楊紀(jì)楠

許立忠燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,秦皇島,066004

0 引言

活齒傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)范圍廣和承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，可用于機(jī)器人關(guān)節(jié)、航空航天、精密儀器、油井勘探等技術(shù)領(lǐng)域。20世紀(jì)八十年代以來，美國學(xué)者相繼提出了無齒輪減速器、消減和添加差動(dòng)齒輪減速系統(tǒng)[1-2]；日本學(xué)者研究了單擺線活齒傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)原理，強(qiáng)度設(shè)計(jì)，曲率、壓力角的計(jì)算和傳動(dòng)效率[3-6]。21世紀(jì)以來，學(xué)者們對(duì)活齒傳動(dòng)的研究更加深入。LI等[7]進(jìn)行了正弦活齒傳動(dòng)的失效分析。TERADA等[8-9]提出了兩段式擺線鋼球減速器，完成了驅(qū)動(dòng)輪廓的計(jì)算，并將其成功應(yīng)用到機(jī)器人關(guān)節(jié)中。LIANG等[10]對(duì)擺線活齒傳動(dòng)的齒廓特性和強(qiáng)度計(jì)算進(jìn)行了研究。SAPSALEV等[11]開發(fā)出了循環(huán)無齒電機(jī)驅(qū)動(dòng)減速器，并對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化和改進(jìn)。NAM等[12]設(shè)計(jì)了活齒薄板式減速器，并將其應(yīng)用于機(jī)器人領(lǐng)域。NISHIBE等[13]研究了偏心活齒驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，并將其用于驅(qū)動(dòng)機(jī)器人手臂。XU等[14-15]設(shè)計(jì)了電磁諧波活齒傳動(dòng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)大大減小了機(jī)電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的整體尺寸，隨后XU等[16]又提出了雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)。

在上述提到的活齒傳動(dòng)中，雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)在傳動(dòng)比相同的情況下具有最小的徑向尺寸，特別適用于石油鉆機(jī)和機(jī)器人手臂等技術(shù)領(lǐng)域。然而，隨著傳動(dòng)尺寸的減小，軸承等處的摩擦損耗占比提高，顯著影響了傳動(dòng)系統(tǒng)的工作效率。因此，本文對(duì)該種傳動(dòng)系統(tǒng)的工作效率進(jìn)行研究，分析不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率的影響規(guī)律。

1 工作原理

雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)主要由5個(gè)基本元件組成 (圖1)：①帶有外正弦滾道的輸入軸，其滾道周期數(shù)用Z1表示(圖中Z1=1) ；②帶有活齒槽和外正弦滾道的一級(jí)導(dǎo)架，其滾道周期數(shù)用Z2表示(圖中Z2=1) ；③帶有兩排內(nèi)正弦滾道的殼體，其滾道周期數(shù)分別用Z3和Z4表示(圖中Z3=5，Z4=5 )；④二級(jí)導(dǎo)架(輸出端)；⑤活齒(12個(gè)滾珠，每級(jí)導(dǎo)架6個(gè))。

圖1 雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)模型Fig.1 Two-step sine movable tooth drive

當(dāng)中心輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，第一排活齒在外正弦滾道的推動(dòng)作用下運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到殼體內(nèi)正弦滾道的約束而繞中心輸入軸與殼體的公共軸線做等速圓周運(yùn)動(dòng)。同時(shí)活齒推動(dòng)一級(jí)導(dǎo)架輸出運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力；第二排活齒在一級(jí)導(dǎo)架外正弦滾道的推動(dòng)作用下運(yùn)動(dòng)，受到殼體內(nèi)正弦滾道的約束而繞一級(jí)導(dǎo)架與殼體的公共軸線做等速圓周運(yùn)動(dòng)，將輸出的動(dòng)力輸入到第二級(jí)傳動(dòng)上，最終通過二級(jí)導(dǎo)架輸出整個(gè)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力。應(yīng)用UG10.0運(yùn)動(dòng)仿真模塊對(duì)設(shè)計(jì)的雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，該傳動(dòng)系統(tǒng)能夠按要求正常運(yùn)轉(zhuǎn)，驗(yàn)證了該種傳動(dòng)原理的正確性。圖1所示雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)的主要參數(shù)見表1。

表1 雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

2 效率公式

在不計(jì)活齒嚙合副之間的摩擦力與活齒重力情況下，建立空間活齒的局部坐標(biāo)系σ(Oxyz)，活齒球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸分別代表活齒嚙合傳動(dòng)的徑向、周向和軸向，則各構(gòu)件對(duì)活齒的接觸力都通過活齒的球心并沿活齒齒面的法線方向。圖2所示為作用在活齒上的各接觸力的位置關(guān)系。

(a)活齒受力(b)輸入軸對(duì)活齒的接觸力

(c)導(dǎo)架對(duì)活齒的接觸力(d)殼體對(duì)活齒的接觸力圖2 活齒受力關(guān)系圖Fig.2 Forces on movable tooth

根據(jù)圖2中各接觸力的空間位置關(guān)系，對(duì)活齒列力平衡方程如下：

(1)

其中輸入軸的外正弦滾道對(duì)活齒的接觸力為F1i，接觸角為αn1i；導(dǎo)架的活齒槽對(duì)活齒的接觸力為F2i；殼體內(nèi)正弦滾道對(duì)活齒的接觸力為F3i，接觸角為αn3i；各嚙合副間瞬時(shí)接觸線的方向角為uji(j=1，3)。

將活齒與輸入軸之間的接觸力F1i分解為徑向力F1ix和徑向法截面方向的力F1iyz，假定輸入軸瞬時(shí)不發(fā)生運(yùn)動(dòng)，給活齒施加一個(gè)順時(shí)針方向的力矩T1(輸入力矩)。在該輸入力矩作用下，各個(gè)活齒與輸入軸滾道接觸處都會(huì)受到力的作用，從而產(chǎn)生彈性變形，使活齒中心轉(zhuǎn)過一個(gè)微角度Δφ，則各活齒中心相應(yīng)地發(fā)生一個(gè)相同的微周向位移Δs。由變形協(xié)調(diào)條件知，Δs在F1iyz方向上的分量與F1iyz成正比，即F1iyz∝Δscosu1i，故有下式成立[16]：

(2)

F1iyz=F1isinαn1u1max=arctan(R1/(AZ1))

式中，R1為輸入軸外正弦滾道空間徑向半徑；A為空間正弦滾道的幅值。

對(duì)輸入軸列力矩平衡方程如下：

(3)

式中，T1為輸入力矩，即電機(jī)輸出力矩Tem；n1為第一級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的活齒個(gè)數(shù)。

聯(lián)立式(2)和式(3)得

(4)

利用平均法求和式得到

(5)

則由式(4)和式(5)可得

(6)

(7)

根據(jù)正弦活齒傳動(dòng)中的空間幾何關(guān)系，有

(r′-r)(cosαn1i-cosαn3i)=R1-R3

(8)

式中，r、r′分別為活齒半徑和正弦滾道半徑；R3為殼體內(nèi)正弦滾道空間徑向半徑。

聯(lián)立式(1)、式(7)、式(8)得

(9)

化簡整理得到

(10)

由正弦活齒傳動(dòng)原理可知，動(dòng)力由主動(dòng)軸輸入，活齒在固定的殼體內(nèi)正弦滾道和轉(zhuǎn)動(dòng)的外正弦滾道的共同約束下與導(dǎo)架嚙合，將運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力從導(dǎo)架輸出。通過對(duì)活齒的受力分析可知，導(dǎo)架對(duì)單個(gè)活齒的作用力為F2i。由牛頓第三定律可知，單個(gè)活齒對(duì)導(dǎo)架的作用力大小也為F2i。設(shè)有n1個(gè)活齒參與嚙合的傳動(dòng)，對(duì)導(dǎo)架列力矩平衡方程，得到系統(tǒng)的輸出力矩為

(11)

對(duì)于第二級(jí)傳動(dòng)而言，活齒受力方程組與式(9)相同，僅僅是輸入力矩發(fā)生了變化。將第一級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的輸出力矩Tn1作為第二級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的輸入力矩，就能得到第二級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的受力方程。設(shè)第二級(jí)傳動(dòng)的活齒數(shù)為n2，一級(jí)導(dǎo)架和殼體對(duì)活齒的接觸角分別為αn2i和αn4i，各作用力含義與前文類似，僅加上標(biāo)“(2)”作為區(qū)分，因此得到第二級(jí)傳動(dòng)的活齒受力方程為

(12)

ujmax=arctan(Rj/(AZj))j=2,4

式中，R2為一級(jí)導(dǎo)架外正弦滾道空間徑向半徑；R4為殼體內(nèi)正弦滾道空間徑向半徑。

對(duì)式(12)整理化簡，可得二級(jí)導(dǎo)架對(duì)活齒作用力的解析式：

(13)

則雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)的總輸出力矩

(14)

傳動(dòng)效率的表達(dá)式為

(15)

式中，T1為輸入轉(zhuǎn)矩；T2為輸出轉(zhuǎn)矩；i為傳動(dòng)比。

將式(11)中的Tn1作為第一級(jí)傳動(dòng)的輸出力矩，Tem為輸入力矩，代入式(15)得到第一級(jí)活齒傳動(dòng)效率公式

(16)

對(duì)于第二級(jí)傳動(dòng)來講，將式(14)中的Tn2作為第二級(jí)傳動(dòng)的輸出力矩，Tn1為輸入力矩，代入式(15)得到二級(jí)活齒傳動(dòng)效率公式：

(17)

3 效率計(jì)算與實(shí)驗(yàn)

應(yīng)用以上方程，將表1中參數(shù)代入式(16)、式(17)中，得到雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)效率如圖3所示。由圖3可知：

(1)在雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)中，傳動(dòng)效率呈周期性變化，這是因?yàn)橄到y(tǒng)輸出力矩隨著輸入軸轉(zhuǎn)角周期性變化，變化周期為活齒受力周期。對(duì)于第一級(jí)活齒傳動(dòng)，其變化周期為6π/5，由于第一級(jí)傳動(dòng)比為6，故第二級(jí)變化周期相對(duì)于第一級(jí)擴(kuò)大了6倍，其周期為36π/5。

(2)對(duì)于第一級(jí)活齒傳動(dòng)，當(dāng)φ=0和φ=6π/5時(shí)，瞬時(shí)效率取得最小值，最小值為66.87%，當(dāng)φ=3π/5時(shí)，瞬時(shí)效率取得最大值，最大值為92.41%，其平均值為79.59%。因輸出力矩是在6個(gè)活齒共同作用下產(chǎn)生的，故第一級(jí)傳動(dòng)效率呈現(xiàn)正弦性周期波動(dòng)。

圖3 雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)效率Fig.3 Efficiency of the two-step sine movabledrive system

(3)對(duì)于第二級(jí)活齒傳動(dòng)，當(dāng)φ=18π/5時(shí)，瞬時(shí)效率取得最小值，最小值為46.29%，當(dāng)φ=33π/5時(shí)，瞬時(shí)效率取得最大值，最大值為82.05%，其平均值為62.65%，波動(dòng)比為30.9%。第一級(jí)傳動(dòng)的輸出力矩Tn1作為第二級(jí)傳動(dòng)的輸入力矩，相對(duì)于初始力矩Tem增大的同時(shí)，呈現(xiàn)正弦周期性變化，因此第二級(jí)活齒傳動(dòng)效率不再是標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線。

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)的主要設(shè)計(jì)參數(shù)有正弦滾道幅值A(chǔ)，活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑R和傳動(dòng)比i，其中傳動(dòng)比與內(nèi)外正弦滾道周期數(shù)有關(guān)。本文通過改變A、R和i在兩級(jí)間的分配研究參數(shù)變化對(duì)傳動(dòng)效率的影響。傳動(dòng)效率η隨A、R和i分配的變化曲線如圖4～圖6所示。由圖4～圖6可知：

圖4 η隨A的變化曲線Fig.4 Changes of efficiency along with A

圖5 η隨R的變化曲線Fig.5 Changes of efficiency along with R

圖6 η隨i1×i2的變化曲線Fig.6 Changes of efficiency along with i1×i2

(1)隨著正弦滾道幅值A(chǔ)的增大，傳動(dòng)效率的最大值和平均值增大，但增加幅度不大，產(chǎn)生瞬時(shí)效率最值的位置不變。當(dāng)A為0.5，1.5和2.5 mm時(shí)，其傳動(dòng)效率的平均值分別為60.56%，62.65%和64.74%，但其波動(dòng)比不變，仍為30.9%。

(2)隨著活齒中心旋轉(zhuǎn)半徑R的增大，傳動(dòng)效率的最大值和平均值增大，且增大幅度明顯，產(chǎn)生瞬時(shí)效率極值的位置不變。當(dāng)R為8.5，10.5和12.5 mm時(shí)，其傳動(dòng)效率的平均值分別為57.07%，62.65%和69.19%，波動(dòng)比略有增大。當(dāng)R=12.5 mm時(shí)，其傳動(dòng)效率最大值和平均值分別為91.39%和69.19%，波動(dòng)比為32%，變化幅度不大。

(3)當(dāng)總傳動(dòng)比一定時(shí)，傳動(dòng)效率可以隨著兩級(jí)傳動(dòng)比的不同分配得到提高。當(dāng)?shù)谝患?jí)傳動(dòng)比大于第二級(jí)傳動(dòng)比時(shí)，傳動(dòng)效率得到提高且波動(dòng)比減小，輸出更平穩(wěn)。當(dāng)傳動(dòng)比分配分別為9×4和4×9時(shí)，其傳動(dòng)效率的平均值分別為72.27%和35.7%，波動(dòng)比分別為30.9%和55.1%，可以看出，傳動(dòng)比分配為9×4時(shí)的傳動(dòng)效率近似為傳動(dòng)比分配為4×9時(shí)的兩倍，且波動(dòng)比減小了近一半。

通過以上分析可知，為了得到效率更高的傳動(dòng)系統(tǒng)，在滿足設(shè)計(jì)要求的情況下，應(yīng)適當(dāng)提高正弦滾道幅值A(chǔ)、活齒中心旋轉(zhuǎn)半徑R和合理的傳動(dòng)比分配，在總傳動(dòng)比一定的情況下，第一級(jí)傳動(dòng)比越大，傳動(dòng)效率越高，波動(dòng)越小，輸出更穩(wěn)定。

為了驗(yàn)證以上分析，設(shè)計(jì)了雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)(參數(shù)見表1)。樣機(jī)采用德國DMU 60 monoBLOCK五軸立式加工中心對(duì)內(nèi)外正弦滾道進(jìn)行加工制造。因輸入軸和一級(jí)導(dǎo)架外正弦滾道周期數(shù)僅為1，故在加工時(shí)難度較低，在保證對(duì)刀精度的情況下，按照設(shè)計(jì)好的滾道加工程序進(jìn)行加工。圖7所示為主動(dòng)軸外正弦滾道加工實(shí)況，為保證樣機(jī)在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中更加連續(xù)，對(duì)加工完之后的滾道邊緣進(jìn)行0.3 mm的圓角處理，以保證活齒在滾道面運(yùn)轉(zhuǎn)過程中更加光滑連續(xù)。一級(jí)導(dǎo)架外正弦滾道的設(shè)計(jì)參數(shù)與主動(dòng)軸外正弦滾道設(shè)計(jì)參數(shù)相同，故外正弦滾道加工過程與主動(dòng)軸相同。圖8所示為雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)的主要零件。圖9為雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)裝配完成圖。

圖7 主動(dòng)軸外正弦滾道加工Fig.7 Manufacture for outer sine ball track

圖8 雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)主要零件Fig.8 Main parts for two-step sine movable tooth drive

圖9 雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)樣機(jī)Fig.9 Drive model machine of two-step sin e movable tooth

圖10所示為測量傳動(dòng)效率的實(shí)驗(yàn)裝置，該實(shí)驗(yàn)裝置主要由雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)樣機(jī)、輸入電機(jī)、電機(jī)控制器、扭矩傳感器、 CHB型測力儀表、 磁粉制動(dòng)器、磁粉傳感器控制儀表組成。

圖10 測量傳動(dòng)效率的實(shí)驗(yàn)裝置 Fig.10 Experimental apparatus of testin g transmission efficiency

將雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)樣機(jī)在低速下空載跑合后，測量該傳動(dòng)樣機(jī)在輸入轉(zhuǎn)速分別為180，240，300，360和420 r/min時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。應(yīng)用MATLAB軟件對(duì)所測數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，得到該傳動(dòng)樣機(jī)在不同轉(zhuǎn)速下的傳動(dòng)效率隨負(fù)載之間的變化曲線，見圖11。由圖11可知：

圖11 樣機(jī)傳動(dòng)效率Fig.11 Efficiency for the model machine

(1)在相同轉(zhuǎn)速下，樣機(jī)的傳動(dòng)效率η先隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩T2的增大而增大，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，傳動(dòng)效率開始減小，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩繼續(xù)增大達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，傳動(dòng)效率基本保持不變。

(2)對(duì)于該傳動(dòng)樣機(jī)，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速分別為180，240，300，360和420 r/min時(shí)，傳動(dòng)效率最大值均出現(xiàn)在負(fù)載轉(zhuǎn)矩T2=1.2 N·m處。不同轉(zhuǎn)速下的最大傳動(dòng)效率如表2所示。最大效率值隨轉(zhuǎn)速變化曲線見圖12。根據(jù)表2和圖12可以看出，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速n1=360 r/min時(shí)，最大傳動(dòng)效率η′達(dá)到67.66%，在轉(zhuǎn)速為360 r/min附近，不管轉(zhuǎn)速是增大還是減小，最大傳動(dòng)效率均略有減小，可知n1=360 r/min時(shí)得到的雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)的效率為最大傳動(dòng)效率。隨著轉(zhuǎn)速的增大，效率最大值穩(wěn)定在65%左右。

表2 最大傳動(dòng)效率η′

圖12 最大傳動(dòng)效率隨輸入轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.12 Changes of the maximum efficiency alon g with speed

(3)隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大，傳動(dòng)效率保持在40%左右不再改變，說明高負(fù)載情況下，傳動(dòng)效率受其負(fù)載影響不明顯。

(4)當(dāng)n=60，120，180，240，300，360和420 r/min時(shí)，實(shí)驗(yàn)測得最大傳動(dòng)效率與理論效率平均值相差分別為2.9%，0.1%，1.3%，2.9%，4.4%，7.9%和6.8%。效率實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值接近，驗(yàn)證了本文理論分析的正確性。其中當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí)，實(shí)驗(yàn)值與理論值偏差很?。划?dāng)轉(zhuǎn)速較高時(shí)，實(shí)驗(yàn)值與理論值偏差相對(duì)較大(達(dá)到7.9%和6.8%)。其主要原因在于：①速度增大會(huì)導(dǎo)致輸入軸及輸出軸力矩波動(dòng)性增大，影響力矩傳感器讀數(shù)精度，由此而產(chǎn)生一定的測量誤差；②速度增大還會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)系統(tǒng)中附加內(nèi)部動(dòng)載荷以及附加外部動(dòng)載荷的增大，影響傳動(dòng)系統(tǒng)的瞬時(shí)效率。本文所推導(dǎo)的效率公式尚未考慮動(dòng)載荷對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)工作效率的實(shí)際影響?？紤]動(dòng)載荷因素進(jìn)一步提升雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)效率的計(jì)算精度是下一步研究的重點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)，推導(dǎo)出了傳動(dòng)效率計(jì)算公式，計(jì)算得到了該傳動(dòng)系統(tǒng)的平均傳動(dòng)效率為62.65%。分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率的影響，結(jié)果表明：為了提高傳動(dòng)效率，應(yīng)該增大正弦滾道幅值、增大活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑以及合理分配傳動(dòng)比。按照設(shè)計(jì)參數(shù)研制出了雙級(jí)正弦活齒傳動(dòng)樣機(jī)，進(jìn)行了傳動(dòng)效率實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：計(jì)算效率與實(shí)驗(yàn)效率結(jié)果接近。研究結(jié)果對(duì)于該種傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與制造具有參考價(jià)值。