潘營利

(渭南師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南714099)

0 引言

多普勒效應(yīng)是一個非常重要的物理現(xiàn)象，在實際當(dāng)中有許多重要的應(yīng)用，因此在物理學(xué)教材［1－3］中，都要研究這一重要的物理現(xiàn)象。但教材中研究的都是低速情況下的多普勒效應(yīng)，沒有考慮其相對論效應(yīng)。高炳坤、王鳳林［4］給出了相對論性多普勒效應(yīng)的簡易推導(dǎo);彭學(xué)杰［5］指出光波多普勒效應(yīng)實際上是聲波多普勒效應(yīng)下的光學(xué)極限，光波多普勒效應(yīng)只是波源和觀察者相對速度的函數(shù)，表明光在真空中傳播時媒介物是多余的;黃興濱［6］給出了一個推導(dǎo)長度收縮和縱向多普勒效應(yīng)的新方法，該方法可更直觀理解在兩個慣性系中觀測一個縱向光波的波長與觀測沿縱向靜止于某個系中桿的長度的本質(zhì)區(qū)別;Nizar Hamdan［7］從洛倫茲力和相對論出發(fā)推導(dǎo)了相對論性多普勒效應(yīng)公式，給出了關(guān)系式:c=λf=λ0f0。

以上這些研究方法要么比較煩瑣，要么不夠全面，本文給出了推導(dǎo)相對論性多普勒效應(yīng)的一種簡單方法，同時從光子圖像和相對論的四維協(xié)變量出發(fā)推導(dǎo)出相對論性多普勒效應(yīng)公式。結(jié)果表明，在研究相對論性多普勒效應(yīng)時，光子觀點和波動觀點可以給出完全相同的結(jié)果，從而進一步證實了光的波粒二象性。

1 非相對論性多普勒效應(yīng)

1．1 波源靜止而觀察者運動

先分析靜止點波源的振動在均勻各向同性介質(zhì)中傳播的情況，如圖1所示，O點表示點波源，同心圓表示波面，圖中任意波面上波點的相位與相鄰?fù)膱A上各點的相位差都是2π，所以兩相鄰?fù)膱A半徑之差是波長λ0。設(shè)波相對于靜止介質(zhì)以波速v0傳播，以f0表示波源振動的頻率，則波長λ0、波速v0和頻率f0之間的關(guān)系為

圖1 波源靜止而觀測者運動時的多普勒效應(yīng)

觀察者觀測到的波速v與觀測到的波長λ之比稱為觀測頻率，記作f，即

顯然，若波源和觀察者都相對于介質(zhì)靜止，則f=f0。

如果觀察者相對于介質(zhì)以速率度u朝波源O運動。由于經(jīng)典力學(xué)不考慮相對論效應(yīng)，即從不同參考系測量同一物體的長度是相同的，所以，盡管觀察者以u運動，他測量上述球面波的波長λ仍等于λ0，但是觀察者相對介質(zhì)以速率u朝波源運動，所以他觀測到的波速應(yīng)為v0+u。觀測頻率f應(yīng)為

同理，若觀察者以速度u遠離波源運動，則有

1．2 觀察者靜止而波源運動

假定點波源的振動在均勻各向同性介質(zhì)中傳播，如圖2所示，設(shè)t=0時點波源在O點靜止不動，波在介質(zhì)中的傳播速度為v0，一個周期T后波傳到S處，其波長為λ0=v0T，波的頻率為

現(xiàn)假定波源以速度v向觀察者運動，這樣一個周期后波源運動到O'點，但波仍然傳到S點，由于觀察者相對于介質(zhì)靜止不動，波的傳播速度仍然是v0，但波長變?yōu)棣?，由圖2知

所以

可見頻率變大了，對于聲波，相當(dāng)于聲調(diào)變高。

如果波源以速度v遠離觀察者運動，同理可得

1．3 觀察者和波源在同一直線上同時運動

現(xiàn)假定波源相對于介質(zhì)以速度v向觀察者運動，觀察者相對于介質(zhì)以速度u向波源運動，此時波速為v0+u，而波長為λ=v0T－vT，故觀察者觀測到的波的頻率為

2 相對論性多普勒效應(yīng)公式的推證

圖2 波源運動時的多普勒效應(yīng)

圖3 光源以速度v向著觀察者運動

化簡，得

其中:f是在觀察者靜止的坐標(biāo)系中的頻率，而v是光源和觀察者的相對速度。式(5)中沒有涉及相對于媒質(zhì)的運動，可以看出相對論性結(jié)果不支持兩個經(jīng)典結(jié)果中的任何一個，它和二者都不相符。

3 觀察者不在運動方向上的多普勒效應(yīng)

下面研究觀察者不在運動方向上的相對論性多普勒效應(yīng)。光源靜止時，發(fā)射光的頻率為f0，周期為T0，如圖4所示。當(dāng)光源以速度v運動時，其發(fā)射光的頻率為f，周期為T，如圖5所示。

圖4 相對于觀察者靜止的光源的發(fā)光情況

圖5 光源以速度v沿水平方向運動

由圖5可知 λ =cT－vT cosθ=(c－v cosθ)T，

其中:θ是在觀察者靜止的坐標(biāo)系中測得的角度。若觀察者在運動方向上，則θ=0，結(jié)果與式(5)相同;當(dāng)這個“橫向”多普勒效應(yīng)是由于時間膨脹所引起的。

4 多普勒效應(yīng)的光子圖像

多普勒效應(yīng)不僅可以從波動觀點研究，也可從光子觀點進行研究?？紤]一個靜止質(zhì)量為M0的重原子，它處于穩(wěn)定態(tài)。如果它發(fā)射一個能量為hf0的光子，則它的靜止質(zhì)量由M'0c2=M0c2－h(huán)f0給定。

現(xiàn)假設(shè)原子在發(fā)射光子之前以速度v自由運動，如圖6所示，原子的能量為。在發(fā)射一能量為hf的光子后，原子的速度為u，靜止質(zhì)量為M″0，能量為E'，動量為P'。

圖6 運動原子發(fā)射光子

為簡單，假定光子是沿運動方向發(fā)射的，由能量和動量守恒定律得

按照能量－動量關(guān)系得

將左邊展開，并采用E2－(Pc)2=(M0c2)2，考慮到是重原子，令M'0≈M″0，則得

將其化簡后得

結(jié)果與式(5)相同。可見用光的兩種完全不同的觀點(波動觀點和粒子觀點)對多普勒效應(yīng)描述的結(jié)果相同。

5 四維協(xié)變量與多普勒效應(yīng)

下面從相對論的四維協(xié)變量出發(fā)，推導(dǎo)相對論性多普勒效應(yīng)公式。

設(shè)想有一x'y'坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系以速度v相對于xy系在x方向運動，如圖8所示，在x'y'系中，動量－能量四維協(xié)變量為

圖7 在靜止坐標(biāo)系觀察光子的頻率為f

圖8 在運動坐標(biāo)系觀察光子的頻率為f0

由相對論知，一個四維協(xié)變量 Aμ=(A1，A2，A3，A4)的變換法則為

整理得

結(jié)果與式(6)相同。

6 結(jié)論

本文通過研究得出以下結(jié)論:

(1)給出了推導(dǎo)相對論性多普勒效應(yīng)公式的一種簡便方法;

(2)從光子圖像出發(fā)，推導(dǎo)出了相對論性多普勒效應(yīng)公式;

(3)從相對論的四維協(xié)變量出發(fā)，推導(dǎo)出了相對論性多普勒效應(yīng)公式;

(4)研究結(jié)果表明，在研究相對論性多普勒效應(yīng)時，光子觀點和波動觀點可以給出相同的結(jié)果，從而進一步證實了光的波粒二象性。