梁喜珠, 薛 紅, 王 瑞
(西安工程大學理學院, 西安 710048)
早期的關(guān)于最值期權(quán)的文獻都假設標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動。然而,在實際的金融市場中,標的資產(chǎn)價格會發(fā)生波動或跳躍現(xiàn)象。因此許多學者開始對Black-Scholes模型進行了改進,將Poisson過程引入金融模型中,提出了跳-擴散模型[1],跳-擴散模型解釋了標的資產(chǎn)價格呈現(xiàn)間斷性的“跳空”現(xiàn)象。
1976年,Merton[2]研究了帶有跳-擴散過程的普通歐式期權(quán)定價。文獻[3]借鑒Margrabe的方法得到了服從跳-擴散過程的幾種資產(chǎn)最大值的歐式看漲期權(quán)定價公式。隨著定價理論的不斷完善,許多研究者發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)價格更符合分數(shù)布朗運動。因此,文獻[4]假設標的資產(chǎn)價格服從分數(shù)跳-擴散過程,利用保險精算方法得到了最值期權(quán)的定價公式。
但為解決分數(shù)布朗運動并不能很好地刻畫金融市場的波動性及資產(chǎn)收益的“尖峰后尾”現(xiàn)象的缺陷,人們假設標的資產(chǎn)價格服從次分布朗運動[5],來研究期權(quán)的定價公式。Tudor[6]指出次分數(shù)布朗運動是較為一般的高斯過程,作為分數(shù)布朗運動的推廣,它保留了分數(shù)布朗運動的許多性質(zhì),但其增量非平穩(wěn)[7]。關(guān)于次分數(shù)布朗運動的研究參見文獻[8-10]。
將次分數(shù)布朗運動模型引入了跳-擴散過程,能更加貼切地描述現(xiàn)實金融市場?;谝陨涎芯浚疚脑诖畏謹?shù)布朗運動環(huán)境基礎(chǔ)上,引入了跳-擴散模型,在次分數(shù)跳-擴散模型下對最值期權(quán)進行研究。
(1)
假設股票價格滿足隨機微分方程
i=1,…,n,k=1,…,m,0≤t≤T
(2)
引理1[12]隨機微分方程(2)的解為
(3)
定義2[13]資產(chǎn)價格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]定義為
引理2[12]資產(chǎn)價格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]滿足
(4)
定義3[14]到期日為T,執(zhí)行價格為X,資產(chǎn)Si(T),Sj(T)的最大值歐式看漲、看跌期權(quán)在t時刻的保險精算價格定義為
其中無風險資產(chǎn)X以無風險利率r折現(xiàn),資產(chǎn)價格Si(T),Sj(T)按其期望回報率βi(u),βj(u)折現(xiàn)。
上述定義是基于保險精算方法的期權(quán)定價模型,在實際定價過程中,如E[(ST-X)+]=E[(ST-X)I{ST>X}](E表示T時刻實際概率測度下的數(shù)學期望),最關(guān)鍵的就是期權(quán)所執(zhí)行的條件,即示性函數(shù)I{ST>X}。因此,將根據(jù)示性函數(shù)具體推導最大值期權(quán)的定價公式。
定理1設資產(chǎn)價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式,則到期日為T,執(zhí)行價格為X的最大值歐式看漲期權(quán)在t時刻的保險精算價格
Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]}
其中
ci=bi+σi,di=aij+ρiσi,cj=bj+σj,dj=aij+ρjσj
證明令
則有
E[Xe-r(T-t)IA]=
E[e-μi(T-t)Si(T)I{-ηij E[e-μj(T-t)Sj(T)I{ηij<-aij,-ηj E1+E2-E3 下面開始計算E1: E1=E[e-μi(T-t)Si(T)IAA1]= E[Si(t)exp{-λiθi(T-t)- ξi}I{ -ξij < aijσij,-ξi E{E[Si(t)exp{-λiθi(T-t)- ξi}I{ -ξij ξi}I{-ηij 其中 ξi}I{-ηij σix}φ(x,y;ρi)dxdy= N(ci,di;ρi) 同理可得 E[Sj(t)exp{-λjθj(T-t)- ξj}I{ ξij<-aijσij,-ξj E{E[Sj(t)exp{-λjθj(T-t)- ξj}I{ ξij<-aijσij,-ξj ξj}I{ ηij<-aij,-ηj E3=E[Xe-r(T-t)IA]= Xe-r(T-t)E{E[IA|Ni(T-t),Nj(T-t)]}= nj}Xe-r(T-t)× E[IA|Ni(T-t)=ni,Nj(T-t)=nj]= nj}Xe-r(T-t)× E[I{-ηi 因此 Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(cj,-dj;-ρj)- Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]} 推論1當X=0時,次分數(shù)跳-擴散過程下最大值期權(quán)價格為 Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(-dj)} 由X=0,ci=cj=+∞,易證。 定理2設資產(chǎn)價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式,則到期日為T,執(zhí)行價格為X的最大值歐式看跌期權(quán)在t時刻的保險精算價格 Xe-r(T-t)-τmax+cmax= Si(t)exp{-λiθi(T-t)}N(-ci,di;-ρi)+ Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(-cj,-dj;ρj)} 其中N(x,y;ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij,ω見定理1。 注1當λi=0,Uik=0(i=0,…,n)時,可得次分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式最大值期權(quán)的定價。 定理3設資產(chǎn)價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式,則到期日為T,執(zhí)行價格為X的最小值歐式看漲期權(quán)在t時刻的保險精算價格 (6) 其中N(x,y;ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij,ω見定理1。 證明令 則根據(jù)定理1,同理可得 E[Xe-r(T-t)IB]= N(ci,-di;-ρi)+ Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(cj,dj;ρj)- Xe-r(T-t)N(bi,bj;ρij)} 推論2當X=0時,次分數(shù)跳-擴散過程下最小值期權(quán)價格為 Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(dj)} 當X=0時,ci=cj=+∞,易證。 定理4設資產(chǎn)價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式,則到期日為T,執(zhí)行價格為X的最小值歐式看跌期權(quán)在t時刻的保險精算價格 Si(t)exp{-λiθi(T-t)}N(-ci,-di;ρi)+ Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(-cj,dj;-ρj)} 其中N(x,y;ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij,ω見定理1。 注3當λi=0,Uik=0(i=0,…,n)時,可得次分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式最小值期權(quán)的定價(文獻[14])。 以兩資產(chǎn)最大值看漲期權(quán)為例,運用MATLAB軟件分析次分數(shù)跳-擴散過程下與Black-Scholes (B-S)模型下的期權(quán)價格變化。為了便于數(shù)值計算與分析,假定模型中的參數(shù)值為: S1=90,S2(0)=95,X=100,r=0.05,μ1=μ2=0,n2=30,n1=20,θ1=0.5,θ2=0.7,σ=(0.3 0.1 0.2;0.2 0.2 0.1), 計算兩資產(chǎn)最大值看漲期權(quán)在0時刻的保險精算價格,如下表所示: 表1 次分數(shù)跳-擴散模型下最大值看漲期權(quán)價格 表2 B-S模型下最大值看漲期權(quán)價格 表1和表2表明,次分數(shù)跳-擴散過程下的期權(quán)價格比B-S模型下的期權(quán)價格要高,說明了帶有跳-擴散的期權(quán)價格高于不帶跳-擴散的期權(quán)。所以,跳-擴散對標的資產(chǎn)的影響較大,研究次分數(shù)跳-擴散過程下的期權(quán)價格具有重要意義。 本文在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上,利用保險精算方法,探討了次分數(shù)跳擴散環(huán)境下兩種資產(chǎn)的最值期權(quán)定價公式。將帶跳躍的Poisson過程引入服從次分數(shù)布朗運動的金融市場中,解決了此環(huán)境下最大值、最小值的定價問題,能更加準確地描述現(xiàn)實市場。數(shù)值結(jié)果表明,本文研究具有一定的合理性和有效性。3 兩資產(chǎn)的最小值期權(quán)定價
4 數(shù)值計算與分析
5 結(jié)束語