韓霄翰， 李忠繼， 池茂儒

(1 華中光電技術研究所 武漢光電國家研究中心， 武漢 430223；2 中鐵二院工程集團有限責任公司 科學技術研究院， 成都 610031;3 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室， 成都 610031)

近年來，中低速磁浮軌道交通系統(tǒng)受到廣泛關注，隨著長沙中低速磁浮機場線的運營開通，標志著我國中低速磁浮關鍵技術經歷數(shù)十年的發(fā)展已經較為成熟。但中低速磁浮車軌耦合振動的問題一直困擾著中低速磁浮系統(tǒng)投入商業(yè)運行，場區(qū)和道岔處軌道梁，其自重小、剛度小、結構自振頻率高、結構阻尼低，易發(fā)生變形，因此采用主動控制的車輛懸浮系統(tǒng)，當懸浮控制適應能力較差，易產生劇烈車軌耦合振動，在靜態(tài)或車輛低速運行時，易使懸浮架產生自激振動，由于中低速磁浮懸浮間隙小，一般僅為8 mm[1]，因此懸浮架的自激振動和軌道梁自振相耦合后會產生較為嚴重的后果，會導致列車懸浮失穩(wěn)，甚至懸浮失效，使車輛吸死在軌道梁上。如何抑制中低速磁浮列車和軌道梁的耦合振動一直以來是國內外研究的熱點。

近年來中低速磁浮交通越來越多的投入商業(yè)運營，因此車軌耦合振動問題亟待解決。國內外相關研究也層出不窮，大多數(shù)學者研究[1-2]磁浮車橋動力相互作用時懸浮電磁力采用等效質量和剛度表達，該方法忽略了較為重要的懸浮控制器的影響。文獻[3-4]僅僅是探究了軌道梁剛度對車軌耦合振動的影響，而且大多是對車輛以不同速度下過軌道梁情況進行分析，并沒有對車輛靜態(tài)懸浮時的耦合振動特性進行探究。例如文獻[5-7]建立了較為完善的考慮懸浮控制車軌耦合動力學模型，對磁浮車輛過彈性軌道梁的車軌動力響應進行了分析。因此目前國內外對中低速磁浮耦合振動的研究大多集中在懸浮控制系統(tǒng)和載荷質量以及軌道梁剛度上，沒有建立一個較為準確的模型從軌道梁角度系統(tǒng)探究其結構參數(shù)對車軌耦合振動影響，且研究大多集中在不同速度下的車軌耦合振動的動力響應，而車軌耦合振動較為劇烈是發(fā)生在低速通過彈性軌道梁或靜態(tài)起伏時[8]，并沒有去分析靜態(tài)懸浮下軌道梁結構的變化對車軌耦合振動的影響。

為探究軌道梁結構對車軌耦合振動的影響，通過建立“車輛-控制器-軌道梁”耦合動力學模型，在車輛靜態(tài)懸浮時，通過懸浮架的振動分岔圖，仿真再現(xiàn)劇烈的車軌耦合振動，對嚴重耦合振動的特性進行分析，系統(tǒng)的研究了軌道梁結構各個參數(shù)對中低速磁浮車軌耦合振動的影響及抑振規(guī)律。在工程實際中，可以通過對耦合振動較為劇烈處的軌道梁增加沙袋等輔助措施改變軌道梁結構力學特性，抑制因控制系統(tǒng)引起的車軌耦合振動。

1 中低速磁浮車軌耦合動力學模型

中低速磁浮列車因帶有主動控制的懸浮系統(tǒng)的特點，易發(fā)生控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，也是引發(fā)車軌耦合振動的關鍵因素[2]，因此電磁懸浮系統(tǒng)的準確建立是研究磁浮車軌耦合振動的核心要素，軌道梁模型需重分考慮到車軌耦合相互作用關系，建立車軌耦合動力學模型時，為了計算方便需對一定次要因素進行簡化，根據(jù)文獻[4]磁浮車軌耦合振動大多在垂向上較為劇烈，因此在建立車軌耦合動力學模型時，建立較為詳細的垂向動力學模型,對橫向動力學模型進行簡化。

1.1 車輛模型

根據(jù)長沙EMS中低速磁浮列車模型參數(shù)，建立磁浮列車動力學模型。單節(jié)磁浮車輛由5個懸浮模塊組成，每個懸浮模塊由左右兩個懸浮側架，懸浮側架通過兩組抗側滾梁與迫導向機構相連，每組抗側滾梁間由垂向吊桿相連。每個懸浮側架下有兩個電磁懸浮控制模型，產生電磁懸浮力作用于軌道梁上。車體由5組滑臺支撐，每個滑臺下方由空氣彈簧支撐，空氣彈簧安裝在左右懸浮側架上，每個懸浮側架前后由兩個空氣彈簧支撐。為簡化模型，對于迫導向機構只考慮其物理模型，整車均視為剛體，左右懸浮側架的電磁線圈簡化為兩組。其結構如圖1所示。整車動力學模型共考慮194個自由度。

圖1 車輛垂向結構示意圖

圖1中MC為車體質量；IC為車體慣量；ZC為車體垂向位移；Zb為懸浮架垂向位移；Fe為懸浮電磁力；α為車體點頭角位移；ks為二系空氣彈簧剛度；Cs為二系空氣彈簧阻尼。

圖2 懸浮模塊受力圖

懸浮模塊其與軌道梁垂向耦合動力學方程為：

(1)

式中：g為重力加速度；Fe為電磁懸浮力；Mb為懸浮模塊的質量；Fkcg為懸浮架抗側滾梁施加給懸浮模塊的垂向力；Fsp為空氣彈簧施加的垂向力。

1.2 懸浮控制器模型

采用雙環(huán)PID控制的懸浮控制器基本結構如圖3所示。

圖3 雙環(huán)PID懸浮控制器基本結構

為了避免電流環(huán)控制本身造成數(shù)字計算延遲，只考慮采用簡單的控制形式，這里采用的具體算法如下:

U=kc1(Uc-kc2I)

(2)

U為控制器輸出電壓；kc1為電流環(huán)控制參數(shù)；Uc為PID控制器的輸出電壓；kc2電流環(huán)控制器電阻；I為線圈電流。

在前級控制子系統(tǒng)中，根據(jù)采集到的間隙和加速度信號，采用以下PID控制律對輸出電壓進行調節(jié)

U=RI+2k(I/z)′

(3)

(4)

聯(lián)立式(2)、式(3)和式(4)，于是有

(5)

對式(5)求導可得

(6)

1.3 軌道梁模型

軌道梁的自振和受載荷下的擾度變化，均會導致懸浮間隙發(fā)生改變，從而影響車軌耦合相互作用關系，因此軌道梁考慮為彈性的Euler-Bernoulli梁，系統(tǒng)方程可以描述為

(7)

式中：EI為軌道梁的抗彎剛度；y(x，t)為軌道梁的動撓度；ρg為軌道的密度；Fe(x，t)為電磁力對軌道的作用力,Fs(x，t)為支座對軌道梁的作用力。為了數(shù)值計算的方便，采用模態(tài)疊加法，將軌道梁方程轉化為一階微分方程組。首先假設其解為

(8)

式中:Yn(x)是給定邊界條件下的固有頻率pn所對應的正則振型函數(shù)，qn(x)為未知的時間函數(shù)，即正則坐標(廣義坐標)。Euler-Bernoulli梁的固有頻率[10]為：

(9)

式中，n=1,2,3…，Euler-Bernoulli梁的振型函數(shù)為

(10)

則彈性軌道梁的微分方程可以寫為：

(11)

式中：qn為廣義坐標，kn為模態(tài)剛度，cn為模態(tài)阻尼。

2 車輛懸浮失穩(wěn)機理分析

懸浮控制器參數(shù)間隙變化速度反饋參數(shù)kp與車軌耦合振動狀態(tài)密切相關[3-5]，通過車軌耦合振動仿真程序，對中低速磁浮靜態(tài)懸浮進行數(shù)值仿真計算，為使圖像更為直觀，得到以控制參數(shù)kp系數(shù)(kp/1 000)為自變量的懸浮架振動分岔圖，見圖4。分析不同kp系數(shù)下懸浮架的振動幅值，可以看出控制參數(shù)kp系數(shù)在A、B、C3個非穩(wěn)定平衡區(qū)間取值時，會產生振動幅值較大的車軌耦合振動。

圖4 參數(shù)kp為自變量的分岔圖

進一步分析圖中產生極限環(huán)幅值較大的區(qū)域，對A、B、C3個區(qū)間上的懸浮架和軌道梁的振動響應進行分析，分析磁浮車軌耦合振動根據(jù)文獻[10]取懸浮架和軌道梁位移響應，3個區(qū)間上車軌耦合振動的位移響應如圖5所示。

圖5和圖6給出了車軌耦合振動的位移響應結果，區(qū)間A產生的非穩(wěn)定收斂的穩(wěn)態(tài)振動，耦合振動頻率較低，懸浮架振動發(fā)生幅值為8 mm的周期振動，區(qū)間B產生的車軌耦合振動，穩(wěn)態(tài)運動最終幅值為2 mm的周期振動，振動頻率較高，軌道梁的振動幅值逐漸趨于平衡點，區(qū)間C上懸浮架振動幅值逐漸發(fā)散，振動頻率較高。因此3個區(qū)間上的車軌耦合振動特性不相同，在分析軌道梁結構參數(shù)對車軌耦合振動影響時，需分別對3個區(qū)間上的車軌耦合振動影響規(guī)律進行探究。

圖5 懸浮架位移響應

圖6 軌道梁位移響應

3 軌道梁固有頻率改變對車軌耦合振動影響

根據(jù)軌道梁固有圓頻率計算公式:

(12)

式中：E為軌道梁彈性模量；I為截面慣量；Ar為橫截面積；ρ為材料密度。研究車軌耦合振動問題時通常只考慮軌道梁前三階垂向固有頻率對車橋耦合振動的影響[5]，忽略高階振動的影響，根據(jù)式(12)軌道梁固有頻率與軌道梁剛度EI和線密度ρAr以及跨度相關，而工程實際中軌道梁跨度較難改變，線密度和剛度可以通過給軌道梁增重，以及安裝抑振裝置改變。因此分析軌道梁結構對耦合振動影響，基于建立數(shù)值分析模型，僅探究軌道梁結構剛度和線密度對車軌耦合振動的影響。

3.1 軌道梁線密度

為了較為系統(tǒng)研究軌道梁各個參數(shù)對車軌耦合振動的影響，為了能大致得到規(guī)律性結果，各個參數(shù)變化區(qū)域取值較寬，分別對截面積在0.05 m2到2 m2，軌道梁密度在1 000 kg/m3到9 000 kg/m3之間取值，分別計算在A、B、C3個區(qū)間上對懸浮架振動分岔圖的影響規(guī)律，計算結果如圖7～圖8所示。

圖7 截面積為自變量的分岔圖

圖8 材料密度為自變量的分岔圖

根據(jù)圖7～圖8可以看出在區(qū)間A上的耦合振動時，在單一改變截面積或材料密度時，對車軌耦合振動的影響也較小，隨著線密度的增大，極限環(huán)幅值逐漸減小，懸浮架振動頻率較低在3 Hz左右，幅值減小幅度不大。當控制參數(shù)kp較大，懸浮架發(fā)生幅值較大或幅值發(fā)散的失穩(wěn)振動時，隨著軌道梁線密度的增大，懸浮架振動幅值先逐漸增大，當線密度繼續(xù)增大時，懸浮架的自激振動又逐漸收斂。

3.2 軌道梁剛度

軌道梁剛度為EI，因此通過軌道梁截面慣量和軌道梁彈性模量來改變軌道梁剛度[9]，截面慣量取值范圍在0.05～2 m4，彈性模量取值范圍在1×1010Pa到8×1011Pa，圖9分別給出了固有頻率隨著剛度改變時，截面慣量為自變量的分岔圖。

圖9 截面慣量為自變量的分岔圖

圖10中可以看出發(fā)生振動頻率較低的失穩(wěn)振動時，截面慣量在區(qū)間內變化對極限環(huán)幅值無明顯影響，且懸浮架的振動頻率較小，控制參數(shù)kp較大，發(fā)生高頻率的大幅值或幅值發(fā)散的失穩(wěn)振動時，截面慣量在0.2～0.6范圍內極限環(huán)幅值較大，易出現(xiàn)懸浮架失穩(wěn)振動，懸浮架振動在分岔處的頻率和軌道梁固有頻率接近，在該區(qū)間之外，極限環(huán)幅值較小。同樣懸浮架在分岔處的振動頻率和軌道梁一階垂向固有頻率較為接近。

圖10 彈性模量為自變量的分岔圖

圖10中可以看出控制參數(shù)kp較低，發(fā)生振動頻率較低的失穩(wěn)振動時，彈性模量在區(qū)間內變化對極限環(huán)幅值無明顯影響，且懸浮架的振動頻率較小，控制參數(shù)kp較大，發(fā)生高頻率大幅值或幅值發(fā)散的失穩(wěn)耦合振動時，彈性模量在1.2×1011～3×1011Pa范圍內極限環(huán)幅值較大，易出現(xiàn)懸浮架失穩(wěn)振動，懸浮架振動在分岔處的頻率和軌道梁固有頻率接近，在該區(qū)間之外，極限環(huán)幅值較小。同樣懸浮架在分岔處的振動頻率和軌道梁一階垂向固有頻率較為接近。懸浮架振動響應隨著軌道梁剛度增加而減小，當一階垂向固有頻率繼續(xù)增大后，軌道梁剛度增加對懸浮架振動響應基本無影響，和文獻[7]中一致。

4 恒定固有頻率下軌道梁結構對車軌耦合振動影響

為研究軌道梁固有頻率恒定時，軌道梁結構改變對車軌耦合振動的影響，通過調整軌道梁彈性模量和線密度的方式，使軌道梁的一階垂向彎曲固有頻率保持不變[11],為避免偶然因素影響，根據(jù)文獻[12]長沙磁浮線道岔主動梁的一階垂彎頻率為25 Hz,正線上一般為10 Hz左右，因此分別在10 Hz、25 Hz兩種固有頻率下,探究不同軌道梁線密度和彈性模量組合下車軌耦合振動響應。計算工況如表1所示。

表1 Group A和Group B

4.1 頻率恒定時仿真分析結果

圖11～圖12給出了軌道梁固有頻率為10 Hz時，GroupA中5個工況下kp為自變量的懸浮架振動分岔圖和頻譜圖。

圖11 Group A下kp的穩(wěn)定區(qū)間

圖12 Group A下kp區(qū)間的頻譜圖

結合圖11、圖12，軌道梁一階垂彎頻率為10 Hz時，工況1和工況2的穩(wěn)定區(qū)間較小?？刂茀?shù)kp較小時，軌道梁彈性模量和線密度配比對穩(wěn)定區(qū)間影響不大，變化規(guī)律相同，參數(shù)kp較大極限環(huán)幅值逐漸增大，工況3和5的穩(wěn)定區(qū)間最大，比工況1、2、4發(fā)生極限環(huán)幅值增大要晚，1、2、4無明顯區(qū)別。對于發(fā)生耦合振動的頻率，kp較小發(fā)散極限環(huán)幅值較大的振動時，頻率都較小，小于5 Hz，參數(shù)kp較大時發(fā)生的耦合振動，頻率都位于30 Hz左右。因此實際工程中，根據(jù)控制參數(shù)引發(fā)的車軌耦合振動類型，適當加減沙袋可以調節(jié)軌道梁剛度和線密度，從而對車軌耦合振動進行有效抑制。

圖13、圖14中懸浮架振動位移響應結果表明，當軌道梁一階垂向固有頻率25 Hz不變時，和10 Hz相似，kp較小時引發(fā)的耦合振動對不同軌道梁結構條件下基本無變化，當kp參數(shù)較大時不同工況下的穩(wěn)定區(qū)間略有差異，工況4下的穩(wěn)定區(qū)間較大，工況2和工況5的穩(wěn)定區(qū)間。

圖13 Group B下kp的穩(wěn)定區(qū)間

圖14 Group B下kp的頻譜圖

4.2 軌道梁結構阻尼

探究結構阻尼對車軌耦合振動的影響，使軌道梁一階垂向固有頻率保持在25 Hz不變，使軌道梁結構阻尼比從0.001到0.1逐漸增大，計算結果如圖15～圖17所示。

圖15 阻尼比對區(qū)間A耦合振動控制

圖16 阻尼比對區(qū)間B耦合振動控制

圖17 阻尼比對區(qū)間C耦合振動控制

結合圖15～圖17的振動響應結果，車軌發(fā)生幅值較大的高頻耦合振動時，增大軌道梁結構阻尼比后,結果可以得到，隨著軌道梁結構阻尼比的增大軌道梁和懸浮架的振動都能得到明顯抑制。車軌發(fā)生幅值逐漸發(fā)散的耦合振動時，隨著軌道梁阻尼比的增大懸浮架振動幅值逐漸減小，圖中阻尼比較小時，懸浮架振動逐漸發(fā)散，上浮吸著在軌道梁上，當阻尼比大于0.02后懸浮架振動從失穩(wěn)振動到穩(wěn)態(tài)等幅振動，工程實踐中對耦合振動較大處的軌道梁內部可以加裝一些阻尼材料，可以有效抑制車軌劇烈的耦合振動。

5 結束語

軌道梁結構參數(shù)對車軌耦合振動的影響規(guī)律和與車軌發(fā)生耦合振動時的振動特性有關，基于以上分析，可以得出以下幾個結論。

(1)軌道梁固有頻率隨軌道梁結構參數(shù)改變時，能夠抑制控制器參數(shù)引起的車軌高頻耦合振動，無法抑制車軌低頻耦合振動。

(2)軌道梁結構改變時，固有頻率不變，控制器參數(shù)較小引起的車軌耦合振動不受軌道梁結構改變的影響，當控制參數(shù)較大時，引發(fā)的車軌耦合振動，可以適當調節(jié)剛度和線密度來抑制車軌耦合振動。

(3)由控制器參數(shù)引起的車軌耦合共振中，當軌道梁阻尼比大于0.02，能對車軌耦合振動產生抑制作用，因此增大軌道梁阻尼比到一定的范圍能明顯抑制車軌耦合振動。