－ 0．083 863 06，b=51．837 434 9。

從而GM(1，1)預(yù)測(cè)模型微分方程為

3．2 模型檢驗(yàn)

由原始序列平均值X－(0)=73．330，計(jì)算原始序列標(biāo)準(zhǔn)差為

并有

所有ek都小于S0，故P=1，C ＜ 0．35，后驗(yàn)差檢驗(yàn)通過(guò)。

由GM(1，1)預(yù)測(cè)模型可知

可見(jiàn)，相對(duì)誤差序列中有的相對(duì)誤差較大，殘差檢驗(yàn)不通過(guò)。

對(duì)于關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，min Δ(k)}{ =0，max Δ(k)}{ =0．72。

由于只有兩個(gè)序列，故不再找第二級(jí)最差

可見(jiàn)，利用通常GM(1，1)模型檢驗(yàn)不過(guò)關(guān)，下面進(jìn)行模型殘差修正。

3．3 模型殘差修正

對(duì)上式求導(dǎo)，［∧l(1)(k+1)］'=0．536 7e0．0269k，得到經(jīng)過(guò)殘差修正后的 GM(1，1) 預(yù)測(cè)模型∧X(1)(k+1)=672．160 003e0．08386306k－ 618．120 003+ λ(k － 1)0．536 7e0．0269(k－1)。

修正后，模型精度有較大提高，見(jiàn)表3。

綜上可得，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP總量預(yù)測(cè)值2021年為X(1)(10)－X(1)(9)=115．03萬(wàn)億元。同理，2020年為105．78萬(wàn)億元，2019年預(yù)測(cè)值為97．27萬(wàn)億元。

可見(jiàn)，灰色殘差修正的GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度較高，能夠作為一種有效工具進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表3 GM(1，1)預(yù)測(cè)模型修正前、后的殘差比較

用經(jīng)過(guò)殘差修正后的GM(1，1)模型來(lái)預(yù)測(cè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP總量:

當(dāng) k=7時(shí)，X(1)(8)=591．50(萬(wàn)億元);

當(dāng) k=8時(shí)，X(1)(9)=697．28(萬(wàn)億元);

當(dāng) k=9 時(shí)，X(1)(10)=812．31(萬(wàn)億元)。

4 結(jié)論

普通灰色GM(1，1)模型僅描述服從指數(shù)變化的過(guò)程，預(yù)測(cè)精度較低，當(dāng)檢驗(yàn)不能通過(guò)可對(duì)灰色預(yù)測(cè)值進(jìn)行殘差修正，通過(guò)灰色殘差模型預(yù)測(cè)精度明顯提高，從而較好滿足我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP總量的預(yù)測(cè)需要，為宏觀經(jīng)濟(jì)政策的制定提供一定參考。由于灰色預(yù)測(cè)模型具有“小樣本、貧信息”特點(diǎn)，只適合于短期預(yù)測(cè)。在實(shí)際運(yùn)用中，要注意把握建模的時(shí)間序列參考元素，構(gòu)造動(dòng)態(tài)的灰色GM(1，1)殘差模型，更好地提高模型的適用性與精確性。此外，由于數(shù)據(jù)選取、數(shù)據(jù)處理、修正對(duì)象和修正方法等因素不同，所建立殘差模型的復(fù)雜程度、預(yù)測(cè)精度也有一定差別，而采用殘差直接建模一次還原的算法，都具有復(fù)雜程度低、預(yù)測(cè)誤差小等優(yōu)點(diǎn)。