顏玨

摘要：結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)有效數(shù)字的意義、有效數(shù)字位數(shù)的確定和解決實(shí)際問題時(shí)的注意點(diǎn)進(jìn)行較為全面的分析與解讀。

關(guān)鍵詞：有效數(shù)字;精確度;運(yùn)算規(guī)則

文章編號(hào)：1008-0546（2019）10-0028-03 中圖分類號(hào)：G633.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2019.10.007

在平時(shí)的中學(xué)化學(xué)教學(xué)中，教師、教材和教輔用書都存在對(duì)有效數(shù)字的認(rèn)識(shí)模糊或者錯(cuò)誤的現(xiàn)象。

一、有效數(shù)字的概念及其位數(shù)的確定

1.有效數(shù)字的含義與儀器的精確度

有效數(shù)字就是在測(cè)量中得到的具有實(shí)際意義的數(shù)字，即從儀器上能直接讀出的幾位數(shù)字（數(shù)字的最后一位是估讀出來(lái)的，是可疑的，其余各位數(shù)字是準(zhǔn)確的）。例如量取一定量的液體體積時(shí)，在最小刻度為1mL的量筒中，該液體的凹液面最低處是在15.3mL的位置（如圖1所示），其中15mL是準(zhǔn)確數(shù)字，0.3mL為估計(jì)數(shù)字，它可能有±0.1mL的誤差，兩項(xiàng)合在一起組成有效數(shù)字。該液體的體積為15.3mL，三位有效數(shù)字。如果該液體在最小刻度為0.1mL的滴定管中，它的凹液面最低處在15.35mL的位置（如圖2所示），其中15.3mL是準(zhǔn)確數(shù)字，0.05mL是估計(jì)數(shù)字，可能有±0.01mL的誤差，該液體的體積為15.35mL，15.35均為有效數(shù)字，有效數(shù)字為四位。

移液管和容量瓶雖然只有一條刻度線，但其能精確到0.1mL，估讀到0.01mL，一般精確度為±0.01mL，所以25mL的移液管移取液體的體積為（25.00±0.01）mL，不能記作25mL;100mL的容量瓶定容后溶液的體積為（100.00±0.01）mL，不能記作lOOmL。

可見，有效數(shù)字的位數(shù)是由測(cè)量?jī)x器的精密度決定的。例如，用量筒量取15mL液體，表示該液體的實(shí)際體積為（15.0±0.1）mL，如果用滴定管移取15mL液體，表示液體的實(shí)際體積為（15.00±0.01）mL。在托盤天平上讀出的5.4g，不能記錄為5.4000g;而在分析天平上讀出的數(shù)值5.4000g，也不能隨意記錄為5.4g，因?yàn)榍罢呖浯罅藢?shí)驗(yàn)的精確度，后者縮小了實(shí)驗(yàn)的精確度。任何超過或低于儀器精確程度的有效位數(shù)的數(shù)字都是不恰當(dāng)不科學(xué)的。

綜上所述，有效數(shù)字與數(shù)學(xué)上的數(shù)值有著不同的含義，數(shù)學(xué)上的數(shù)僅表示大小，有效數(shù)字不僅表示了數(shù)值的大小，而且還反映了所用儀器的精密度和測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，不同儀器的精密度不同，其有效數(shù)字表示的位數(shù)也不同，所以在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄和計(jì)算中要特別注意。有效數(shù)字的位數(shù)越多，對(duì)應(yīng)需要的實(shí)驗(yàn)儀器的精度要求也越高?？茖W(xué)的保留、記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是一件重要的事情。

2.有效數(shù)字位數(shù)的確定

有效數(shù)字位數(shù)確定中，關(guān)鍵是“0”在數(shù)字中是否為有效數(shù)字，這與“0”在數(shù)字中的位置有關(guān)。如果“0”在數(shù)字前，僅僅起定位的作用，“0”本身不是有效數(shù)字，如0.00387中，數(shù)字3前的三個(gè)“0”均不是有效數(shù)字，所以0.00387是三位有效數(shù)字。如果“0”在數(shù)字中間，則都是有效數(shù)字，4.0085中的兩個(gè)“0”都是有效數(shù)字，4.0085是五位有效數(shù)字。如果“0”在小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字后，也是有效數(shù)字，如6.700中的兩個(gè)“0”都是有效數(shù)字，6.700是四位有效數(shù)字。如果用指數(shù)表示法表示數(shù)值時(shí)，測(cè)量所得的有效數(shù)字位數(shù)就等于給出數(shù)字的位數(shù)。例如7.8x10⁴是兩位有效數(shù)字，7.80x10⁴則是三位有效數(shù)字。

二、有效數(shù)字的修約與運(yùn)算規(guī)則

1.有效數(shù)字的修約

有效數(shù)字的修約就是在數(shù)據(jù)運(yùn)算時(shí)，按一定的規(guī)則舍去多余的尾數(shù)。數(shù)據(jù)修約一般只能一次完成，不能分幾次進(jìn)行。數(shù)據(jù)的修約原則是“四舍六人五留X2"。即被修約的那個(gè)數(shù)，若大于5，則其前一位數(shù)字加1;若小于5則舍去;若等于5時(shí)，如果前一位為奇數(shù)，則加1，如果前一位為偶數(shù)，則舍去（總之，5前面的數(shù)字最終為雙數(shù)）。例如對(duì)21.0248，取四位有效數(shù)字時(shí)，結(jié)果為21.02。取五位有效數(shù)字時(shí)，結(jié)果為21.025，但將21.025與21.035取四位有效數(shù)字時(shí)，則分別為：21.02與21.04。但若5之后還有數(shù)字，則總是舍去后在前面加1，如52.0451，取四位有效數(shù)字的結(jié)果為52.05。

2.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

（1）加減法

在計(jì)算幾個(gè)數(shù)相加或相減時(shí)，以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，即遵循有效數(shù)字只保留一位可疑數(shù)字的原則將其他數(shù)字修約。例如：8.0324+41.35+0.657=8.03+41.35+0.66=50.04。

（2）乘除法

在計(jì)算幾個(gè)數(shù)相乘或相除時(shí)，以相對(duì)誤差最大的一個(gè)數(shù)字為基準(zhǔn)，即以各數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為依據(jù)，將其他數(shù)字修約后進(jìn)行計(jì)算，而與小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。例如：0.0121x12.121x1.21212=0.0121x12.1x1.21=0.177。

（3）對(duì)數(shù)運(yùn)算

進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，對(duì)數(shù)值的有效數(shù)字由小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)決定，首數(shù)部分（小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)）為10的冪數(shù)，不是有效數(shù)字。例如：2345為四位有效數(shù)字，其對(duì)數(shù)為lg2345=3.3701，其小數(shù)點(diǎn)后尾數(shù)部分仍保留四位，因?yàn)槭讛?shù)“3”不是有效數(shù)字，所以不能記成：lg2345=3.370，因?yàn)橹挥腥挥行?shù)字。

三、有效數(shù)字在中學(xué)化學(xué)教學(xué)及應(yīng)用中的規(guī)范及應(yīng)注意的問題

1.教材中值得商榷的幾處問題

瀏覽了幾種版本的教材中的計(jì)算示例，總體都很關(guān)注有效數(shù)字的規(guī)范使用，但還有幾處值得商榷。

滬教版九年級(jí)上101頁(yè)“觀察與思考”中的解法二，計(jì)算氧化鋁中鋁的質(zhì)量分?jǐn)?shù)的結(jié)果表達(dá)為“53.0%”，值得商榷。一方面，初中化學(xué)沒有關(guān)于有效數(shù)字的要求;另一方面，題中所給數(shù)據(jù)均為兩位有效數(shù)字，所以表達(dá)為“53.0%”，而不是53%，是不妥的，也是不科學(xué)的。

蘇教版的《化學(xué)1》25頁(yè)的【例5】，題中所給數(shù)據(jù)均為四位有效數(shù)字，但最終計(jì)算出的鹽酸濃度為0.0980mol·L^-1，僅為3位有效數(shù)字，是否應(yīng)該修正為“0.09800mol·L^-1”呢？

蘇教版的《化學(xué)反應(yīng)原理》50頁(yè)的【例2】，題中所給數(shù)據(jù)均為三位有效數(shù)字，但最終的計(jì)算結(jié)果是50%，僅為兩位有效數(shù)字，是否應(yīng)該修正為“50.0%”呢？

人教版的選修4《化學(xué)反應(yīng)原理》14頁(yè)的例1中，題中給定數(shù)據(jù)表明要保留兩位有效數(shù)字，但計(jì)算結(jié)果是411，不是很規(guī)范，最好表達(dá)為4.1x10²，在該頁(yè)的例2中的結(jié)果表達(dá)為2.971x10⁴，按題給數(shù)據(jù)要求，結(jié)果是四位有效數(shù)字，就是很規(guī)范的表達(dá)。

人教版的選修4《化學(xué)反應(yīng)原理》47頁(yè)的從氫離子濃度求pH的范例中，離子濃度均為兩位有效數(shù)字，計(jì)算的pH也都應(yīng)該是兩位有效數(shù)字，即依次表達(dá)為7.00、5.00、9.00等更為規(guī)范。

2.溶液配制中的有效數(shù)字問題

蘇教版的《化學(xué)1》24頁(yè)，用碳酸鈉固體配制lOOmL 0.100mol·L^-1的碳酸鈉溶液，在調(diào)研聽課中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)校因沒有電子天平，而將計(jì)算結(jié)果約等于1.1g，然后用托盤天平稱量。這樣做顯然是錯(cuò)誤的，由于數(shù)據(jù)要求是三位有效數(shù)字，故計(jì)算結(jié)果必須保留三位有效數(shù)字，即1.06g。隨意取舍而不注意有效數(shù)字的問題，既不理解教材的編寫意圖，也不符合精確配制溶液的要求。

在習(xí)題或測(cè)試卷中，還經(jīng)?？吹剑骸坝?8%的濃硫酸配制100mL 1.00mol·L^-1的稀硫酸”，顯然這樣的命題本身就存在問題，因?yàn)闈饬蛩嵋孜艺吵矶群艽?，不可能?zhǔn)確移取到5.34mL的濃硫酸，也就不可能達(dá)到上述的精度，無(wú)法完成精配。類似的濃鹽酸、濃硝酸、固體氫氧化鈉等都不可能達(dá)到精配的要求，因此在實(shí)驗(yàn)室只能先粗配，然后標(biāo)定其實(shí)際濃度。這些科學(xué)性的問題，我們?cè)诮虒W(xué)和命題中必須正視。

3.溶液pH計(jì)算中易錯(cuò)的問題

在pH的計(jì)算中，若c（H⁺）=4.9x10^-11mol·L^-1，該數(shù)據(jù)表明是兩位有效數(shù)字，所以pH=-lg c（H⁺）=10.31，有效數(shù)字仍然只能是兩位（小數(shù)點(diǎn)前的10不是有效數(shù)字）;反之，由pH=10.31計(jì)算氫離子濃度時(shí)，也只能記作c（H⁺）=4.9x10^-11，而不能記為4.898x10^-11。

四、教學(xué)改進(jìn)措施

1.教材中適當(dāng)增加有效數(shù)字的編寫內(nèi)容

目前初中、高中的幾套化學(xué)教材中，都沒有涉及到有效數(shù)字的教學(xué)章節(jié)，學(xué)生對(duì)于有效數(shù)字的概念模糊，只是機(jī)械地在解題或者實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)教師或者習(xí)題要求將最終數(shù)據(jù)結(jié)果保留一定的有效數(shù)字位數(shù)，而不知其所以然。而相比較美國(guó)主流的理科教材《化學(xué)概念與應(yīng)用》，雖然有效數(shù)字的章節(jié)并沒有出現(xiàn)在教材正文中，但是在附錄化學(xué)技術(shù)手冊(cè)中，較為詳細(xì)地介紹了如何進(jìn)行科學(xué)測(cè)量及記錄數(shù)據(jù)。教材中還展示了用不同最小刻度的尺子量取物體長(zhǎng)度、用電子天平稱量不同物體的質(zhì)量，讓學(xué)生直觀感受有效數(shù)字問題對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的影響。在介紹了科學(xué)的測(cè)定、有效數(shù)字的保留、計(jì)算等問題后，還設(shè)置了相關(guān)的習(xí)題示范和練習(xí)鞏固。因此，建議國(guó)內(nèi)中學(xué)化學(xué)教材中也適當(dāng)增加有效數(shù)字的內(nèi)容，讓教師和學(xué)生在教學(xué)和學(xué)習(xí)中更加重視和了解有效數(shù)字的相關(guān)問題，并得到相應(yīng)的習(xí)題訓(xùn)練。

2.規(guī)范現(xiàn)有教材中有效數(shù)字保留不規(guī)范、表述不科學(xué)的地方

在現(xiàn)有的教材、練習(xí)冊(cè)、實(shí)驗(yàn)冊(cè)等材料中，發(fā)現(xiàn)很多有效數(shù)字保留不規(guī)范、表述不科學(xué)的地方，會(huì)給學(xué)生錯(cuò)誤的示范并誤導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué)。只有在教材編寫和習(xí)題挑選時(shí)重視有效數(shù)字問題，才能給學(xué)生正確的示范、科學(xué)的導(dǎo)向，才能在日常的學(xué)習(xí)中加深學(xué)生對(duì)于有效數(shù)字的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步規(guī)范實(shí)驗(yàn)操作、科學(xué)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確保留有效數(shù)字位數(shù)。

3.重視實(shí)驗(yàn)教學(xué)，設(shè)計(jì)有效數(shù)字保留位數(shù)不同對(duì)結(jié)果有明顯影響的化學(xué)實(shí)驗(yàn)

目前有效數(shù)字的教學(xué)，大部分都是“紙上談兵”，都是學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作時(shí)根據(jù)教師要求，或者在答題時(shí)根據(jù)考題要求，對(duì)數(shù)值進(jìn)行機(jī)械地取舍、計(jì)算，而沒有從根本上知曉為何要這樣記錄、取舍、計(jì)算，如果不這樣做，會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成什么影響。在實(shí)際教學(xué)中，一方面教師讓學(xué)生了解，有效數(shù)字與實(shí)驗(yàn)儀器的精準(zhǔn)度有著不可分割的關(guān)系，另一方面，教師可以在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中設(shè)計(jì)一些有效數(shù)字位數(shù)保留不同，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著影響的實(shí)驗(yàn)操作。

五、結(jié)束語(yǔ)

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，不僅要規(guī)范地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，準(zhǔn)確地測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，還需要科學(xué)地記錄處理數(shù)據(jù)，因?yàn)闇y(cè)量和記錄的數(shù)據(jù)不僅代表物質(zhì)成分含量的多少，還體現(xiàn)了測(cè)定操作的準(zhǔn)確性和儀器的精密度。雖然上述討論的問題不會(huì)對(duì)學(xué)生的考試成績(jī)產(chǎn)生多大的影響，但這不僅是學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，更是學(xué)生將來(lái)進(jìn)行科學(xué)研究必備的基礎(chǔ)知識(shí)，教師在教學(xué)中要重視起來(lái)，要教給學(xué)生科學(xué)的知識(shí)、有用的知識(shí)。