張大鵬　高楊　許夏茜

摘要：為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)測(cè)量力、熱場(chǎng)的薄膜體聲波諧振器（FBAR）傳感器的靈敏度，采用疊加于有限偏場(chǎng)之上的小增量場(chǎng)理論描述，提出一種攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解方法。該方法利用COMSOL有限元軟件計(jì)算FBAR傳感器受外界載荷下其壓電層AlN的平均偏置應(yīng)力，進(jìn)一步在COMSOL中計(jì)算FBAR的諧振頻率與相應(yīng)的振型，將有限元的計(jì)算數(shù)據(jù)代入攝動(dòng)積分公式中，得到FBAR傳感器的頻率靈敏度。并以一個(gè)圓膜片F(xiàn)BAR為案例，介紹該方法用于計(jì)算圓膜片F(xiàn)BAR頻率-集中力靈敏度的詳細(xì)過(guò)程。采用攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解方法得到的頻率靈敏度為41.3MHz/N，與文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果50MHz/N接近，驗(yàn)證了方法的可行性。

關(guān)鍵詞：傳感器;薄膜體聲波諧振器;頻率偏移;攝動(dòng);有限元

中圖分類號(hào)：TP212.1;TB931

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674–5124（2019）03–0012–06

Perturbation analysis of frequency shift in a thin film bulk acoustic wave resonator under biasing field

ZHANG Dapeng1， GAO Yang2， XU Xiaxi1

（1. School of Information Engineering， Southwest University of Science and Technology， Mianyang 621010， China; 2. Institute of Electronic Engineering， China Academy of Engineering Physics， Mianyang 621900， China）

Abstract： In order to accurately predict the sensitivity of thin film bulk acoustic wave resonator （FBAR） sensors for measuring mechanical or thermal field， a combined perturbation and finite element method is proposed based on the theory for small field superposed on the finite bias. Firstly， the average biasing stress of piezoelectric layer AlN of FBAR sensor under external load is calculated by COMSOL finite element software. Then， the resonant frequency and corresponding mode shape of FBAR are calculated in COMSOL. Finally， the calculated data of the finite element are substituted into the perturbation integral formula to obtain the frequency sensitivity of the FBAR sensor. The frequency sensitivity obtained by the perturbation and finite element method is 41.3 MHz/N， which is close to the reported experimental result of 50 MHz/N. The feasibility of this method is verified.

Keywords： sensor; thin film bulk acoustic wave resonator; frequency shift; perturbation; finite element

0 引言

1980年Lakin和Wang[1]公開(kāi)了第一個(gè)薄膜體聲波諧振器（thin film bulk acoustic wave resonator，F(xiàn)BAR），F(xiàn)BAR便以其高Q值、小體積、可集成化等特點(diǎn)逐漸吸引了研究者的關(guān)注。隨著移動(dòng)通信技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)BAR技術(shù)不僅在射頻濾波器應(yīng)用中得到了飛速發(fā)展，在傳感檢測(cè)應(yīng)用中也表現(xiàn)出了很大潛力[2]，比如生物化學(xué)檢測(cè)[3-4]、力學(xué)檢測(cè)[5-6]。FBAR換能器的生物化學(xué)檢測(cè)依賴于FBAR的質(zhì)量負(fù)載效應(yīng)，其靈敏度的預(yù)測(cè)方法由Sauerbrey方程[7]給出;力學(xué)檢測(cè)目前主要采用實(shí)驗(yàn)測(cè)試[8-11]的方法，其靈敏度的預(yù)測(cè)方法報(bào)道較少，且存在有效性和易用性問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于Mason模型的多尺度計(jì)算方法，文獻(xiàn)[13]提出了一種基于有限元的多尺度計(jì)算方法。這些方法都只修正了線性壓電理論中壓電材料的彈性常數(shù)，而偏場(chǎng)（力、電場(chǎng)）的存在會(huì)導(dǎo)致線性壓電理論失效，在偏場(chǎng)作用下壓電體的行為采用有效材料常數(shù)來(lái)描述，這是完全非線性壓電理論的結(jié)果。1971年Tiersten[14]給出了非線性壓電理論的基本方程組。對(duì)于諧振器在偏場(chǎng)作用下的行為，需要利用疊加于有限偏場(chǎng)之上的小增量場(chǎng)的線性方程來(lái)描述。Tiersten[15]在1978年給出了疊加于有限偏場(chǎng)之上的小增量場(chǎng)的線性方程的攝動(dòng)公式，Sinha和Tiersten[16-17]利用該公式研究了溫度對(duì)諧振器的影響，Kosinski[18]利用攝動(dòng)與結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合研究了石英晶體諧振器的加速度靈敏度，Masson等[19]利用攝動(dòng)與Fahmy-Adler公式相結(jié)合研究了受準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力的石英FBAR的應(yīng)力靈敏度。文獻(xiàn)[14-19]均是研究的石英晶體諧振器，石英是單晶，而在以AlN（氮化鋁）為壓電材料的FBAR中，AlN實(shí)質(zhì)是多晶，只是晶體在c軸（與c軸垂直的晶面為002面）方向有取向。因?yàn)轶w聲波是沿晶胞體內(nèi)傳播，而沿c軸體聲波速率最快，大多數(shù)晶胞都是趨向于c軸垂直于基片，這樣體聲波才能較為順利的定向傳播，也即AlN薄膜呈多晶c軸擇優(yōu)取向。利用上述方法預(yù)測(cè)AlNFBAR的頻率靈敏度并不能與文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。

針對(duì)以上不足，本文提出了一種攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解的方法。利用有限元軟件計(jì)算FBAR壓電層在外界載荷下的平均應(yīng)力、FBAR在無(wú)擾動(dòng)下的諧振頻率和振動(dòng)模態(tài)，再使用攝動(dòng)積分公式得到FBAR傳感器的頻率靈敏度。通過(guò)圓膜片F(xiàn)BAR的案例，描述了方法的具體流程，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[10]報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了方法的可行性。

1 模型建立與求解

1.1 攝動(dòng)積分法

壓電晶體諧振器在偏場(chǎng)作用下，最終狀態(tài)可通過(guò)兩步到達(dá)：一是在初始偏場(chǎng)作用下產(chǎn)生有限靜態(tài)變形和電場(chǎng);二是偏場(chǎng)之上的動(dòng)態(tài)小增量場(chǎng)。這種情況可以通過(guò)求解一系列線性偏微分方程而得到諧振器的最終狀態(tài)，只不過(guò)方程的系數(shù)與初始變形和場(chǎng)有關(guān)，這就是疊加于有限偏場(chǎng)之上的小增量場(chǎng)的線性方程的攝動(dòng)法。圖1所示為壓電晶體諧振器的3種構(gòu)型。

1）參考構(gòu)型。在t=0時(shí)刻，壓電體未發(fā)生形變而且不受電場(chǎng)作用。參考構(gòu)型中的壓電體質(zhì)點(diǎn)用X表示，其笛卡爾坐標(biāo)為XK，壓電體的密度用ρ0表示。

2）初始構(gòu)型。此時(shí)，壓電體上已受到有限靜電場(chǎng)或靜態(tài)力場(chǎng)作用，并且發(fā)生了有限靜態(tài)變形，這種變形和電場(chǎng)為偏場(chǎng)。此時(shí)壓電體質(zhì)點(diǎn)X的位置為x=x（X），應(yīng)變?yōu)镋0，電勢(shì)為φ0（X），偏置位移w=x?X。

3）現(xiàn)時(shí)構(gòu)型。向已在初始構(gòu)型中發(fā)生靜態(tài)變形的壓電體之上再施加與時(shí)間相關(guān)的小增量變形與電場(chǎng)。X的最終位置由y=y（X，t）確定，最終電勢(shì)為φ0（X）+φ1（X，t），位移增量u（X，t）=y（X，t）?x（X），電勢(shì)增量為φ1（X，t）。

疊加在偏場(chǎng)之上的小增量場(chǎng)的線性壓電方程可以表示為：

其中，大寫指標(biāo)表示參考構(gòu)型;小寫指標(biāo)表示現(xiàn)時(shí)構(gòu)型;希臘指標(biāo)表示初始構(gòu)型;指標(biāo)后面的逗號(hào)表示對(duì)坐標(biāo)的偏微分，指標(biāo)取值1，2，3，并服從愛(ài)因斯坦求和約定。第一Piola-Kirchhoff應(yīng)力增量KL1γ和電位移增量?1K線性依賴于位移梯度和電勢(shì)梯度。GLγMα、RMLγ和LKL分別被稱為有效彈性常數(shù)、有效壓電常數(shù)和有效介電常數(shù)。不論是石英還是AlN，它們都是壓電耦合效應(yīng)較弱的材料，因此可以只考慮有效彈性常數(shù)[17]：

其中，T-T0表示初始構(gòu)型下壓電體受到的偏場(chǎng)，如壓力、溫度等;cLγMα和cLγMαKN分別被稱為二階和三階彈性勁度常數(shù)（除非特別指出，后文均簡(jiǎn)稱為彈性常數(shù)）;c?LγMα被稱為彈性常數(shù)的偏置系數(shù);?cLγMα為由偏場(chǎng)引起的彈性常數(shù)線性變化;δγα為Kronecker張量;wα，K表示偏置變形梯度;T1和E1分別表示由偏場(chǎng)導(dǎo)致的靜態(tài)偏置應(yīng)力和應(yīng)變。靜態(tài)偏置應(yīng)力和應(yīng)變定義為：

而均勻剛性介質(zhì)的轉(zhuǎn)動(dòng)在壓電振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)中不起作用，應(yīng)變矩陣對(duì)稱，因而可以得到：

將式（5）和式（6）代入式（3）中，可以得到

其中，sABLM為彈性順度常數(shù)（elastic compliance constant）;彈性順度矩陣[s]與彈性勁度矩陣[c]互為逆矩陣，即：

對(duì)于計(jì)算壓電諧振器受到環(huán)境因素（如在諧振器中引起偏場(chǎng)分布的溫度、力和加速度變化等）而導(dǎo)致的頻率漂移是以疊加于有限偏場(chǎng)之上的小增量場(chǎng)理論為基礎(chǔ)的特征問(wèn)題。考慮純彈性非線性，Tiersten[15]給出了計(jì)算壓電諧振器由偏場(chǎng)引起的頻率漂移的一階攝動(dòng)積分公式：

其中，ω和ωμ分別為擾動(dòng)后和擾動(dòng)前壓電諧振器的特征角頻率;?μ表示諧振角頻率的變化;式（11）給出的攝動(dòng)積分公式看起來(lái)很復(fù)雜，但本質(zhì)上可以理解為：H表示諧振器在振動(dòng)模態(tài)下隨空間變化的有效彈性常數(shù)的加權(quán)平均值，其權(quán)重因子由振動(dòng)模態(tài)的振型決定;gμγ表示對(duì)振動(dòng)模態(tài)下實(shí)際位移uμγ的歸一化振型，壓電體的體積為V，上下標(biāo)μ表示第μ個(gè)特征模態(tài)。一階攝動(dòng)積分公式有效地將含偏場(chǎng)影響的復(fù)雜特征值問(wèn)題式（1）分解為求解偏場(chǎng)的狀態(tài)問(wèn)題和求解無(wú)偏場(chǎng)時(shí)的振動(dòng)問(wèn)題兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

對(duì)于測(cè)量力熱場(chǎng)的壓電傳感器而言，由偏場(chǎng)引起的頻率漂移還需要考慮彈性常數(shù)的線性變化?cLγMα，因此在式（11）中除了c?LγMα項(xiàng)，還要加上?cLγMα項(xiàng)，重寫式（11）為：

將式（14）代入式（10）中，通過(guò)變形可以得到由偏場(chǎng)引起的相對(duì)頻率偏移?μ為：

其中υL是壓電體表面S的法向量。假設(shè)表面應(yīng)力為0，則式（15）右邊的面積分可以消去。將式（4）和式（7）代入式（15）中，得到：

若偏置應(yīng)力T1在壓電體內(nèi)分布是均勻的，KN可設(shè)材料輔因子k和振動(dòng)模態(tài)因子U分別為：

因此諧振器頻率-偏置應(yīng)力靈敏度ΓKN可寫為：

諧振器由偏場(chǎng)導(dǎo)致的相對(duì)頻率偏移可簡(jiǎn)化為：

1.2 攝動(dòng)與有限元的聯(lián)合求解

當(dāng)FBAR傳感器受外界載荷時(shí)，F(xiàn)BAR受限于安裝結(jié)構(gòu)而發(fā)生變形，此時(shí)引起FBAR的諧振頻率漂移最主要的機(jī)制是聲速的變化。在決定聲速的因素中，壓電層的彈性常數(shù)是最主要的因素。因此采用攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解FBAR諧振頻率偏移的基本思路是：首先計(jì)算FBAR傳感器受外界載荷時(shí)，F(xiàn)BAR結(jié)構(gòu)的偏置應(yīng)力;然后計(jì)算FBAR壓電層的平均偏置應(yīng)力，建立外界載荷與平均偏置應(yīng)力的關(guān)系;接著利用有限元軟件求解FBAR的特征模態(tài)和特征頻率，并計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子ULγMα;再利用攝動(dòng)積分式（19）計(jì)算FBAR的頻率-應(yīng)力靈敏度;最后根據(jù)外界載荷與平均偏置應(yīng)力的關(guān)系，得到FBAR傳感器的頻率靈敏度。有限元軟件采用COMSOL Multiphysics軟件，具體步驟如下：

1）求解FBAR結(jié)構(gòu)偏置應(yīng)力。在COMSOL中建立FBAR傳感器的結(jié)構(gòu)模型，加載外界載荷進(jìn)行穩(wěn)態(tài)求解，得到FBAR結(jié)構(gòu)的偏置應(yīng)力分布云圖。外界載荷可以是加速度、壓力或溫度。

2）計(jì)算FBAR壓電層的平均偏置應(yīng)力。采用平均偏置應(yīng)力可以簡(jiǎn)化計(jì)算，并擬合出外界載荷與平均偏置應(yīng)力的關(guān)系式。

3）求解FBAR的特征模態(tài)和特征頻率。建立單獨(dú)的FBAR結(jié)構(gòu)模型，邊界條件與傳感器中保持一致，定義FBAR壓電層為積分域，使用特征頻率求解，得到FBAR縱波模式所對(duì)應(yīng)的特征頻率和相應(yīng)的振型，并計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子ULγMα。

4）計(jì)算頻率-偏置應(yīng)力靈敏度。利用壓電材料（AlN）彈性常數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系，得到dcLγMα的值，并計(jì)算材料輔因子kLγMαKN，將上述計(jì)算的數(shù)據(jù)代入式（19）中，可以得到FBAR的頻率-偏置應(yīng)力靈敏度。5）計(jì)算FBAR傳感器的頻率靈敏度。利用擬合的外界載荷-平均偏置應(yīng)力的關(guān)系式，得到FBAR頻率-外界載荷的靈敏度。

2 案例驗(yàn)證

本算例的結(jié)構(gòu)模型來(lái)自于文獻(xiàn)[10]中圓膜片型FBAR。在COMSOL軟件中建立圓膜片型FBAR結(jié)構(gòu)的二維軸對(duì)稱模型，其疊層結(jié)構(gòu)由下至上依次為支撐層Si（厚2μm）、絕緣層SiO2（厚0.4μm）、底電極Pt（厚0.15μm）、壓電層AlN（厚1μm）、頂電極Pt（厚0.15μm）、鈍化層Si3N4/SiO2（厚0.7μm/0.4μm）。設(shè)置其頂、底電極的電壓邊界條件分別為終端（1V）和接地（0V），側(cè)壁固定，對(duì)稱軸邊界條件為u（r）=0，即橫向位移為0，其二維軸對(duì)稱模型及邊界條件示意圖如圖2所示。外界載荷為集中力，作用于圓膜片F(xiàn)BAR的中心。計(jì)算過(guò)程中所涉及的材料參數(shù)如表1所示，AlN的三階彈性常數(shù)[20]如表2所示，表中與后面的計(jì)算均采用縮寫下標(biāo)表示。AlN共有10個(gè)獨(dú)立的三階彈性常數(shù)，其他三階彈性常數(shù)均可通過(guò)對(duì)稱關(guān)系[21]求解得到。

利用COMSOL中穩(wěn)態(tài)分析，圓膜片F(xiàn)BAR中心受到軸向的集中力載荷F，求解得到壓電層（AlN）的徑向平均（體平均）應(yīng)力T1、T1和軸向平均12應(yīng)力T31，并定義壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。而軸向平均應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于徑向平均應(yīng)力，可以忽略。徑向平均應(yīng)力與集中力載荷的關(guān)系如圖3所示，徑向平均應(yīng)力（Pa）與集中力載荷（N）擬合關(guān)系式為：

在FBAR傳感器中，F(xiàn)BAR僅僅是一個(gè)敏感元件，除了計(jì)算傳感器受外界載荷下壓電層的偏置應(yīng)力，還要單獨(dú)建立FBAR的結(jié)構(gòu)模型，用于計(jì)算FBAR的諧振頻率和相應(yīng)的振型，并且邊界條件需符合傳感器結(jié)構(gòu)。在此案例中，外界載荷直接作用于FBAR上，因此可以直接利用上述模型，不需要重新構(gòu)建。利用COMSOL特征頻率分析求解FBAR的諧振頻率及其相對(duì)應(yīng)的振型，得到FBAR的厚度拉伸模態(tài)（縱波模式）的振型如圖4所示，其諧振頻率約為1.3914GHz。定義FBAR壓電層為積分域，利用COMSOL的體積分計(jì)算振動(dòng)模態(tài)因子。在FBAR中主要考慮的是縱波模式，因此只需要計(jì)算U33。得到U33=1.2625ppm/MPa。

利用AlN的二階彈性常數(shù)和式（8），計(jì)算得到彈性順度常數(shù)sABLM，利用表3中AlN應(yīng)力-彈性常數(shù)的表達(dá)式[22]，計(jì)算得到dc33+dc33=?6.47，從表3中可以看出彈性常數(shù)對(duì)雙軸水平方向應(yīng)力P//的一階導(dǎo)數(shù)約為彈性常數(shù)對(duì)單軸水平方向應(yīng)力P/的一階導(dǎo)數(shù)的兩倍。將上述數(shù)據(jù)代入式（17）中，計(jì)算得到在縱波模式下受徑向應(yīng)力時(shí)，材料輔因子k331+k332=?11.914。最后將數(shù)據(jù)代入式（19）并結(jié)合式（21）得到FBAR頻率-集中力載荷靈敏度約為41.3MHz/N，與文獻(xiàn)[10]的靈敏度50MHz/N接近。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解方法，利用COMSOL中的穩(wěn)態(tài)分析求解壓電層AlN受到外界載荷下的平均偏置應(yīng)力，建立外界載荷和平均偏置應(yīng)力的關(guān)系，再利用COMSOL中的特征頻率分析求解FBAR的諧振頻率和相應(yīng)的振型，最后利用攝動(dòng)積分公式得到FBAR的頻率-外界載荷的靈敏度。使用攝動(dòng)與有限元聯(lián)合求解方法計(jì)算了圓膜片F(xiàn)BAR案例的頻率靈敏度約為41.3MHz/N，與文獻(xiàn)報(bào)道的頻率靈敏度50MHz/N接近，驗(yàn)證了方法的可行性。

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（編輯：李剛）