何 敏，江燕燕，黃 忠，周清卿，王其申

（安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133）

2001年，Elishakoff等針對功能梯度梁的橫向振動問題，提出了一種新穎的解法[1-2]。此后，王其申研究了任意支承桿模型[3]，吳磊等研究了簡支梁[4]和懸臂梁[5]這兩類單跨梁，王其申等進(jìn)行了相關(guān)問題綜述[6]。對于多跨梁結(jié)構(gòu)，文[7]研究了一類兩跨梁模型，文[8]研究了兩跨外伸梁模型，文[9]研究了對稱簡支梁模型。本文由兩端彈性支承的對稱梁出發(fā)，最終導(dǎo)出對稱簡支梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)。

長為L的梁的橫振動無量綱動力學(xué)方程：

對于兩端彈性支承對稱梁，參考文[10]，有下列邊界條件：

其中，h是約束梁兩端線位移的拉伸彈簧剛度，β是約束梁兩端角位移的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度。

下面計(jì)算兩端彈性對稱梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)。要滿足條件（2）式，對于基模態(tài)（也稱第一階模態(tài)或不含節(jié)點(diǎn)的對稱模態(tài)），可以把位移多項(xiàng)式取為4次多項(xiàng)式；對于第二階模態(tài)（也稱含單節(jié)點(diǎn)的反對稱模態(tài)），可以把位移多項(xiàng)式取為5次多項(xiàng)式，還要滿足約束條件W()=0。令

這里，上標(biāo)sy表示對稱振型，上標(biāo)as表示反對稱振型。解得滿足邊界條件的位移多項(xiàng)式是：

經(jīng)過化簡，（4）式可以化為如下的多項(xiàng)式型函數(shù)：

此結(jié)論與文[9]完全一致。而對于兩端固定的對稱梁，需要滿足極限條件h →+∞, β →+∞，則（4）式中的系數(shù)N →+∞，這是不能成立的。因此，可以由對稱多項(xiàng)式型函數(shù)（5）式導(dǎo)出對稱簡支梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，但不能導(dǎo)出兩端固定對稱梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，這反映了這個模型具有局限性。

本文計(jì)算結(jié)果表明：由兩端彈性支承的對稱邊界條件，可以構(gòu)造兩端彈性支承對稱梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，它包含了對稱簡支梁的位移函數(shù)。文章計(jì)算的基模態(tài)和第二階模態(tài)下兩端彈性支承梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，在相差一個常數(shù)因子的條件下，位移函數(shù)是唯一的。