曲安京 辛佳岱

(西北大學(xué)科學(xué)史高等研究院，西安 710127)

劉焯的《皇極歷》(公元604年)是中國(guó)歷史上一部極具創(chuàng)新性的歷法，它雖然未獲頒行，但是，劉焯在這部歷法中創(chuàng)造的分段二次插值算法，對(duì)后世歷法的編制模式，產(chǎn)生了很大的影響[1]。我們知道，對(duì)于歷法中的許多計(jì)算，為了構(gòu)造分段的高次插值公式，通常需要預(yù)先構(gòu)造一個(gè)(24氣的)天文數(shù)表，在理想的情形下，這個(gè)數(shù)表應(yīng)該是一個(gè)完整的差分表?！痘蕵O歷》中的夜半漏刻與昏去中星表，就是為了構(gòu)造相應(yīng)的分段二次插值公式設(shè)計(jì)的天文數(shù)表。

不過，《皇極歷》的這個(gè)天文數(shù)表，有不少的錯(cuò)訛，嚴(yán)敦杰與陳美東先生對(duì)此都有校正，但是，仍然存在不少的問題。主要的原因是，目前的研究者雖然搞清楚了這個(gè)天文表的天文意義，但是，對(duì)其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)均未曾考慮。因此，很難確認(rèn)已經(jīng)給出的?？笔欠袷呛线m的。本文希望從這個(gè)天文表的構(gòu)造原理入手，重新考察這個(gè)問題。

1 問題與原理

《皇極歷》收錄在《隋書·律歷志》卷十八，在1976年中華書局編輯出版的《二十四史》中，嚴(yán)敦杰承擔(dān)了《隋書·律歷志》的?？保渲袑?duì)《皇極歷》夜半漏刻與昏去中星表的數(shù)據(jù)給出了8條?？盵2]。陳美東在這個(gè)基礎(chǔ)上，又給出了8條?？?[3]，頁(yè)47—48)。為了考驗(yàn)前人?？钡臏?zhǔn)確性，我們需要解釋一下《皇極歷》中的夜半漏刻與昏去中星的天文意義和數(shù)學(xué)關(guān)系。

為了計(jì)算每日晝夜漏刻的長(zhǎng)度、每日昏旦時(shí)刻太陽(yáng)到中星的距離，《皇極歷》設(shè)計(jì)了一張24氣的夜半漏刻與昏去中星度天文數(shù)表。利用這個(gè)天文數(shù)表，可以構(gòu)造相應(yīng)的分段插值公式，以計(jì)算每日晝夜漏刻的長(zhǎng)度與當(dāng)日昏旦時(shí)刻太陽(yáng)到中星的距離。所以，討論這個(gè)天文表的構(gòu)造方法，是一件有意義的工作。為此，我們將《隋書·律歷志》中記錄的《皇極歷》24氣的夜半漏刻與昏去中星度的原文數(shù)據(jù)照錄如表1所示。為方便醒目，我們將原文的數(shù)字均改為阿拉伯?dāng)?shù)字。

夜半漏的單位為刻，1刻=100分，例如，谷雨日，夜半漏為“二十刻 三半”，即這一天夜漏刻一半的長(zhǎng)度為20.035刻。

由于對(duì)稱性，除冬至、夏至外，其余各氣的數(shù)據(jù)應(yīng)該成對(duì)出現(xiàn)，彼此相等，為了便于比較，我們將彼此數(shù)據(jù)應(yīng)該相等的兩氣并列一行，分別依次羅列出兩氣的夜半漏與昏去中星常數(shù)。

例如：查表1大寒與小雪，大寒夜半漏為“二十六刻 七十六”，小雪夜半漏為“二十六刻 九十六”；而大寒的昏去中星為“八十五度 六”，我們用“同左”表示，小雪的昏去中星也是“八十五度 六”。

因此，實(shí)際上，表1中共有兩欄數(shù)字，其中“夜半漏”，是夜漏刻的一半；“昏去中星”，是昏時(shí)刻太陽(yáng)到中星的距離。

表1 《皇極歷》夜半漏與昏去中星原始數(shù)據(jù)

表1中的夜半漏有4處不同、昏去中星有3處不同，嚴(yán)敦杰根據(jù)對(duì)稱性，對(duì)這些數(shù)據(jù)以及冬至夜半漏的數(shù)據(jù)給出了8條?？薄ｊ惷罇|根據(jù)嚴(yán)敦杰的?？苯Y(jié)果，通過夜半漏來歸算昏去中星，對(duì)后者又給出了8處新的?？?。這些?？保扇〉母鶕?jù)有二，其一，24氣的對(duì)稱性；其二，昏去中星是根據(jù)夜半漏歸算出來的。

嚴(yán)敦杰和陳美東的假設(shè)是有道理的，不過，他們都忽略了一個(gè)事實(shí)，那就是，《皇極歷》24氣的夜半漏常數(shù)，不僅滿足對(duì)稱性，而且可能構(gòu)成了一個(gè)高階的差分表。另外，在根據(jù)夜半漏歸算昏去中星常數(shù)時(shí)，陳美東沒有考慮各氣昏去中星常數(shù)之轉(zhuǎn)分(余分)的取舍值的累積效果，由此導(dǎo)致了昏去中星計(jì)算結(jié)果與原文多處不合，需要校改的現(xiàn)象[4]。

為了搞清楚表1的構(gòu)造方法，我們首先需要明確夜半漏與昏去中星的數(shù)學(xué)關(guān)系。假設(shè)某日昏時(shí)刻太陽(yáng)的宿度為A、中星的宿度為B，令s表示恒星年的長(zhǎng)度，則有

由于夜刻=100-晝刻=2×夜半漏，推得：晝刻=100-2×夜半漏。因此有：

所以，昏去中星，就是昏時(shí)刻太陽(yáng)與中星的宿度差。按《皇極歷》恒星年

《皇極歷》的昏去中星和夜半漏有如下的關(guān)系

昏去中星=(50-夜半漏)×3.662576(度)

(1)

因此，昏去中星的數(shù)據(jù)，可以根據(jù)夜半漏歸算出來。為此，需要考察《皇極歷》24氣夜半漏刻的構(gòu)造方法。

通常，我們可以根據(jù)二分二至，將一個(gè)回歸年劃分為四個(gè)部分，對(duì)于漏刻表來說，冬至和夏至前后，分別是對(duì)稱的。因此，漏刻表，基本上可以按照冬至前后、夏至前后的6氣數(shù)據(jù)，分別討論他們的構(gòu)造方法。

2 冬至前后漏刻表的校正

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)理天文學(xué)中的很多天文數(shù)表，都可以從差分表的角度來進(jìn)行分析。例如，我們?cè)?jīng)復(fù)原的《大衍歷》晷影差分表，就是一個(gè)分段的高階差分表[5]。由于差分表的構(gòu)造，具有明確的數(shù)學(xué)意義，因此，一組數(shù)據(jù)如果構(gòu)成了一個(gè)完整的高階差分表，就不是可以隨意湊出來的。我們可以利用高階差分表的這個(gè)性質(zhì)，復(fù)原或校正歷法中的出現(xiàn)了部分錯(cuò)亂數(shù)據(jù)的天文表。

對(duì)于《皇極歷》的漏刻表，我們首先以冬至為中心，討論秋分到春分各氣夜半漏常數(shù)的構(gòu)成。根據(jù)表1的原始數(shù)據(jù)，如果進(jìn)行一點(diǎn)點(diǎn)微調(diào)，我們發(fā)現(xiàn)，其中的冬至前后的夜半漏，構(gòu)成了一個(gè)完美的5階差分表，如表2所示。其中“原文”一欄的數(shù)據(jù)錄自表1中的“夜半漏”，單位為“分”，若相應(yīng)各氣的夜半漏原文數(shù)據(jù)與表2第三欄的“夜半漏”數(shù)據(jù)相同，則不予錄寫。例如，立冬的夜半漏原文數(shù)據(jù)為25.985刻，與表2中的第三欄“夜半漏”數(shù)據(jù)相同，故未錄寫。

表2 《皇極歷》夜半漏的差分表(冬至前后)

冬至夜半漏原文為27.42刻，應(yīng)為27.43刻，這個(gè)數(shù)據(jù)已經(jīng)為嚴(yán)敦杰校改。實(shí)際上，根據(jù)表1中的夏至昏去中星118度40分，可以驗(yàn)證《皇極歷》的夏至夜半漏為17.57刻，與記載相符，由此可以很容易推出，冬至夜半漏為45-17.57=27.43刻。

根據(jù)對(duì)稱性，立春與立冬的夜半漏應(yīng)該相等，顯而易見，立春的25.865刻，出現(xiàn)了錯(cuò)誤，應(yīng)與立冬的25.985刻一致。大寒與小雪的情形類似，兩者的夜半漏也應(yīng)該相等，嚴(yán)敦杰校改為26.76刻，接近正確。

顯而易見，《皇極歷》冬至前后各氣的夜半漏常數(shù)，構(gòu)成了一個(gè)非常完整的5階差分表?，F(xiàn)在的問題是，原文記錄小寒與大雪夜半漏均為27.26刻，大寒夜半漏為26.76刻，它們與差分表的相應(yīng)數(shù)據(jù)均只差0.005刻，是否需要校改？

為此，我們可以通過對(duì)冬至前后各氣昏去中星常數(shù)的歸算，來進(jìn)行驗(yàn)證。

根據(jù)表2校改后的夜半漏數(shù)據(jù)，按照公式(1)，可以歸算冬至前后相應(yīng)各氣的昏去中星常數(shù)，如表3所示。第四欄“昏去中星”的1度=52轉(zhuǎn)分，其中的“轉(zhuǎn)分”，是將第三欄數(shù)據(jù)的小數(shù)部分乘以52得來的。例如：冬至日昏去中星的計(jì)算

第五欄的“累積分”是從冬至起，累加各氣第四欄的“轉(zhuǎn)分”，再減去各氣第六欄的“取整”數(shù)據(jù)得到的，這個(gè)結(jié)果相當(dāng)于，本氣第四欄的“轉(zhuǎn)分”，加上前一行的“累積分”，再減去其“取整”值，例如：立春與立冬的“累積分”

49.75+5.62-6=49.37

第六欄的“取整”值是根據(jù)第五欄的數(shù)據(jù)的“累積分”，按四舍五入得到的。

根據(jù)表3，原文記錄的昏去中星，除了冬至日的“82度 轉(zhuǎn)分47”明顯有誤之外，只有小寒與大雪的轉(zhuǎn)分15與原文的轉(zhuǎn)分16稍有差異，其余結(jié)果，完全吻合。

表3 《皇極歷》昏去中星數(shù)據(jù)的推算(冬至前后)

那么，如果我們對(duì)小寒與大雪、大寒與小雪等四氣的兩個(gè)夜半漏數(shù)據(jù)不進(jìn)行校改，結(jié)果會(huì)是怎樣的呢？表4顯示，小寒與大雪的夜半漏取27.26刻時(shí)，歸算的昏去中星為83度14分，與原文(83度16分)不同；而大寒與小雪的夜半漏取26.76刻時(shí)，歸算的昏去中星為85度7分，亦與原文(85度6分)不同。因此，此四氣的昏去中星常數(shù)均需要校改，而此時(shí)的夜半漏，不再符合表2所展示的完整的差分表。

對(duì)于高階差分表，數(shù)據(jù)的些微調(diào)整，就可能破壞整個(gè)差分表的完整性。因此，要構(gòu)造一個(gè)5階差分表，絕非易事。構(gòu)造出表2這樣的5階差分表，完全不可能是一種巧合，一定是人為的結(jié)果。由此可以判定，大寒與小寒等四氣的兩個(gè)夜半漏數(shù)據(jù)，應(yīng)該按照表2第三欄“夜半漏”的數(shù)據(jù)進(jìn)行校改。

表4 小寒與大寒夜半漏必須校正的原因

另外，陳美東將冬至的昏去中星值校正為“82度 轉(zhuǎn)分34.5”([3]，頁(yè)47)，如此，則無論是否對(duì)大寒與小寒等四氣的兩個(gè)夜半漏進(jìn)行校改，都會(huì)影響到立春到春分、秋分到立冬等各氣的昏去中星的歸算結(jié)果。例如，此時(shí)，立春與立冬的昏去中星的歸算結(jié)果，均為87度50分，與原文的87度49分不同，從漢語(yǔ)的敘述來說，“五十”與“四十九”是非常不同的，出現(xiàn)這種訛誤的可能性相對(duì)較小。

綜上所述，從數(shù)表構(gòu)造的規(guī)范性、與原文的貼近程度、昏去中星的歸算結(jié)果等方面考量，《皇極歷》冬至前后的夜半漏與昏去中星的數(shù)據(jù)，都應(yīng)該根據(jù)表3中第二欄的“夜半漏”與第七欄的“計(jì)算結(jié)果”進(jìn)行校正。

3 夏至前后漏刻表的校正

根據(jù)前面的論述，我們可以確認(rèn)，《皇極歷》冬至前后的夜半漏常數(shù)，是按照表2所示的差分表構(gòu)造出來的。按照漏刻的對(duì)稱性，夏至前后各氣的夜半漏常數(shù)，應(yīng)該符合相同的構(gòu)造規(guī)律。由此，我們不難根據(jù)原始數(shù)據(jù)，推算出一個(gè)結(jié)果，如表5所示。

表5 夜半漏的差分表(夏至前后)

與表2類似，表5中第二欄“原文”的數(shù)據(jù)，錄自表1，單位為“分”。這一欄對(duì)應(yīng)各氣的數(shù)據(jù)若與第三欄的“夜半漏”數(shù)據(jù)相同，則付之闕如。

按照表5，除了處暑與白露兩處明顯的錯(cuò)誤之外，原文中芒種與小暑的17.69刻、小滿與大暑的18.23刻，都與差分表的數(shù)據(jù)不同。這兩組數(shù)據(jù)，究竟有沒有問題，我們?nèi)匀煌ㄟ^對(duì)昏去中星的歸算來進(jìn)行驗(yàn)算。

根據(jù)表5中符合差分表的夜半漏，按照公式(1)，可以歸算夏至前后相應(yīng)各氣的昏去中星常數(shù)，結(jié)果如表6所示。其中各欄目的計(jì)算方法和意義，見上一節(jié)對(duì)表3的解釋。在表6中，昏去中星的計(jì)算結(jié)果，芒種與小暑為118度8分，轉(zhuǎn)分8與原文的轉(zhuǎn)分18不同；小滿與大暑為116度17分，轉(zhuǎn)分17與原文的轉(zhuǎn)分19也是不同的。

那么，芒種等四氣的兩個(gè)數(shù)據(jù)的差異，究竟是原文的訛誤，還是有別的原因呢？

表6 根據(jù)5階差分的夜半漏刻推算夏至前后兩氣的昏去中星

我們按照《皇極歷》夜半漏的原始數(shù)據(jù)，重新歸算夏至前后的昏去中星，結(jié)果如表7所示。發(fā)現(xiàn)只有清明與白露的轉(zhuǎn)分“21”與歸算結(jié)果的轉(zhuǎn)分“20”稍有誤差，其余計(jì)算結(jié)果與原文完全吻合。這就說明，《皇極歷》夏至前后的夜半漏常數(shù)，應(yīng)該是沒有完全采納表5構(gòu)造的那個(gè)5階差分表，而是對(duì)其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)整，其中小滿與大暑的夜半漏18.23刻，應(yīng)該是從18.235刻約化而來；芒種與小暑的17.69刻，與差分表的17.745刻差別較大，應(yīng)該是根據(jù)一些其他因素調(diào)整的結(jié)果。其余各氣的夜半漏常數(shù)，照錄表5中的5階差分表。

表7 《皇極歷》昏去中星數(shù)據(jù)的推算(夏至前后)

通過這些計(jì)算，可以確定，《皇極歷》夏至前后的夜半漏常數(shù)，應(yīng)該是先按照冬至前后夜半漏的5階差分表(表2)的構(gòu)造方法，構(gòu)造了夏至前后各氣的夜半漏常數(shù)，如表5所示，然后，通過將小滿與大暑的夜半漏調(diào)整為18.23刻，將芒種與小暑的夜半漏調(diào)整為17.69刻，而得到《皇極歷》夏至前后各氣夜半漏的歷取值。再根據(jù)這些夜半漏的歷取值，歸算出《皇極歷》夏至前后各氣的昏去中星的歷取值，如表7所示。

表3與表7，分別給出了《皇極歷》在冬至前后與夏至前后24氣的夜半漏常數(shù)，以及據(jù)此歸算的《皇極歷》24氣昏去中星度的歷取值。從這些計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，《隋書·律歷志》記載的《皇極歷》原文，除了冬至日昏去中星度的“轉(zhuǎn)分 47”明顯有誤之外，只有小寒與大雪的轉(zhuǎn)分“16”與歸算結(jié)果的轉(zhuǎn)分“15”，以及清明與白露的轉(zhuǎn)分“21”與歸算結(jié)果的轉(zhuǎn)分“20”稍有誤差，其余數(shù)據(jù)則完全吻合。由此可以確證，表3與表7中記錄的24氣夜半漏常數(shù)與其推算的昏去中星的“計(jì)算結(jié)果”，應(yīng)該就是《皇極歷》的歷取值。

至此，綜合表3與表7的結(jié)果，可以得到我們對(duì)《皇極歷》24氣的夜半漏與昏去中星常數(shù)的校正，我們將這個(gè)新的校正結(jié)果按照原文的書寫形式，羅列如表8所示。

表8 《皇極歷》夜半漏與昏去中星表校正結(jié)果

續(xù)表8

4 結(jié) 論

本文發(fā)現(xiàn)了《皇極歷》24氣夜半漏刻常數(shù)表的構(gòu)造形式。劉焯在確定冬至前后各氣夜半漏刻的歷取常數(shù)時(shí)，構(gòu)造了一個(gè)完整的5階差分表，如表2所示。然后，根據(jù)對(duì)稱性，可以構(gòu)造出夏至前后各氣的夜半漏刻常數(shù)，如表5所示。不過，由于24氣的昏去中星常數(shù)，是由相應(yīng)的夜半漏刻常數(shù)歸算出來的，根據(jù)表7的計(jì)算可以證明，劉焯并沒有完全照搬表5的夜半漏刻常數(shù)，而是在表5的那個(gè)夜半漏刻5階差分表的基礎(chǔ)上，對(duì)芒種與小暑、小滿與大暑的兩個(gè)夜半漏刻常數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，其余則采用了表5的差分表的計(jì)算結(jié)果。我們由此從算法的原理上，對(duì)《皇極歷》的這個(gè)相關(guān)的天文數(shù)表進(jìn)行了徹底的?？?。

如表8所示，對(duì)原文的48個(gè)數(shù)據(jù)，我們共進(jìn)行了16處校勘。其中冬至、立春、處暑、白露的夜半漏，雨水、秋分、立冬的昏去中星等7個(gè)數(shù)據(jù)，支持了嚴(yán)敦杰根據(jù)24氣的對(duì)稱性所進(jìn)行的校正結(jié)果。小寒與大雪的昏去中星等2個(gè)數(shù)據(jù)，支持了陳美東的校正結(jié)果。冬至、清明、白露的昏去中星，與小寒、大雪、大寒、小雪的夜半漏等7個(gè)數(shù)據(jù)，是根據(jù)夜半漏刻的5階差分表而新作的校勘。

本文的發(fā)現(xiàn)表明，劉焯在《皇極歷》中，有意識(shí)地構(gòu)造了一個(gè)5階差分表，它應(yīng)該是迄今為止我們所見到數(shù)學(xué)史上最早的5階差分表。在13世紀(jì)朱世杰創(chuàng)立高階等差級(jí)數(shù)的求和公式之前，構(gòu)造一個(gè)高階差分表，并不是一件容易的事。由此，從算法史的角度來看，這是一項(xiàng)非常了不起的工作。劉焯是如何做到這一點(diǎn)的，我們尚不得而知。但是，隋唐以降，中國(guó)數(shù)理天文學(xué)中涌現(xiàn)了大量的高階差分表，這些差分表的應(yīng)用，極大地提升了歷法的計(jì)算精度[6]，劉焯的《皇極歷》不僅創(chuàng)立了二階插值算法，而且創(chuàng)立了高階差分表，這些工作的影響無疑是深遠(yuǎn)且重要的，值得我們進(jìn)一步深入的研究[7]。