常學武,韓麗

(山西大學 數(shù)學科學學院,山西 太原 030006)

0 引言

在有限群的表示論中,研究正規(guī)子群與群本身的特征標之間的相互影響和確定關系,即通常的Clifford理論,具有重要的意義和廣泛應用。在Clifford理論中,核心概念是所謂的特征標三元組T=(G,N,θ),其中G是一個有限群,N?G為G的正規(guī)子群，θ∈Irr(N)為N的一個不可約復特征標且為G-不變的。關于特征標三元組的研究可以參考[1-5]。

關于特征標三元組的研究,目前已經取得了豐富的內容和成果。特別是為了證明M-群的若干著名猜想以及處理特征標對應理論中相關的重要問題,Dade在系列論文[6-8]中創(chuàng)立了特征標三元組的穩(wěn)定子極限理論,并深入考察了極限情形下的不變量。Isaacs在[9]中借助特征標三元組的誘導子和擬本原等概念,給出了Dade一個主要定理的簡化證明。此外,Loukaki在其博士論文[10]中研究了一種新型的穩(wěn)定子極限,即所謂的線性極限,并與Dade合作在[11]中對線性極限做了系統(tǒng)的探討,特別是引入了特征標三元組之間的覆蓋關系。Lewis在[12]中給出的Loukaki定理的簡化證明以及Loukaki本人在[13]中證明的若干定理,均使用了特征標三元組的線性極限所提供的圖表約化技術。我們在[14]中也使用特征標三元組的線性極限證明了關于M-群的幾個結果。而特征標五元組的線性極限也得到了相應的研究[15]。

事實上,即使從范疇的觀點看,特征標三元組亦可視為基本的研究對象,值得展開系統(tǒng)的研究。特別地,為了更好地發(fā)揮其特有的技術功效,需要深入地考察其各種子對象的基本聯(lián)系。從文獻中所使用的圖表證明技術看,一個特征標三元組至少有三個極為重要的子對象,即Dade命名的誘導子,限制子和覆蓋子,均需要做更多的探討,它們在很多特征標定理的證明中發(fā)揮了重要作用。我們在此先給出相關定義。

固定一個特征標三元組T=(G,N,θ),如果R=(H,M,φ)也是一個特征標三元組(按定義即M?H且φ∈Irr(M)是H-不變的),使得G=NH,M=N∩H,并且φ在θ下方,即φ是θM的一個不可約分量,則稱R為T的一個子三元組,記為R≤T，如圖1所示。

Fig.1 Character subtriple

圖1 子三元組

進而,如果還有φN=θ,則稱R為T的一個誘導子;如果φ=θM,則稱R為T的一個限制子;如果Z(θ)H=G,則稱R為T的一個覆蓋子。以下將看出覆蓋子其實是一種特殊的限制子,見本文引理2。

在特征標三元組的研究中,一個基礎的問題是探討任意兩個擬本原的誘導子,何時具有相同的次數(shù)或同構的截面,在此所使用的主要技術是考察特征標三元組的誘導子與其限制子之間存在的特征標對應。方便起見,我們記Ind(T)為特征標三元組T的所有誘導子的集合,本文將重點研究特征標三元組的誘導子集合與其限制子的誘導子集合之間的對應關系,其理論意義和重要性在于提供一種更強的范疇觀點和圖表約化技術,可用來簡化和改進已有的相關重要定理。

定理A設T為特征標三元組,R為T的一個限制子,則可構造一個映射,

保持誘導子的指數(shù)不變,即|T:T′|=|R:R′|.

我們稱上述映射f為從三元組T到其限制子R的誘導子映射。關于f的構造定義,以及相關的術語和符號,見本文定理1。下述結果見本文定理2,描述了誘導子映射的像,推廣了[16]中的主要定理。

定理B設T=(G,N,θ)為特征標三元組,R=(H,M,φ)為T的一個限制子。如果R′=(H′,M′,φ′)為R的一個誘導子,使得(M′,φ′)為N的一個誘導源,則T存在一個誘導子Τ′=(G′,N′,θ′),使得R′為其一個限制子,即f(T′)=R′.

使用覆蓋子的概念,可給出誘導子映射恰為雙射的條件,見本文定理3。

定理C設T為特征標三元組,如果R為T的一個覆蓋子,則誘導子映射f:Ind(T)→Ind(R)為雙射，并且任意誘導子T′∈Ind(T)的像R′=f(T′)∈Ind(R)也是T′的一個覆蓋子。

在本文最后,還探討了誘導子映射所保持的若干基本性質,如本原性,擬本原性,冪零性等,見本文定理4。此外,本文使用的群論和特征標符號參考[17],特別指出的是,按照[11]中的記法,將用G′表示另外一個群而不是通常表示的導群[G,G]。

1 預備知識

本節(jié)給出所需的群論和特征標理論中的若干基本概念和結果。

首先引入一個技術性概念,即所謂的特征標對。考慮有限群G,稱(H,θ)為G的一個特征標對,如果H為G的子群而θ∈Irr(H)。我們在G的所有特征標對構成的集合上,如此定義一個偏序關系:即(H,θ)≤(K,φ)當且僅當H≤K并且θ是φH的一個不可約分量。根據Frobenius互反律,亦等價于說φ是θK的一個不可約分量。在此情形下,稱θ在φ的下方,而稱φ在θ的上方。任取g∈G,令(H,θ)g=(Hg,θg),其中θg(hg)=θ(h),對任意h∈H，稱(H,θ)g為(H,θ)的一個共軛。不難看出G按共軛方式作用在其所有特征標對的集合上,我們記

Gθ={g∈G|(H,θ)g=(H,θ)} ，

稱為(H,θ)在G中的穩(wěn)定子。顯然Gθ≤NG(H),并且Gθ即為θ在NG(H)中通常的慣性群。

固定一個特征標三元組T=(G,N,θ),即N?G,并且θ∈Irr(N)是G-不變的,我們引入若干相關的概念和符號。

·T的截面,定義為N/Z(T),記為Sec(T)。

·T的冪零性,如果T的截面Sec(T)是冪零群,則稱T為冪零的。

·T的擬本原性,如果對任意M≤N,M?G,則θM為齊次的特征標,即θM=eφ,其中e為正整數(shù),而φ∈Irr(M),則稱T是擬本原的。

·T的本原性,如果T沒有真誘導子,即不存在誘導子Τ′=(G′,N′,θ′)使得G′

關于特征標三元組的限制子和誘導子,需要下述兩個基本結論,分別稱之為限制對應和誘導對應,證明可見[18]中的引理2.11。

下述群論結果是初等的,完備起見,給出一個證明。

引理3如果G為類大于2的冪零群,則G存在一個非中心的交換特征子群。

證明設G的冪零類為r,考慮G的下中心列,其中Gi=[G,…,G]共i個G做換位子:

G≥G′≥G2≥…≥Gr≥Gr+1=1 .

因為r≥3,故2(r-1)≥r+1,所以[Gr-1,Gr-1]≤G2(r-1)≤Gr+1=1,表明Gr-1為G的一個交換特征子群。注意到[Gr-1,G]=Gr≠1,故Gr-1不在G的中心里,即為所求的非中心交換特征標子群。

下述為冪零的擬本原特征標三元組的一個重要性質。

引理4令T=(G,N,θ)為擬本原的特征標三元組,如果N/Z(θ)是冪零群,則N/Z(θ)為交換群。

證明因為θ是G-不變的,故Kerθ為G的正規(guī)子群。顯然所給條件和所證結論可以在商群G/Kerθ中考慮,不失一般性,可設Kerθ=1。此時Z(θ)=Z(N),故N本身即為冪零群。任取A是N的一個交換特征子群,則A?G。又因為T為擬本原的,故θA=eα為齊次的,其中e為正整數(shù),而α∈Irr(A)。但Kerα=A∩Kerθ=1,即α為A的一個忠實的線性特征標。顯然θ的G-不變性推出α亦如此,所以αg(a)=α(a),對任意g∈G和a∈A均成立,據此可知α(gag-1a-1)=1,再從α的忠實性推出gag-1a-1=1,亦即ga=ag,表明A≤Z(G)。應用上述引理,則N的冪零類不能大于2,該結論等價于說N/Z(N)為交換群。

在本節(jié)最后,還需要Dade在[6]中引入的誘導源概念。設(A,α)為G的一個特征標對,令Gα={g∈G|(A,α)g=(A,α)}為(A,α)在G中的穩(wěn)定子,如果特征標的誘導

為雙射,則稱(A,α)為G的一個誘導源。群G-的所有誘導源的集合記為IS(G)，稱上述ξ為ξG的一個誘導源對應。不難看出,當A?G時,則Clifford對應即為一個誘導源對應,從而(A,α)總是G的一個誘導源,由此表明誘導源和誘導源對應分別是正規(guī)子群和Clifford對應的一個自然和直接的推廣。

2 主要結果

類似子群的指數(shù),需要引入子三元組的相應概念。設T=(G,N,θ)為一個特征標三元組,如果Τ′=(G′,N′,θ′)為T的一個子三元組,我們記|T:T′|=|N:N′|,稱為T′在T中的指數(shù)。

在引言中提及的誘導子映射,其構造定義如下所述。

進而,該映射保持誘導子的指數(shù)不變,即|T:T′|=|R:R′|.

Fig.2 Inductor and restrictor圖2 誘導子和限制子

驗證N′∩H′=M′且N′H′=G′。事實上,按定義有

N′∩H′=N′∩(H∩G′)=N′∩H=(N′∩N)∩H=N′∩M=M′ .

此外,從G=NH=N′MH=N′H即可推出N′H′=N′(H∩G′)=(N′H)∩G′=G∩G′=G′.

最后驗證R′為R的一個誘導子,我們先證明M∩H′=M′且MH′=H。事實上,按定義M∩H′=M∩(H∩G′)=M∩G′=(M∩N′)∩G′=M′∩G′=M′。進而,使用上述所證結論N′H′=G′，我們有

MH′=(N∩H)H′=(NH′)∩H=(NN′H′)∩H=(NG′)∩H=G∩H=H.

因為上述已證(φ′)M=φ,據此即證R′為R的誘導子。進而|T:T′|=|N:N′|=|M:M′|=|R:R′| .

上述結論產生了特征標三元組的一個所謂的Mackey四邊形,見圖3。

Fig.3 Mackey quadrangle

圖3 Mackey四邊形

在實際應用中,經常需要描述該映射的像,即判別R的一個誘導子R′，何時可作為T的一個誘導子T′的限制子,亦即R′=f(T′)。在文獻[16]中,曾給出了一個充分條件,即R′=(H′,M′,φ′)中的子群M′在N中正規(guī)(等價于M′?G)。使用誘導源的概念,可將正規(guī)條件進一步減弱,故給出該文主要結果的一個推廣。

定理2設T=(G,N,θ)為特征標三元組,R=(H,M,φ)為T的一個限制子。如果R′=(H′,M′,φ′)為R的誘導子,使得(M′,φ′)為N的一個誘導源,則T存在一個誘導子T′=(G′,N′,θ′),使得R′為其一個限制子。

驗證T′為T的一個誘導子。因為上述已證θ′到N的誘導為θ,故T′為T的一個誘導子當且僅當NG′=G且N∩G′=N′。事實上,按定義有N∩G′=N∩G(φ′)=N(φ′)=N′。已知R為T的限制子,我們有G=NH。又R′為R的誘導子,又有H=MH′,所以G=NH=(MN′)(MH′)=N′H。顯然H′固定φ′,即H′≤G′,至此有

NG′=(MN′)G′≥N′MH′≥N′H=G，

迫使NG′=G,至此即證T′為T的一個誘導子。

最后驗證R′為T′的一個限制子。因為上述已證θ′到M′的限制為φ′,故只需驗證N′∩H′=M′和N′H′=G′。注意到H′固定φ′,我們有

N′∩H′=N(φ′)∩H′=N∩H′=N∩(H′∩H)=(N∩H)∩H′=M∩H′=M′ .

因為H′正規(guī)化N?G,故H′也正規(guī)化N′=N(φ′),所以N′H′為G的子群,并且包含在G′=G(φ′)中。令X=N′H′,使用模律,可知

X∩N=(N′H′)∩N=N′(H′∩N)=N′(H′∩H∩N)=N′(M∩H′)=N′M′=N′ .

同理,應用上述已證等式G=N′H,有

XN=(MN′)(N′H′)=N′(MH′)=N′H=G.

據此可知|X:N′|=|G:N|=|G′:N′|,即|X|=|G′|,但X≤G′,只有G′=X=N′H′,即證R′為T′的一個限制子。

如果T的限制子R為一個覆蓋子,則所述誘導子映射恰為雙射,在應用時非常便利。

定理3 設T=(G,N,θ)為特征標三元組,如果R=(H,M,φ)為T的一個覆蓋子,則誘導子映射f:Ind(T)→Ind(R)為雙射,并且任意誘導子T′∈Ind(T)的像R′=f(T′)∈Ind(R)也是T′的一個覆蓋子。

Z(θ)∩H=Z(θ)∩N∩H=Z(θ)∩M=Z(θM)=Z(φ) ,

Fig.4 Restriction correspondence

圖4 限制對應

最后驗證R′也是T′的一個覆蓋子。事實上,根據覆蓋子的定義,我們有Z(θ)H=G。因為(θ′)N=θ，不難證明Z(θ)≤Z(θ′)。使用模律,我們有

G′=G′∩G=G′∩(Z(θ)H)=Z(θ)(G′∩H)=Z(θ)H′≤Z(θ′)H′≤G′ ，

只有G′=Z(θ′)H′,表明R′也是T′的一個覆蓋子。

下面探討誘導子映射所保持的若干基本性質。

定理4設R=(H,M,φ)為特征標三元組T=(G,N,θ)的一個限制子,f:Ind(T)→Ind(R)為相應的誘導子映射,任取T的一個誘導子T′=(G′,N′,θ′),設R′=f(T′)=(H′,M′,φ′),則下述結論成立:

(1)如果R′是本原的,則T′也是本原的。

(2)如果T′是冪零的,則R′也是冪零的。

(3)如果R′既是冪零的又是擬本原的,則T′為擬本原的。

(4)如果T′既是冪零的又是擬本原的,則R′為擬本原的。

證明(1)因為T′的誘導子顯然也是T的誘導子,即Ind(T′)?Ind(T),而T′的誘導子對應R′=f(T′)又是T′的一個限制子,故誘導子映射f的限制f′:Ind(T′)→Ind(R′)仍為誘導子映射。因此,如果T″為T′的一個誘導子,則R″=f′(T″)也是R′的誘導子,但已知R′本原,故R″=R′,再根據誘導子映射保持指數(shù)的性質,我們有|T′:T″|=|R′:R″|=1,表明T′=T″,即T′也是本原的。

(3)根據Isaacs的一個定理,見[9]中推論2.4(b),從R′既是冪零的又是擬本原的,可知R′必然是本原的。再從結論(1)推出T′也是本原的,從而更是擬本原的。

(4)因為R′為T′的限制子,簡單計,可用R和T分別替代R′和T′證明所述結論。為證R的擬本原性,按定義,任取(A,α)≤(M,φ),其中A?H,我們只需證α為H-不變的。事實上,從T的冪零性和擬本原性,可知N/Z(θ)為交換群,故Z(θ)A?N,表明θ在Z(θ)A上的限制是齊次的,從而在A上的限制也是齊次的。但φA包含不可約分量α,故α在θ的下方,只有θA=eα,對某個正整數(shù)e。又因為θ為G-不變的,更是H-不變的,據此推出α也是H-不變的。