王 晨，陳自強(qiáng)，喬從豐

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 北京 100049)(2018年5月5日收稿； 2018年6月1日收修改稿)

電子-質(zhì)子散射幾十年來(lái)一直是主要的一類(lèi)高能物理實(shí)驗(yàn)，尤其對(duì)研究核子結(jié)構(gòu)做出了非常重要的貢獻(xiàn)?？淇伺妓匚锢硎歉吣芪锢硌芯恐械囊粋€(gè)重要方向。一來(lái)通過(guò)研究夸克偶素可以了解重強(qiáng)子的性質(zhì)，另一方面，由于夸克偶素處于微擾QCD 適用能標(biāo)范圍以內(nèi)，對(duì)夸克偶素的研究也是了解認(rèn)識(shí)量子色動(dòng)力學(xué)的重要途徑。特別是1995 年非相對(duì)論量子色動(dòng)力學(xué)NRQCD 出現(xiàn)之后[1]，夸克偶素物理研究有了更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，引發(fā)了持續(xù)20多年的研究熱潮。人們計(jì)算分析夸克偶素在各種高能實(shí)驗(yàn)中的產(chǎn)生過(guò)程，研究其衰變性質(zhì)[2]。

從1974年粲夸克發(fā)現(xiàn)以來(lái)，夸克偶素遍舉產(chǎn)生過(guò)程就成為高能物理理論和實(shí)驗(yàn)研究的熱點(diǎn)課題。它為探究質(zhì)子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，檢驗(yàn)NRQCD 因子化，進(jìn)一步了解微擾QCD 提供了很好的研究平臺(tái)。在實(shí)驗(yàn)方面，對(duì)電子-質(zhì)子散射過(guò)程中夸克偶素的產(chǎn)生已經(jīng)做了很多觀測(cè)，包括夸克偶素遍舉產(chǎn)生過(guò)程γ*p→Vp。其中V代表重夸克偶素。如γ*為實(shí)光子，則成為光生(photoproduction) 過(guò)程；如為虛光子，則對(duì)應(yīng)電生(electroproduction)過(guò)程。人們已在各類(lèi)對(duì)撞機(jī)上對(duì)這些過(guò)程進(jìn)行觀察，積累了大量數(shù)據(jù)，包括鐵核固定靶實(shí)驗(yàn)中J/ψ遍舉光生 過(guò)程[3-4]，HERA上J/ψ的遍舉光產(chǎn)生[5-9]，HERA上J/ψ的遍舉電產(chǎn)生[10-13]， HERA上Υ 的遍舉光產(chǎn)生[5-6]，LHC上J/ψ的遍舉光產(chǎn)生[14-15]，LHC上Υ的遍舉光產(chǎn)生[16]等。理論方面，隨著有關(guān)夸克偶素產(chǎn)生和衰敗理論的發(fā)展、對(duì)核子結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的深化、計(jì)算能力的提高，在這個(gè)領(lǐng)域也取得了豐富的研究成果。

夸克偶素遍舉產(chǎn)生過(guò)程涉及3個(gè)不同的能標(biāo)：1)光子和質(zhì)子中部分子相互作用產(chǎn)生正反重夸克對(duì)。這屬于硬過(guò)程，可以用微擾QCD 計(jì)算。2) 正反重夸克對(duì)演化到夸克偶素。這個(gè)強(qiáng)子化過(guò)程包含非微擾效應(yīng)，可用NRQCD[1]因子化方案來(lái)處理。3)質(zhì)子和參與到硬過(guò)程的部分子間的相互作用。這也屬非微擾效應(yīng)，目前主要采取kT因子化和共線因子化兩種辦法處理。

在早期的理論研究中，人們通常采用kT因子化方案進(jìn)行計(jì)算，主要針對(duì)高能極限情況(小x區(qū)域)(矢量)夸克偶素衍射產(chǎn)生展開(kāi)研究。通常通過(guò)BFKL[17-18]重整化群方程對(duì)大log(1/x) 進(jìn)行求和。對(duì)衍射過(guò)程，由于對(duì)撞能量遠(yuǎn)大于其他標(biāo)度，通常只需考慮振幅虛部的貢獻(xiàn)。 對(duì)于核子部分，則通過(guò)引入kT依賴(lài)的“積分前”(unintegrated) 膠子分布函數(shù)考慮非微軟效應(yīng)，這樣最后得到的振幅將正比于普通的膠子分布函數(shù)。第一個(gè)γ*p→Vp過(guò)程是Ryskin[19]完成的。后來(lái)，很多研究人員在此基礎(chǔ)上不斷地完善，考慮膠子分布函數(shù)斜度的影響、大kT部分的貢獻(xiàn)、相對(duì)論修正、實(shí)部對(duì)截面的貢獻(xiàn)等[20-28]。kT因子化的方法雖然有著堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，但也存在較大的理論不確定性，并且在kT因子化下次領(lǐng)頭階計(jì)算非常復(fù)雜。

另一方面，人們注意到，當(dāng)質(zhì)子的入射動(dòng)量和出射動(dòng)量不相等(nonforward) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的部分子分布函數(shù)和通常意義上的部分子分布函數(shù)不同?？梢苑Q(chēng)之為“廣義部分子分布函數(shù)”(GPDs)。隨著Ji 和Radyushkin 對(duì)“深虛康普頓散射”(DVCS) 過(guò)程[29-31]和矢量介子遍舉產(chǎn)生過(guò)程[32]的研究，GPDs逐漸成為研究的熱點(diǎn)。共線因子化方案下對(duì)GPDs 普適性的嚴(yán)格證明由Collins 等完成[33]。 在共線因子化框架下，對(duì)重矢夸克偶素光生過(guò)程的研究已經(jīng)做到了微擾次領(lǐng)頭階[34-37]。 對(duì)于電生過(guò)程，即初態(tài)光子虛度不為零的情況，實(shí)驗(yàn)上已有大量觀察[10-13]，但理論計(jì)算和唯象分析卻很有限。本文擬在共線因子化框架下，計(jì)算γ*p→Vp過(guò)程，唯象分析HERA 上J/ψ和Υ 遍舉產(chǎn)生截面大小隨光子虛度Q2及光子-核子能量Wγp變化的關(guān)系，并與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。

1 計(jì)算框架

矢量夸克偶素遍舉產(chǎn)生過(guò)程的領(lǐng)頭階共有6個(gè)費(fèi)曼圖。其中3個(gè)如圖1所示，另外3個(gè)可在圖1基礎(chǔ)上由費(fèi)米子線反向得到。將初末態(tài)粒子動(dòng)量標(biāo)記為γ*(q)p(P)→V(q′)p(P′)。為方便計(jì)算和說(shuō)明，引入“轉(zhuǎn)移動(dòng)量”和初末態(tài)粒子的“平均動(dòng)量”：

(1)

初末態(tài)粒子的質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)學(xué)不變量標(biāo)記為：

s=(q+P)2,t=Δ2.

(2)

(3)

這里新引入2個(gè)標(biāo)度參量ξ和η:

(4)

對(duì)于夸克偶素產(chǎn)生過(guò)程中的長(zhǎng)程效應(yīng)，采用NRQCD 因子化來(lái)處理。在計(jì)算中需要用到正反重夸克對(duì)到相應(yīng)夸克偶素Fock 態(tài)的投影[38]。對(duì)于S波自旋三重態(tài)，在忽略重夸克間的相對(duì)動(dòng)量，即在非相對(duì)論近似領(lǐng)頭階時(shí)，投影算符可表示為

(5)

式中：i,j表示顏色指標(biāo)；Rs(0)為夸克偶素徑向零點(diǎn)波函數(shù)。它的取值既可以由勢(shì)模型計(jì)算，也可以通過(guò)將夸克偶素衰變到輕子對(duì)過(guò)程的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量相比較得到。

對(duì)應(yīng)我們要計(jì)算的過(guò)程，顯然地，在領(lǐng)頭階參與相互作用的部分子為膠子。核子內(nèi)膠子的密度分布可以表示為雙膠子場(chǎng)對(duì)應(yīng)的光錐矩陣元。選取光錐規(guī)范時(shí)可以忽略表達(dá)式中的P{}(path-ordering)項(xiàng)，即

(6)

圖1 夸克偶素遍舉產(chǎn)生過(guò)程領(lǐng)頭階費(fèi)曼圖Fig.1 Feynman diagrams for quarkonium exclusive production at LO

2 解析結(jié)果

(7)

(8)

注意，Hg(x,η,t)和Eg(x,η,t) 是x的偶函數(shù)。在向前(forward) 極限下Hg(x,η,t)可以過(guò)渡到普通的部分子分布函數(shù)：Hg(x,0,0)=xg(x)。對(duì)于Eg(x,η,t)則沒(méi)有類(lèi)似性質(zhì)。

根據(jù)式(7)，可以計(jì)算出Δ⊥=0處的微分截面，即

(9)

式(9)第3行中的兩項(xiàng)分別表示橫向極化光子和縱向極化光子對(duì)微分截面的貢獻(xiàn)。參數(shù)是虛光子的極化參數(shù)。 在電子-核子散射中，它可以表示成的函數(shù)，即：在大部分夸克偶素遍舉產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)中，的值非常接近1。

(10)

參數(shù)b稱(chēng)為“斜率”(slope) 參數(shù)。在坡密子(Pomeron) 理論中，b(W)=b0+4α′ln(W/W0)。式(10)中各參數(shù)可以通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合得到。

3 數(shù)值結(jié)果

在截面的數(shù)值計(jì)算中，還需要對(duì)GPDs 進(jìn)行數(shù)值估計(jì)。對(duì)于Hg(x,η,t)，依據(jù)“雙分布”(double distributions) 模型[42-44]進(jìn)行數(shù)值模擬。具體計(jì)算方法可參照文獻(xiàn)[44]的第2部分。圖2展示不同η和μ2下，g的實(shí)部和虛部之比?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著η和μ2的減小，虛部貢獻(xiàn)所占的比例逐漸增大。這和高能極限下(衍射過(guò)程)，振幅虛部對(duì)截面貢獻(xiàn)占主導(dǎo)的結(jié)論是一致的。但在我們的唯象學(xué)分析中，因此實(shí)部的貢獻(xiàn)會(huì)隨著光子虛度的增大(偏離衍射)而增大。 對(duì)于Eg(x,η,t)，目前尚無(wú)很好的模型可用于唯象學(xué)計(jì)算。 但根據(jù)式(9)，εg項(xiàng)有系數(shù)η2壓低。因此，我們將這部分貢獻(xiàn)忽略。 這也是對(duì)DVCS 和重夸克偶素遍舉產(chǎn)生過(guò)程做唯象學(xué)研究時(shí)普遍采取的做法。

圖2 不同η和μ2下，g的實(shí)部和虛部之比Fig.2 Ratio of Re(g) to Im(g) at different ηandμ2values

下面分析J/ψ在HERA 上的產(chǎn)生。斜率參量b及t取H1 實(shí)驗(yàn)組所取的實(shí)驗(yàn)參數(shù)[13]。 圖3展示J/ψ遍舉產(chǎn)生截面對(duì)Q2及Wγp的依賴(lài)關(guān)系。其中，誤差棒表示H1 實(shí)驗(yàn)組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[13]；不同形狀的實(shí)心點(diǎn)表示我們的計(jì)算結(jié)果及理論不確定性。圓點(diǎn)組成的上邊界對(duì)應(yīng)的參數(shù)選取為：r=2.0,mc=1.4 GeV； 處于中間的方形點(diǎn)對(duì)應(yīng)：r=1.0,mc=1.5 GeV；三角形點(diǎn)組成的下邊界對(duì)應(yīng)：r=0.5,mc=1.6 GeV。圖4(a)～4(d) 分別對(duì)應(yīng)Wγp=90 GeV，Q2=3.2 GeV2，Q2=7.0 GeV2和Q2=22.4 GeV2?？梢钥闯?，計(jì)算結(jié)果較實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)普遍偏大，尤其是當(dāng)Wγp較大或Q2較小時(shí)。在同樣情況下，能標(biāo)和質(zhì)量引起的不確定度也相當(dāng)大。究其原因，可以用小x區(qū)域膠子部分子分布函數(shù)隨能標(biāo)的增大而迅速增大來(lái)解釋。

圖3 HERA上J/ψ遍舉產(chǎn)生唯象學(xué)分析Fig.3 The cross section for J/ψexclusive production at HERA

圖4 HERA上Υ遍舉產(chǎn)生唯象學(xué)分析Fig.4 The cross section for Υ exclusive production at HERA

4 總結(jié)

本文在共線因子化的框架下，計(jì)算微擾量子色動(dòng)力學(xué)領(lǐng)頭階下重夸克偶素在電子-質(zhì)子散射過(guò)程中的遍舉產(chǎn)生過(guò)程，給出相應(yīng)振幅和截面的解析表達(dá)式。還唯象分析HERA 實(shí)驗(yàn)中J/ψ和Υ 遍舉產(chǎn)生截面對(duì)光子虛度Q2和撞能量Wγp的依賴(lài)關(guān)系，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。發(fā)現(xiàn)對(duì)于J/ψ遍舉產(chǎn)生，理論計(jì)算值明顯大于實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，特別是在小x區(qū)域。對(duì)于Υ遍舉光產(chǎn)生，在考慮實(shí)驗(yàn)和理論誤差的情況下，可以解釋實(shí)驗(yàn)。通過(guò)取不同的重夸克質(zhì)量和不同的因子化能標(biāo)，估計(jì)理論不確定性。發(fā)現(xiàn)在小x區(qū)域，能標(biāo)引起的不確定性非常大。這一方面說(shuō)明在小x區(qū)域，膠子分布函數(shù)本身有很大的不確定度，另一方面說(shuō)明在這些過(guò)程中，高階修正的貢獻(xiàn)非常大，未來(lái)有必要進(jìn)一步研究。

最后需要特別指出的是，對(duì)夸克偶素在電子-質(zhì)子碰撞中遍舉產(chǎn)生的研究，非常有益于了解推廣的部分子分布函數(shù)(GPD)。