楊遠(yuǎn)航

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠233030）

目前，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和信息技術(shù)在各行各業(yè)及日常生活中廣泛應(yīng)用[1]，但隨著其應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播也帶來(lái)更大的破壞力和經(jīng)濟(jì)損失，嚴(yán)重影響人們的工作和生活。為了有效控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不少基于傳染病模型建模原理的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，如SEIR 模型[2-3]、SEIRS模型[4-5]、SEIQRS模型[6-7]，但是這些模型均假設(shè)處于潛伏狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)不具有傳染能力，然而在現(xiàn)實(shí)生活中，潛伏狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)也可以通過(guò)移動(dòng)存儲(chǔ)設(shè)備將其中的病毒傳染給其他節(jié)點(diǎn)[8]。在這種情況下，文獻(xiàn)[9]提出了具有分級(jí)感染率的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

其中τ為恢復(fù)節(jié)點(diǎn)再次被感染所需要的時(shí)間周期引起的時(shí)滯。

1 有病毒平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(2)在病毒平衡點(diǎn)E( S*,L*,A*,R*)處的線性化部分：

其中，a11=-β1L*-β2A*-μ，a12=-β1S*，a13=-β2S*，a21=β1L*+β2A*，a22=β1S*-ε-μ，a23=β2S*，a32=ε，a33=-γ-μ，a43=γ，a44=-μ，b14=α，b44=-α。

系統(tǒng)(3)的特征方程為

成立，則模型(2)的有病毒平衡點(diǎn)E( S*,L*,A*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)τ ＞0 時(shí)，假設(shè)λ=iω( ω ＞0 )為特征方程(4)的根，整理特征方程的實(shí)部和虛部可得：

進(jìn)一步整理方程組可得：

對(duì)方程(4)的等號(hào)兩端τ進(jìn)行求導(dǎo)，得到：

綜上所述，結(jié)合Hopf分支定理[9]得到：對(duì)于模型(2)，如果成立，則當(dāng)時(shí)，模型(2)的有病毒平衡點(diǎn)E是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ=τ0時(shí)，模型(2)在有病毒平衡點(diǎn)E( S*,L*,A*,R*)處產(chǎn)生Hopf分支。

2 仿真示例

為了驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的正確性，給出如下仿真，參數(shù)值：μ=0.001，β1=0.1，β2=0.15，α=0.05，ε=0.05，γ=0.02，模型(2)的示例模型如下：

利用Matlab軟件可以計(jì)算得到系統(tǒng)(6)存在唯一有病毒平衡點(diǎn)E(0.1116,0.207 3,0.4936,0.1936)，進(jìn)一步計(jì)算得到ω0=0.940 4，τ0=24.25。根據(jù)上述結(jié)論，當(dāng)τ=20.75，即τ ＜τ0時(shí)，模型(6)是局部漸近穩(wěn)定的，其仿真效果如圖1所示；當(dāng)τ=28.75，即τ ＞τ0時(shí)，模型(6)失去穩(wěn)定并產(chǎn)生局部Hopf分支，其仿真效果如圖2所示。

圖1 τ ＜τ0時(shí)穩(wěn)定

圖2 τ ＞τ0時(shí)失去穩(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分支

3 結(jié) 論

考慮到恢復(fù)節(jié)點(diǎn)因?yàn)檠b有反病毒軟件而具有一定的臨時(shí)免疫期，基于文獻(xiàn)[9]中的SLARS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，本文提出了一類具有臨時(shí)免疫期時(shí)滯的SLARS病毒模型。經(jīng)過(guò)模型推導(dǎo)，根據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)得到模型局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf 分支的充分條件，該結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[9]研究工作的適當(dāng)補(bǔ)充。研究結(jié)果表明，在一定條件下，當(dāng)時(shí)滯時(shí)，模型局部漸進(jìn)穩(wěn)定，有利于對(duì)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的控制。當(dāng)時(shí)，模型將由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，并在有病毒平衡點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分支。此時(shí)網(wǎng)絡(luò)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播將變得難以控制，因此，在現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，應(yīng)該對(duì)恢復(fù)節(jié)點(diǎn)的反病毒軟件進(jìn)行及時(shí)更新和升級(jí)，以保證其臨時(shí)免疫期盡可能長(zhǎng)。