彭 程，冉仕舉

(1 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 北京 100049； 2 西班牙光子科學(xué)研究所， 卡斯特利德費(fèi)爾斯 08860)(2018年5月16日收稿； 2018年5月28日收修改稿)

在一維量子多體系統(tǒng)中，量子相變點(diǎn)附近的臨界行為可以由糾纏熵關(guān)于系統(tǒng)尺寸或關(guān)于矩陣乘積態(tài)中截?cái)嗑S數(shù)的標(biāo)度理論來(lái)刻畫(huà)。基于(1+1)維共形場(chǎng)論，刻畫(huà)一維量子臨界性的糾纏熵標(biāo)度理論已經(jīng)被相對(duì)完整地建立起來(lái)[1-11]，但是在二維量子多體系統(tǒng)中，由于(2+1)維共形場(chǎng)的不穩(wěn)定性，無(wú)法直接將現(xiàn)有的一維標(biāo)度理論直接推廣到二維量子系統(tǒng)。目前常用于刻畫(huà)二維量子系統(tǒng)臨界性的方法，例如，尋找基態(tài)長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)或分析低溫下的熱力學(xué)性質(zhì)，從數(shù)值計(jì)算角度來(lái)講都對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算復(fù)雜度提出了很高的要求。并且相對(duì)于一維而言，如何通過(guò)糾纏熵關(guān)于二維量子系統(tǒng)中投影糾纏對(duì)態(tài)截?cái)嗑S數(shù)的標(biāo)度行為來(lái)刻畫(huà)二維量子系統(tǒng)的臨界性目前還不完全清楚[12]。因此，有必要發(fā)展二維量子臨界系統(tǒng)的標(biāo)度理論。

最近，針對(duì)一維無(wú)窮長(zhǎng)鏈上的平移不變量子系統(tǒng)中的基態(tài)問(wèn)題所提出的時(shí)間矩陣乘積態(tài)，可以有效地反映系統(tǒng)基態(tài)的物理性質(zhì)，特別是刻畫(huà)臨界系統(tǒng)中關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散和糾纏熵發(fā)散的行為，以及給出臨界系統(tǒng)的中心荷。時(shí)間矩陣乘積態(tài)被定義在二維張量網(wǎng)絡(luò)中的實(shí)(虛)時(shí)間演化方向，它是一維的連續(xù)矩陣乘積態(tài)[13]。發(fā)展關(guān)于時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵標(biāo)度理論對(duì)刻畫(huà)臨界系統(tǒng)的性質(zhì)十分有幫助。

在這個(gè)工作中，我們利用數(shù)值重整化群方法，將時(shí)間矩陣乘積態(tài)推廣到二維量子系統(tǒng)，并用于刻畫(huà)二維量子系統(tǒng)在量子相變點(diǎn)附近的臨界性。無(wú)論所描述的系統(tǒng)是一維還是二維量子系統(tǒng)，時(shí)間矩陣乘積態(tài)始終是一維量子態(tài)，因此可以通過(guò)時(shí)間矩陣乘積態(tài)結(jié)合一維量子臨界系統(tǒng)的糾纏熵標(biāo)度理論描述高維量子臨界系統(tǒng)的性質(zhì)。我們還建立了時(shí)間矩陣乘積態(tài)所刻畫(huà)的臨界系統(tǒng)糾纏熵和動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度與空間方向的矩陣乘積態(tài)所描述的糾纏熵和空間關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度之間的等價(jià)性。

我們分別在蜂窩狀六角格子和kagome格子上的自旋1/2海森堡反鐵磁模型中利用時(shí)間矩陣乘積態(tài)研究臨界點(diǎn)附近的標(biāo)度行為，發(fā)現(xiàn)二維量子臨界系統(tǒng)中的時(shí)間矩陣乘積態(tài)反映出與一維量子臨界系統(tǒng)中的矩陣乘積態(tài)類(lèi)似的糾纏熵對(duì)數(shù)發(fā)散型標(biāo)度律。

1 從數(shù)值重整化群流到時(shí)間矩陣乘積態(tài)

我們將提供一種基于數(shù)值重整化群的方法，建立起二維量子系統(tǒng)的基態(tài)糾纏熵與時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵之間的等價(jià)性。

首先，對(duì)數(shù)值重整化群做一個(gè)簡(jiǎn)單的回顧。盡管在二維或高維系統(tǒng)中不存在重整化流，但是在數(shù)值重整化群中通常人為地選擇一條特殊路徑來(lái)定義重整化流。這種做法相當(dāng)于將一個(gè)二維或高維有限尺寸格點(diǎn)系統(tǒng)上的模型映射成一維有限長(zhǎng)鏈上的等效模型，相應(yīng)的代價(jià)是原模型中的部分最近鄰相互作用在等效模型中被當(dāng)作長(zhǎng)程相互作用處理。由于該一維等效模型的存在，同樣的方法可用于任意維度有限尺寸量子模型的討論上。

考慮包含N個(gè)自旋的系統(tǒng)，其哈密頓量可一般性地表示為

(1)

(2)

式中β=1/T,T為溫度。虛時(shí)演化的圖形表示如圖1(a)所示。利用數(shù)值重整化群流，系統(tǒng)的基態(tài)|ψ〉可表示為

(3)

(4)

(5)

方程(3)實(shí)際上是對(duì)任意多體量子糾纏態(tài)進(jìn)行施密特分解，而將系統(tǒng)二分后左右兩條半鏈之間的糾纏譜則被包含在Φ中。通過(guò)糾纏譜可計(jì)算出系統(tǒng)的糾纏熵。用方程(3)中的基態(tài)表示重寫(xiě)虛時(shí)演化過(guò)程，形式如下

(6)

(7)

(8)

在此定義下，圖1(b)中的結(jié)構(gòu)可表示為一系列有效哈密頓量的連乘。若對(duì)全部有效哈密頓量進(jìn)行如方程(8)中的分解，那么將出現(xiàn)沿垂直于實(shí)空間方向(虛時(shí)間方向)延伸的兩列新的矩陣乘積態(tài)，即時(shí)間矩陣乘積態(tài)，其表達(dá)式為

(9)

(10)

圖1 虛時(shí)演化和時(shí)間矩陣乘積態(tài)的示意圖Fig.1 Diagrams of the imaginary time evolution and the time matrix product state

在時(shí)間矩陣乘積態(tài)中，指標(biāo){cn}的作用相當(dāng)于空間矩陣乘積態(tài)中的物理指標(biāo)，而{an}和{bn}的作用相當(dāng)于輔助指標(biāo)。因此可以發(fā)現(xiàn)，方程(7)中所定義的有效哈密頓量實(shí)則為時(shí)間矩陣乘積態(tài)內(nèi)積的轉(zhuǎn)移矩陣。在時(shí)間矩陣乘積態(tài)的框架下，可以將方程(6)中的虛時(shí)演化過(guò)程重新表述為

(11)

該式等號(hào)成立的條件是Φ為式(7)中有效哈密頓量的最大本征態(tài)。

2 時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵與關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度

由于時(shí)間矩陣乘積態(tài)是一維的平移不變矩陣乘積態(tài)，因此可以很方便地求出糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度，并且建立在一維矩陣乘積態(tài)基礎(chǔ)上的糾纏熵標(biāo)度理論對(duì)時(shí)間矩陣乘積態(tài)同樣有效。由于時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度分別等價(jià)于量子系統(tǒng)的基態(tài)糾纏熵和動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度，這為研究二維量子臨界系統(tǒng)提供了便利。

需要說(shuō)明的是，一方面上述等價(jià)性建立在數(shù)值重整化群流能夠在多大程度上反映真實(shí)的二維量子多體系統(tǒng)的基態(tài)；另一方面，方程(8)中分解的對(duì)稱性也制約著二者的等價(jià)性。我們通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，即使這兩方面要求并不能夠嚴(yán)格地滿足，時(shí)間矩陣乘積態(tài)依然能夠反映出基態(tài)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度和糾纏熵的特性。

3 結(jié)果和討論

首先，在蜂窩狀六角格子上的自旋1/2各向異性海森堡反鐵磁模型中，應(yīng)用時(shí)間矩陣乘積態(tài)研究基態(tài)臨界行為。系統(tǒng)的哈密頓量為

(12)

式中：J和J′分別是沿著如圖2(a)所示的不同方向的耦合系數(shù)。在反鐵磁相互作用情況下，哈密頓量中的耦合系數(shù)大于零。在熱力學(xué)極限下，模型的臨界點(diǎn)位于Jc=0.5(4)[17]。在臨界點(diǎn)左側(cè)(J/J′

圖2 有限尺寸格點(diǎn)系統(tǒng)示意圖Fig.2 Diagrams of the finite size system

圖3 時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵ST和動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξT隨觀測(cè)位置的變化趨勢(shì)圖Fig.3 The position dependences of entanglement entropy STand dynamic correlation length ξT

利用密度矩陣重整化群方法研究該模型的基態(tài)性質(zhì)，取有限尺寸的蜂窩狀六角格子，如圖2(a)所示，每個(gè)自旋占據(jù)格子中的一個(gè)交點(diǎn)，自旋與自旋之間的相互作用由黑色實(shí)線表示。圖中陰影部分為選取的有限尺寸格子，相鄰陰影部分之間的黑色實(shí)線代表邊界相互作用。在后面的計(jì)算中，考慮兩個(gè)方向的周期邊界條件。為便于程序設(shè)計(jì)，將圖1(a)中虛線圓圈中的兩個(gè)自旋用一個(gè)等效的格點(diǎn)代替，因此蜂窩狀六角格子等效為一個(gè)方格子，如圖2(b)所示，每個(gè)等效格點(diǎn)在矩陣乘積態(tài)中用一個(gè)張量表示，矩陣乘積態(tài)以圖中序號(hào)所表示的路徑，遍歷方格子中的所有格點(diǎn)。因此很容易發(fā)現(xiàn)，某些最近鄰相互作用在矩陣乘積態(tài)中以長(zhǎng)程相互作用的形式出現(xiàn)。由于矩陣乘積態(tài)中不包含格點(diǎn)的平移不變性，因此應(yīng)在每個(gè)格點(diǎn)處觀測(cè)時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵ST與關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξT。ST和ξT與空間位置的關(guān)系如圖3所示。為盡量減小邊界的影響，選擇遠(yuǎn)離邊界的格點(diǎn)計(jì)算ST與ξT，并對(duì)被選中的格點(diǎn)取平均值。

圖4 ST和ξT關(guān)于Trotter-Suzuki步長(zhǎng)的收斂趨勢(shì)示意圖Fig.4 Trotter-Suzuki step dependencs of STand ξT

為排除Trotter-Suzuki分解的誤差對(duì)結(jié)果的影響，令步長(zhǎng)τ逐漸減小并趨于零，以觀察糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度關(guān)于步長(zhǎng)τ的收斂情況。盡管Trotter-Suzuki誤差不能被完全避免，但是如圖4所示，我們發(fā)現(xiàn)糾纏熵ST和動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξT在τ<10-4以后幾乎達(dá)到飽和值，因此在后面的計(jì)算中固定取值為τ=10-6，以平衡Trotter-Suziki誤差與機(jī)器精度之間的關(guān)系。

通過(guò)調(diào)節(jié)耦合系數(shù)J的大小，蜂窩狀六角格子上的自旋1/2各向異性海森堡反鐵磁模型會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)不同的相區(qū)，分別是從基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)之間存在激發(fā)能隙的二聚體相以及無(wú)激發(fā)能隙奈爾相[17]。如圖5(a)所示，在兩個(gè)不同的相區(qū)內(nèi)，糾纏熵ST和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξT關(guān)于時(shí)間矩陣乘積態(tài)的截?cái)嗑S數(shù)χ存在不同類(lèi)型的標(biāo)度關(guān)系。當(dāng)J=0.1時(shí)，系統(tǒng)處于二聚體相，糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度隨著截?cái)嗑S數(shù)的增加都快速收斂到有限大小的飽和值。由于時(shí)間矩陣乘積態(tài)實(shí)質(zhì)上是一維矩陣乘積態(tài)，并且已知對(duì)于固定截?cái)嗑S數(shù)的時(shí)間矩陣乘積態(tài)，有限大小的截?cái)嗑S數(shù)將限制系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度[7]。對(duì)于基態(tài)有激發(fā)能隙的系統(tǒng)，基態(tài)關(guān)聯(lián)函數(shù)呈指數(shù)衰減，也就是說(shuō)基態(tài)只存在短程關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度接近晶格常數(shù)。因此隨著截?cái)嗑S數(shù)的增加，系統(tǒng)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度會(huì)出現(xiàn)短暫的上升，當(dāng)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度上升至接近晶格常數(shù)(飽和值)時(shí)，即使繼續(xù)增加截?cái)嗑S數(shù)也不會(huì)再觀察到關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的上升。而受到關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的限制，糾纏熵同樣隨著截?cái)嗑S數(shù)的增加而短暫上升，當(dāng)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度達(dá)到飽和值的同時(shí)，糾纏熵也收斂到一個(gè)有限大小的飽和值。

圖5 蜂窩狀六角格子上自旋1/2海森堡反鐵磁體的糾纏熵ST和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξT標(biāo)度律示意圖Fig.5 The scaling laws of the entanglement entropy STand the correlation length ξT

在各向同性點(diǎn)J=1處，系統(tǒng)處于奈爾相中，糾纏熵在出現(xiàn)有限尺寸效應(yīng)以前，隨著截?cái)嗑S數(shù)的增加呈對(duì)數(shù)型發(fā)散，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度與截?cái)嗑S數(shù)之間呈指數(shù)型發(fā)散，具體表示為

ST=αlnχ+const,ξT∝χκ.

(13)

上述行為與一維臨界系統(tǒng)中的糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度關(guān)于截?cái)嗑S數(shù)的標(biāo)度行為一致。我們?cè)诓煌某叽缦掠^察臨界系統(tǒng)糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度的標(biāo)度關(guān)系，二者滿足

ST=cTlnξT+const.

(14)

其中，因子cT=α/κ類(lèi)似于一維量子臨界系統(tǒng)的中心荷，隨著系統(tǒng)尺寸的增加，有cT～1。

我們還在kagome格子上的自旋1/2各向同性海森堡反鐵磁模型中，利用時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵標(biāo)度行為研究系統(tǒng)的基態(tài)。如圖6所示，時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度清晰地反映出系統(tǒng)基態(tài)的臨界行為。我們的結(jié)果與支持kagome格子上的自旋1/2各向同性海森堡模型中的基態(tài)是無(wú)激發(fā)能隙的量子自旋液體這一結(jié)論的實(shí)驗(yàn)和理論預(yù)言[18-30]相一致。

圖6 kagome格子上自旋1/2海森堡反鐵磁體的基態(tài)糾纏熵ST和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξT關(guān)于標(biāo)度律示意圖Fig.6 The scaling laws of the entanglement entropy STand the correlation length ξTfor the spin-1/2 HAFM on the kagome lattice

4 總結(jié)與展望

本文提出一種用于刻畫(huà)二維量子臨界系統(tǒng)的一維量子態(tài)——時(shí)間矩陣乘積態(tài)。時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度與二維量子系統(tǒng)中通過(guò)數(shù)值重整化群流所定義的糾纏熵和動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度是等價(jià)的。在蜂窩狀六角格子上的自旋1/2各向異性海森堡反鐵磁模型中展示了時(shí)間矩陣乘積態(tài)所給出的糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度在2個(gè)相區(qū)內(nèi)的不同標(biāo)度行為，在有能隙的二聚體相中糾纏熵和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度關(guān)于增加的截?cái)嗑S數(shù)先短暫上升后快速收斂，而在無(wú)能隙的奈爾相中糾纏熵關(guān)于增加的截?cái)嗑S數(shù)呈對(duì)數(shù)型發(fā)散，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度呈指數(shù)型發(fā)散。還通過(guò)kagome格子上自旋1/2各向同性海森堡模型對(duì)應(yīng)的時(shí)間矩陣乘積態(tài)的糾纏熵標(biāo)度行為，發(fā)現(xiàn)糾纏熵關(guān)于截?cái)嗑S數(shù)的變化滿足臨界系統(tǒng)的糾纏熵標(biāo)度律。本文提出的方法很好地給出了有能隙的二聚體相與無(wú)能隙的奈爾相內(nèi)的糾纏熵標(biāo)度行為，但是在靠近相邊界的區(qū)域，由于計(jì)算誤差的影響(如裁剪誤差、有限尺寸效應(yīng)等)，標(biāo)度行為的特點(diǎn)(收斂或?qū)?shù)發(fā)散)在數(shù)據(jù)上變得不明顯，這需要在未來(lái)使用更精確的計(jì)算進(jìn)一步研究，或發(fā)展更好的物理性質(zhì)提取方法。同時(shí)，我們的結(jié)果暗示了通過(guò)(1+1)維共形場(chǎng)論可以對(duì)時(shí)間矩陣乘積態(tài)的臨界標(biāo)度律進(jìn)行進(jìn)一步研究。