何孝凱　胡亞輝

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在引入矩陣的秩的定義的基礎(chǔ)上，討論了矩陣的秩的常用性質(zhì)，然后結(jié)合兩道有一定綜合性的例題，說(shuō)明在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中如何通過(guò)適當(dāng)?shù)睦}讓學(xué)生加深對(duì)矩陣的秩的性質(zhì)的理解與應(yīng)用.通過(guò)適當(dāng)?shù)陌咐v解有助于加深學(xué)生對(duì)所學(xué)高等代數(shù)內(nèi)容的理解，提升課堂教學(xué)效果.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 高等代數(shù);矩陣的秩;秩的性質(zhì);案例教學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）22-0008-02

一、引言

矩陣的秩是大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科階段高等代數(shù)課程的重要內(nèi)容之一，對(duì)矩陣的秩的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生加深對(duì)線性相關(guān)性和線性方程組的解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)定理的理解和應(yīng)用[1-3].考慮到高等代數(shù)課程的抽象性，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中教師可以借助案例教學(xué)法幫助學(xué)生理解和掌握所學(xué)具體內(nèi)容[4，5].對(duì)矩陣的秩這一部分內(nèi)容的教授，首先應(yīng)該讓學(xué)生理解矩陣的秩的定義，特別是其與線性相關(guān)性的聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上研究矩陣的秩及其應(yīng)用.在本文接下來(lái)的內(nèi)容中，我們將首先介紹矩陣的行秩、矩陣的列秩、矩陣的行列式秩和矩陣的秩的概念，然后給出矩陣的秩的常用性質(zhì)，最后通過(guò)解決兩道有一定綜合性的例題，說(shuō)明在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中如何通過(guò)適當(dāng)?shù)睦}讓學(xué)生加深對(duì)矩陣的秩的性質(zhì)的理解與應(yīng)用.

二、矩陣的秩的定義與性質(zhì)

在本小節(jié)中，我們首先引入矩陣的秩的概念[1].

定義1：設(shè)A是m×n矩陣，則矩陣A的m個(gè)行向量組成的向量組的秩稱(chēng)為矩陣A的行秩;矩陣A的n個(gè)列向量組成的向量組的秩稱(chēng)為矩陣A的列秩.

定義2：設(shè)A是m×n矩陣，若A有一個(gè)r階子式不為零，而A的所有r+1階（如果存在）都等于零，則稱(chēng)r為矩陣A的行列式秩.

對(duì)矩陣的行秩、列秩和行列式秩，有如下重要結(jié)果[1].

定理：設(shè)A是m×n矩陣，則A的行秩、A的列秩、A的行列式秩三者相等，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的秩，記為rank（A）.

接下來(lái)我們介紹矩陣的秩的常用性質(zhì)[3]，設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣.

性質(zhì)1：rank（A）≤min{m，n}.

性質(zhì)2：rank（AB）≤min{rank（A），rank（B）}.

性質(zhì)3：rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n.

性質(zhì)4：rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）.

性質(zhì)5：若rank（A）=n，則rank（AB）=rank（B）;

若rank（B）=n，則rank（AB）=rank（A）.

性質(zhì)6：若A是實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則

rank（A）=rank（AT）=rank（AAT）=rank（ATA）.

性質(zhì)7：若A是復(fù)矩陣，A是A的復(fù)共軛矩陣，A*是

A的轉(zhuǎn)置共軛矩陣，則rank（A）=rank（A）=rank（A*）=rank（AA*）=rank（A*A）.

三、實(shí)例教學(xué)

在本小節(jié)中，我們將應(yīng)用案例教學(xué)法，通過(guò)求解一道具體的例題加深學(xué)生對(duì)前述矩陣的秩的理解.

例1.已知矩陣B是定義在實(shí)數(shù)域上的特征值非負(fù)的對(duì)稱(chēng)的6×6矩陣且rank（B）=5，矩陣D=（α1 α2 α3 α4）是6×4矩陣且rank（D）=4.令ξ=α1+α2+α3+α4，若Bξ=0，求證rank（DTBD）=3.

證明：由于矩陣B是定義在實(shí)數(shù)域上的特征值非負(fù)的對(duì)稱(chēng)的6×6矩陣且rank（B）=5，從而存在正交矩陣P使得

B=PTλ1 λ2? λ3? ?λ4? ? λ5? ? ?0P。

引入矩陣=? 0? ? 0? 0? 0? 0 0 ?0? 0? 0? 0 0? 0 ?0? 0? 0 0? 0? 0 ?0? 0 0? 0? 0? 0 ?0，

以及C=P，

則rank（C）=5，且B=CTC.設(shè)R=1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1，則

D1=DR=（α1? α2? α3? α4）1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1=（ξ α2? α3? α4）。

根據(jù)秩的性質(zhì)5，我們有

rank（DTBD）=rank（RTDTBDR）=rank（DT1BD1）=

rank（DT1CTCD1）.

欲證rank（DTBD）=3，只需證明rank（DT1CTCD1）=3.

根據(jù)秩的性質(zhì)6，

有rank（DT1CTCD1）=rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）.

故只需證明rank（CD1）=3.直接計(jì)算可得

CD1=C（ξ α2 α3 α4）=（0 Cα2 Cα3 Cα4）

注意到rank（B）=5及Bξ=0，可知BX=0的解空間是1維的且Bα2，Bα3，Bα4線性無(wú)關(guān).又B=CTC且rank（C）=5，故Cξ=0且Cα2，Cα3，Cα4線性無(wú)關(guān)，所以rank（CD1）=3證明完畢.

在課堂講授此例題時(shí)，要特別強(qiáng)調(diào)題目中的非負(fù)特征值條件是必不可少的.當(dāng)出現(xiàn)負(fù)特征值時(shí)，矩陣CD1是復(fù)矩陣，根據(jù)秩的性質(zhì)7，

rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）

一般不再成立.在此處可以讓學(xué)生深刻體會(huì)處理復(fù)矩陣時(shí)要注意到

rank（（CD1）*CD1）=rank（CD1）.

為進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)矩陣的秩的其他性質(zhì)以及對(duì)線性相關(guān)性的理解，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中可進(jìn)一步講解如下例題.

例2.設(shè)B是一個(gè)n×n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，D=（α1 … αm）是一個(gè)n×m矩陣，且rank（B）=n-1，rank（D）=m，Bξ=0（ξ≠0）且ξ∈span{α1，…，αm}.求證rank（BDDT）=m-1

證明：因?yàn)閞ank（D）=m，故α1，…，αm線性無(wú)關(guān)，從而存在唯一的一組不全為零的數(shù)c1，…，cm使得ξ=c1α1+…+cmαm.不失一般性，可設(shè)c1≠0.令

R=c1 0 … 0c2 1 … 0…? …? … 0cm? …? … 1，

則rank（R）=m.根據(jù)秩的性質(zhì)5，有rank（BDDT）=rank（BD）=rank（BDR），而

BDR=B（ξ α2 … αm）=（0 Bα2 … Bαm）

故有rank（BDDT）=rank（BDR）≤m-1.另一方面，根據(jù)秩的性質(zhì)5和性質(zhì)3，有

rank（BDDT）=rank（BD）≥rank（B）+rank（D）-n=m-1

從而可得rank（BDDT）=m-1證明完畢.

四、小結(jié)

本文討論了高等代數(shù)的重要教學(xué)內(nèi)容之一的矩陣的秩，我們首先引入了矩陣的秩的定義，然后討論了矩陣的秩的常用性質(zhì)，并特別指出了復(fù)矩陣的秩的一個(gè)重要性質(zhì).最后結(jié)合兩道有一定綜合性的例題，說(shuō)明實(shí)際教學(xué)過(guò)程中如何通過(guò)適當(dāng)?shù)睦}讓學(xué)生加深矩陣的秩的性質(zhì)的理解與應(yīng)用.在高等代數(shù)的其他內(nèi)容的教學(xué)上，案例教學(xué)法也是非常有效的，通過(guò)適當(dāng)?shù)陌咐v解，有助于加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，提升課堂教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[3]姚慕生，吳泉水，謝啟鴻.高等代數(shù)學(xué)（第三版）[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2014.

[4]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]鄭金洲.教學(xué)方法應(yīng)用指導(dǎo)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.

◎編輯 趙瑞峰