丁曉紅 張 俊 張 橫

上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海，200093

0 引言

機(jī)床的加工精度和加工效率決定于機(jī)床整機(jī)的靜動(dòng)態(tài)特性，而床身的支撐方式直接影響機(jī)床整機(jī)的靜動(dòng)態(tài)特性[1],墊鐵作為聯(lián)結(jié)基礎(chǔ)和床身的重要部件，對(duì)精密機(jī)床的加工精度有著重要的影響。目前國(guó)內(nèi)機(jī)床廠商一般根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)選擇墊鐵數(shù)量并布置墊鐵位置，墊鐵位置通常均勻布置于床身底面。事實(shí)上，不同的墊鐵布置方案會(huì)使床身在實(shí)際加工過(guò)程中獲得不同的靜動(dòng)態(tài)特性[2]，影響著機(jī)床的加工精度，合理的墊鐵位置分布可以提高加工精度，延長(zhǎng)機(jī)床使用壽命。目前，對(duì)機(jī)床墊鐵位置的確定已引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。趙秋紅[3]提出了三種布置床身墊鐵的方式，分別為對(duì)稱方式、橫向?qū)ΨQ方式、非對(duì)稱方式，根據(jù)實(shí)際的研究對(duì)象每種方式列舉了3種布置情況，隨后對(duì)這9種情況分別進(jìn)行了靜力分析和模態(tài)分析，結(jié)果顯示在墊鐵以對(duì)稱方式布置情況下床身低階固有頻率最佳，固有頻率隨墊鐵數(shù)量增加緩慢增大。BUHI[4]以一個(gè)微型夾持機(jī)構(gòu)為例，將其支撐位置參數(shù)化并通過(guò)幾何非線性分析模擬不同工況，最終使用連續(xù)型拓?fù)鋬?yōu)化方法確定支撐位置，結(jié)果表明該機(jī)構(gòu)剛度顯著提高。

另一方面，機(jī)床的調(diào)平對(duì)加工穩(wěn)定性及精度有著重要的影響，調(diào)平不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致機(jī)床振動(dòng)，加工質(zhì)量下降，設(shè)備使用壽命縮短。傳統(tǒng)床身由多個(gè)墊鐵支撐，接觸點(diǎn)多，不利于床身調(diào)平。三點(diǎn)支撐利用三點(diǎn)確定一個(gè)平面的原理，可以有效提高機(jī)床可調(diào)平性、穩(wěn)定性，且明顯縮短安裝時(shí)間。三點(diǎn)支撐方式相對(duì)于多點(diǎn)支撐具有精度保持性好、內(nèi)應(yīng)力小、易于調(diào)平、便于安裝等優(yōu)點(diǎn)[5]，已在國(guó)內(nèi)外機(jī)床企業(yè)得到應(yīng)用，如德國(guó)德瑪吉公司的NHC 4000臥式加工中心、瑞士克林伯格公司的部分機(jī)床已使用三點(diǎn)支撐，并獲得了較高的機(jī)床加工精度[6-7]。云青等[5]結(jié)合中心復(fù)合試驗(yàn)、響應(yīng)面模型和多目標(biāo)遺傳算法，針對(duì)三點(diǎn)支撐下的床身結(jié)構(gòu)開(kāi)展了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高了床身的靜動(dòng)態(tài)性能。

對(duì)墊鐵位置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，尋求墊鐵最優(yōu)支撐位置，可以在不改變床身結(jié)構(gòu)的情況下，僅通過(guò)移動(dòng)墊鐵支撐位置就能達(dá)到提高機(jī)床性能的目的，在機(jī)床實(shí)際設(shè)計(jì)和使用中具有重要價(jià)值。目前對(duì)機(jī)床支撐布置方式的研究，多是在位置確定情況下，或者人為改變支撐位置情況下對(duì)機(jī)床進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，很少有文獻(xiàn)研究三點(diǎn)支撐位置的最優(yōu)布置方法。三點(diǎn)支撐位置的設(shè)計(jì)，需盡量保證床身上各部件總質(zhì)心在床身底面的投影與三點(diǎn)支撐所圍成的三角形形心相重合，但在實(shí)際使用過(guò)程中由于機(jī)床工況復(fù)雜，機(jī)床在加工過(guò)程中質(zhì)心時(shí)刻在發(fā)生變化，因此很難直接確定三點(diǎn)支撐的最優(yōu)位置。針對(duì)這種情況，本文提出了一種機(jī)床三點(diǎn)支撐位置多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并以某型號(hào)精密外圓磨床的T形床身為例，開(kāi)展三點(diǎn)支撐位置優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 三點(diǎn)支撐床身初始模型的確定

圖1a所示為某型號(hào)磨床的主要結(jié)構(gòu)，主要由五大部分組成：床身、頭架、尾架、工作臺(tái)和砂輪架；圖1b所示為該型號(hào)床身結(jié)構(gòu)，該床身為典型的T形結(jié)構(gòu)，床身的總體尺寸為2 760 mm×1 680 mm×690 mm。根據(jù)床身結(jié)構(gòu)形式，可將床身分為前后床身兩部分。前床身主要支撐工作臺(tái)、頭架和尾架等部件，其上從前至后分布兩條導(dǎo)軌，分別為平導(dǎo)軌和V形導(dǎo)軌；后床身用于支撐砂輪架、主軸箱等部件。

(a)磨床部件

(b)床身結(jié)構(gòu)示意圖圖1 某型磨床結(jié)構(gòu)Fig.1 A type of grinding machine structure

1.1 載荷工況分析

在工作狀態(tài)下,磨床工作臺(tái)等移動(dòng)部件在床身上做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，使得床身的受力情況變得十分復(fù)雜，因此如何選擇載荷工況以盡可能全面地反映其實(shí)際的工作狀況，不僅影響床身靜動(dòng)態(tài)性能分析，而且對(duì)后續(xù)支撐件位置優(yōu)化有直接影響[8]。磨床導(dǎo)軌上的移動(dòng)部件可在工作行程內(nèi)沿直線任意移動(dòng)，因此床身受到移動(dòng)載荷的作用。磨床受力最惡劣的磨削位置分別為左右兩個(gè)極限位置以及最常用的工作行程中間位置，因此可以將這三個(gè)位置作為待研究的載荷工況來(lái)近似模擬實(shí)際的工作過(guò)程[9]。

為了充分模擬床身受載荷情況，對(duì)床身三個(gè)位置(工作臺(tái)在前床身的左極限位置；工作臺(tái)位于導(dǎo)軌的正中間位置；工作臺(tái)在前床身的右極限位置)進(jìn)行加載。這三個(gè)位置按三種工況來(lái)處理。圖2所示為床身不同工況的示意圖(三種工況下砂輪架的位置均保持不變)。

圖2 不同工況示意圖Fig.2 Different working conditions

1.2 三點(diǎn)支撐床身墊鐵初始位置

目前，T形床身的墊鐵位置一般按照床身底面的形狀來(lái)布置，其布置原則為：在8個(gè)角點(diǎn)上布置8塊墊鐵，在長(zhǎng)邊1/3點(diǎn)上再布置兩塊墊鐵，一共10塊墊鐵，如圖3中的T1～T10所示。用三點(diǎn)支撐代替原有布置，可按照以下方法來(lái)確定三個(gè)支點(diǎn)的初始位置。

圖3 床身底面分區(qū)示意圖Fig.3 Bed bottom partition diagram

三點(diǎn)支撐位置的確定主要有兩個(gè)原則，要保證：①床身上各部件總質(zhì)心在床身底面的投影時(shí)刻在三點(diǎn)支撐所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)；②三個(gè)支撐點(diǎn)圍成三角形的面積較大，以保證支撐的穩(wěn)定性。因此首先對(duì)床身進(jìn)行分區(qū)，分別為T1T2T8T7、T3T4T5T6圍成的四邊形區(qū)域和T7T9T10、T6T9T10圍成的三角形區(qū)域，見(jiàn)圖3。因?yàn)橐谷c(diǎn)支撐圍成三角形的面積盡量大，因此中心區(qū)域部分可以不選擇，只選擇四周的區(qū)域即可。T7T9T10、T6T9T10兩塊區(qū)域有所重合且重合部分靠近后床身邊緣，主要是為了將后床身支撐點(diǎn)布置在后床身關(guān)于Z向?qū)ΨQ的中軸線上，同時(shí)使該支撐點(diǎn)在一定程度上靠近后床身后邊緣線T9T10來(lái)盡量保證床身的穩(wěn)定性。對(duì)4塊區(qū)域編號(hào)，如表1所示。

表1 分區(qū)編號(hào)

如圖4所示，點(diǎn)A、B、C、D分別為區(qū)域①、②、③、④的形心，連接CD，取線段CD中點(diǎn)E，三個(gè)黑點(diǎn)A、B、E為三點(diǎn)支撐墊鐵初始位置。連接AE、AB、BE，△ABE為三點(diǎn)支撐所圍成的三角形區(qū)域。在圖2所述的三種工況下，磨床總質(zhì)心在床身底面投影位置分別為a1、a2、a3，且均在△ABE內(nèi)部，初步保證了床身靜態(tài)性能。因此，三點(diǎn)支撐3個(gè)墊鐵的初始位置確定為A、B、E。本文將三個(gè)初始點(diǎn)支撐下的T形床身稱之為“原型”，在原型的基礎(chǔ)上進(jìn)行墊鐵位置優(yōu)化。

圖4 三點(diǎn)支撐床身墊鐵初始位置Fig.4 Prototype of three-point support be d pad-iron position

以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，橫軸為Z軸，縱軸為X軸，易知線段AB為水平線，即墊鐵A和墊鐵B的縱坐標(biāo)相同。得到三墊鐵A、B、E初始位置坐標(biāo)如表2所示。

表2 墊鐵A、B、E初始位置

1.3 設(shè)計(jì)變量取值范圍的確定

圖5 設(shè)計(jì)變量示意圖Fig.5 Design variable diagram

圖5為設(shè)計(jì)變量在磨床床身底面示意圖，A、B、E為墊鐵，a1、a2、a3為床身及其以上部件在左極限工況、中間位置工況和右極限工況下的重心投影點(diǎn)。在OZX平面直角坐標(biāo)系中，因?yàn)閴|鐵A、B在同一水平線上，即它們的X軸坐標(biāo)相等，所以3個(gè)墊鐵的位置可用5個(gè)設(shè)計(jì)變量表示：E墊鐵X軸方向位置XE；E墊鐵Z軸方向位置ZE；A墊鐵Z軸方向位置ZA；B墊鐵Z軸方向位置ZB；A、B墊鐵X軸方向位置XA(XB)。設(shè)計(jì)變量如表3所示。

表3 OZX坐標(biāo)系下三個(gè)墊鐵的參數(shù)化位置

以三種工況的重心a1、a2、a3必須在三個(gè)墊鐵圍成的△ABE中為設(shè)計(jì)原則，考慮墊鐵不超出床身邊緣線的情況，討論5個(gè)設(shè)計(jì)變量ZA、XA(XB)、ZB、ZE、XE的取值上下限。

圖6中，粗實(shí)線為床身邊緣線，內(nèi)部細(xì)實(shí)線為考慮墊鐵不超出床身邊緣線情況下墊鐵位置設(shè)計(jì)范圍的包絡(luò)線。連接Aa1交包絡(luò)線于K，連接Ba3交包絡(luò)線于L。測(cè)得K點(diǎn)X軸坐標(biāo)小于L點(diǎn)X軸坐標(biāo)，為保證機(jī)床三個(gè)工況的重心在△ABE內(nèi)，選K點(diǎn)X軸坐標(biāo)為E墊鐵X軸方向的最大值。為了保證支撐的穩(wěn)定性，后床身支撐應(yīng)盡量靠近中線，過(guò)K點(diǎn)作水平線交EB、EA于K1、K2，考慮到T7T8比T5T6長(zhǎng)80 mm，過(guò)K2沿Z軸正方向延長(zhǎng)水平線80 mm至K3，則K1K3即為E墊鐵Z方向的設(shè)計(jì)長(zhǎng)度。Z軸到K1K3距離為562 mm，因此XE最大取值為562 mm。

圖6 E墊鐵設(shè)計(jì)范圍的確定Fig.6 Determination of E pad-iron design range

如圖7所示，同樣考慮極限情況，連接Ea1交線段AB于K′，連接Ea3交線段AB于L′，測(cè)得K′點(diǎn)Z坐標(biāo)為1 459 mm，L′點(diǎn)Z坐標(biāo)為1 305 mm?！鱁K′L′為機(jī)床在左右極限位置工況下能保證結(jié)構(gòu)重心在三個(gè)支撐位置所圍成三角形內(nèi)的最小三角形。為了保證支撐的穩(wěn)定性，以1.4為安全系數(shù)增大K′橫坐標(biāo)，減小L′橫坐標(biāo)，取整得：K′Z=2 043 mm，L′Z=932 mm。XA(XB)的取值范圍不超過(guò)包絡(luò)線。

圖7 A、B墊鐵設(shè)計(jì)范圍的確定Fig.7 Determination of A,B pad-irons design range

得到5個(gè)設(shè)計(jì)變量在平面OZX坐標(biāo)系下的取值范圍如表4所示。

表4 在OZX坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)變量取值范圍的確定

2 基于靜動(dòng)態(tài)性能的墊鐵位置優(yōu)化

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

墊鐵位置優(yōu)化旨在提高床身的靜動(dòng)態(tài)性能，通過(guò)調(diào)整三個(gè)墊鐵支撐位置使床身靜動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)?？紤]以床身結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度和靜剛度最大為目標(biāo)函數(shù)，分別選擇一階固有頻率最大和床身上V形導(dǎo)軌的最大變形最小來(lái)綜合反映床身靜動(dòng)態(tài)剛度。

以一階固有頻率最大和床身上V形導(dǎo)軌的最大變形最小為目標(biāo)函數(shù)，以墊鐵位置為設(shè)計(jì)變量，對(duì)墊鐵位置進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。其中，優(yōu)化一階固有頻率用于提高床身動(dòng)態(tài)性能，優(yōu)化V形導(dǎo)軌最大變形為改善床身靜態(tài)性能。

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型如下：

findG=(ZA,XA(XB),ZB,ZE,XE)
minD&(-f1)
s.t.Gmin≤G≤Gmax

式中，G為設(shè)計(jì)變量集；D為床身在中間位置工況下V形導(dǎo)軌最大變形量；f1為床身結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率；Gmin、Gmax為設(shè)計(jì)變量下限和上限。

采用鄰域培植遺傳算法(neighborhood cultivation genetic algorithm，NCGA)[10-11]在設(shè)計(jì)區(qū)域上進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，在Pareto優(yōu)化解集中根據(jù)實(shí)際情況選擇一個(gè)優(yōu)化結(jié)果，如表5所示。圖8所示為目標(biāo)函數(shù)的迭代歷程。

表5 設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化值

圖8 多目標(biāo)優(yōu)化迭代曲線Fig.8 Multi-objective optimization iterativehistory

表6所示為優(yōu)化前后墊鐵位置，圖9為優(yōu)化前后墊鐵位置分布示意圖，其中，A、B、E為優(yōu)化前墊鐵位置，A3、B3、E3為優(yōu)化后墊鐵位置。由圖9可知，墊鐵A、B、E均向Z軸靠近，在Z方向上墊鐵A、B同時(shí)往導(dǎo)軌中部移動(dòng)，且墊鐵A移動(dòng)幅度明顯大于墊鐵B的移動(dòng)幅度。

表6 優(yōu)化前后三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置

圖9 優(yōu)化前后墊鐵位置分布示意圖Fig.9 Schematic diagram of position distribution o f pad-irons before and after optimization

2.2 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置重新進(jìn)行參數(shù)化建模。在此基礎(chǔ)上，對(duì)床身的三種工況進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)性能分析，分析結(jié)果與原型床身分析結(jié)果對(duì)比如表7所示。

表7 優(yōu)化前后三種工況下V形導(dǎo)軌位移最大變形量對(duì)比

表7可以看出，左極限位置工況、中間位置工況和右極限位置工況下，V形導(dǎo)軌最大變形量分別減小34.6%、33.2%和32.2%，平均減小率為33.3%。從V形導(dǎo)軌最大變形評(píng)價(jià)指標(biāo)看，床身結(jié)構(gòu)靜態(tài)性能得到提高，加工精度有所提高。

圖10所示為中間位置工況下原型及多目標(biāo)優(yōu)化后V形導(dǎo)軌位移變形量沿Z坐標(biāo)方向變化情況。圖10橫坐標(biāo)為選取的V形導(dǎo)軌沿Z方向直線的節(jié)點(diǎn)，直線具體位置如圖11所示。由圖10可以看出，多目標(biāo)優(yōu)化后V形導(dǎo)軌變形曲線在原型床身變形曲線的下方，且優(yōu)化后V形導(dǎo)軌變形量顯著減小，最大變形差(最大變形量減去最小變形量)為5 μm。進(jìn)一步引入V形導(dǎo)軌變形方差作為評(píng)價(jià)床身靜態(tài)性能的指標(biāo)，由圖10所示的數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算得到優(yōu)化前后工作臺(tái)在中間位置工況下V形導(dǎo)軌變形方差如表8所示。

圖10 優(yōu)化前后V形導(dǎo)軌Z方向變形曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of V-rail Z-direction deformatio n curves before and after optimization

表9所示為優(yōu)化前后磨床床身結(jié)構(gòu)前6階固有頻率對(duì)比，可以看出三個(gè)墊鐵位置優(yōu)化后，除了床身第3階固有頻率減小外，其余前5階固有頻率均增大。由于在對(duì)床身進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，最大化一階固有頻率為其中一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，故一階固有頻率上升值為8.7%。

綜上所述，墊鐵位置優(yōu)化后，V形導(dǎo)軌最大變形、變形方差和一階固有頻率均得到改善，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化床身靜動(dòng)態(tài)性能的目標(biāo)。

圖11 選取的V形導(dǎo)軌沿Z方向直線Fig.11 The line selected on the V-rail along Z direction

原型優(yōu)化后變化率(%)變形量方差S27.153.03-57.6

表9 優(yōu)化前后床身前6階固有頻率對(duì)比

3 三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置布置準(zhǔn)則探討

利用NCGA算法對(duì)三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集和Pareto前沿如圖12所示,圖中，圓點(diǎn)為Pareto最優(yōu)解集；曲線為Pareto前沿；方點(diǎn)為優(yōu)化迭代過(guò)程后得到的優(yōu)化解。接近Pareto前沿的解更優(yōu)。

圖12 三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置的Pareto最優(yōu)解集Fig.12 Pareto optimal solution set of three-poin t supporting bed pad-iron position

根據(jù)圖12的Pareto前沿可畫出三個(gè)墊鐵優(yōu)化位置的散點(diǎn)集，如圖13所示。黑點(diǎn)表示墊鐵的優(yōu)化位置；圓圈表示三個(gè)工況下機(jī)床重心在床身底面的投影點(diǎn)；粗實(shí)線為床身邊緣線；內(nèi)部細(xì)實(shí)線為考慮墊鐵不超出床身邊緣線情況下墊鐵位置設(shè)計(jì)范圍的包絡(luò)線。

圖13 墊鐵優(yōu)化位置散點(diǎn)圖Fig.13 Scatterplot of optimized pad-iron location

為了便于得到三個(gè)墊鐵優(yōu)化位置的關(guān)系，用包含墊鐵A、B、E的最小矩形優(yōu)化位置散點(diǎn)，用線段a代表機(jī)床質(zhì)心位置，如圖14所示。

圖14 墊鐵優(yōu)化位置與床身尺寸位置關(guān)系圖Fig.14 Optimal pad-iron positions and bed size

通過(guò)探究Pareto最優(yōu)解集下三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置與機(jī)床重心及床身總體尺寸之間的關(guān)系得出T形床身墊鐵布置原則如下：

(1)不同位置工況下機(jī)床重心在底面的投影均必須在三點(diǎn)支撐圍成的三角形內(nèi)；

(2)三點(diǎn)支撐圍成三角形的形心沿X軸負(fù)方向到機(jī)床重心連線的垂直距離取尺寸w的4.0%～10.5%較好；

(3)三點(diǎn)支撐圍成三角形的形心到X軸垂直距離取尺寸l的44.2%～48.2%較好；

(4)墊鐵A到X軸垂直距離取尺寸l的73.2%～78.5%較好；

(5)墊鐵A到Z軸垂直距離取尺寸w的82.1%～89.3%較好；

(6)墊鐵A、B之間的Z向距離取尺寸l的54.2%～63.4%較好；

(7)墊鐵E到X軸垂直距離取尺寸l的44.7%～46.6%較好；

(8)墊鐵E到AB連線的垂直距離取尺寸w的60.6%～72.1%較好。

4 結(jié)論

(1)本文以隨工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)的機(jī)床整機(jī)質(zhì)心在床身底面投影點(diǎn)落在三個(gè)支撐點(diǎn)圍成的三角形內(nèi)和墊鐵不超出床身邊緣線為設(shè)計(jì)原則，運(yùn)用極限位置法確定設(shè)計(jì)變量取值范圍。建立多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用NCGA算法對(duì)三個(gè)墊鐵位置進(jìn)行基于床身靜動(dòng)態(tài)性能的多目標(biāo)優(yōu)化。以V形導(dǎo)軌最大變形量和一階固有頻率為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)三點(diǎn)支撐墊鐵位置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的床身靜動(dòng)態(tài)性能均得到了提升。

(2)經(jīng)過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化得到Pareto解集后，以最小矩形包圍優(yōu)化三個(gè)墊鐵位置散點(diǎn)集，通過(guò)計(jì)算最小矩形、三個(gè)支撐點(diǎn)所圍成三角形的形心和床身總體尺寸的關(guān)系確定T形床身三點(diǎn)支撐位置布置原則，為三點(diǎn)支撐床身墊鐵位置設(shè)計(jì)提供一種新思路。