趙 波， 殷 森， 王曉博， 趙重陽

(河南理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 焦作,454000)

引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，脆難加工材料，特別是金屬基復(fù)合材料及納米復(fù)相陶瓷加工需求日益增加。超聲振動(dòng)加工技術(shù)因其在硬脆材料加工中的突出優(yōu)勢，得到廣泛的研究及應(yīng)用[1]。單一的超聲振動(dòng)模式已不能滿足日益復(fù)雜的加工要求，超聲加工系統(tǒng)的復(fù)合振動(dòng)模式開始得到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。復(fù)合振動(dòng)模式主要有縱彎復(fù)合、扭彎復(fù)合[2]、縱扭復(fù)合[3]、雙彎曲復(fù)合[4]及徑扭復(fù)合[5]等。目前，實(shí)現(xiàn)縱-扭復(fù)合振動(dòng)的方式大致可以分為兩種:a.通過換能器實(shí)現(xiàn)，如利用極化方向不同兩組壓電陶瓷組成的縱-扭復(fù)合振動(dòng)換能器[6]、利用軸向磁致伸縮產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的換能器[7]和將壓電陶瓷進(jìn)行傾斜布置的縱-扭復(fù)合換能器[8]；b.通過變幅桿實(shí)現(xiàn)，如對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行特殊化設(shè)計(jì)，在變幅桿上添加“模態(tài)轉(zhuǎn)換器”，將縱向振動(dòng)模式進(jìn)行轉(zhuǎn)換與復(fù)合，如螺旋槽式變幅桿[9]、斜槽式變幅桿[10]及榫卯式變幅桿[11]。

對于螺旋溝槽式縱-扭復(fù)合變幅桿而言，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分量較高，縱-扭復(fù)合振動(dòng)的輸出較為穩(wěn)定。作為縱-扭復(fù)合振動(dòng)的模態(tài)轉(zhuǎn)換器的螺旋溝槽結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化會(huì)對縱向振動(dòng)分量及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分量產(chǎn)生一定的影響，從而改變變幅桿輸出端的振動(dòng)軌跡[8]。筆者利用理論推導(dǎo)、有限元分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的方法，探究了螺旋溝槽結(jié)構(gòu)參數(shù)對變幅桿的縱向振動(dòng)分量與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分量的影響。通過對螺旋溝槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理選擇，可實(shí)現(xiàn)對扭縱分量比j的調(diào)整，從而對超聲橢圓振動(dòng)軌跡進(jìn)行精確控制。

1 縱-扭模態(tài)轉(zhuǎn)換與振動(dòng)軌跡的理論分析1.1 螺旋溝槽的縱-扭模態(tài)轉(zhuǎn)換

圖1 圓錐變幅桿上開設(shè)螺旋溝槽Fig．1 Helical slots are formed on the conical horn

圖2 螺旋溝槽切口形狀Fig．2 Helical slots incision shape

在一圓錐形變幅桿側(cè)面上開設(shè)均布螺旋溝槽，如圖1所示。圖中：F為縱波產(chǎn)生的縱向慣性力；F1和F2分別為F沿螺旋溝槽分解的力；F2L為縱向作用力分量；F2T為及剪切作用力分量；M為剪切作用力產(chǎn)生的扭矩。結(jié)合變幅桿強(qiáng)度要求及機(jī)械加工難度，將溝槽設(shè)計(jì)成類梯形狀，溝槽所包絡(luò)為一實(shí)心圓柱，溝槽的長度為變幅桿母線長度如圖2所示，圖中：r為變幅桿任意橫截面的截面半徑；r1為實(shí)心部分半徑，即變幅桿小端半徑；r2為變幅桿大端端面半徑；α1為相鄰溝槽間未切除部分對應(yīng)的圓心角；α2為溝槽部分對應(yīng)的圓心角。

縱波在空氣介質(zhì)中傳播時(shí)，會(huì)發(fā)生較大的能量損耗，故在縱波傾斜入射螺旋溝槽時(shí)，可只計(jì)算反射縱波和反射橫波的影響，而忽略縱波二次折射所產(chǎn)生的影響[12-13]。縱波產(chǎn)生的縱向慣性力F將分解為F1和F2：在溝槽所包絡(luò)實(shí)心圓柱中的力F1將繼續(xù)沿縱向傳遞；在螺旋溝槽結(jié)構(gòu)部分截面上的力F2沿溝槽旋轉(zhuǎn)方向與F成θ夾角。F2將分解成兩部分：縱向作用力分量F2L及剪切作用力分量F2T，其中縱向作用力分量沿著變幅桿軸線方向；關(guān)于剪切作用力分量，在截面上任一點(diǎn)的剪切作用力分量垂直于半徑的方向，由剪切作用力分量產(chǎn)生的總力矩是所有剪切作用力在整個(gè)截面上扭矩的積分。

由圖1可知，這兩個(gè)力分量大小可由下式給出

F2L=F2cosθ

(1)

F2T=F2sinθ

(2)

其中：θ為螺旋溝槽的螺旋角。

根據(jù)縱向振動(dòng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)理論，縱向力將驅(qū)使變幅桿產(chǎn)生縱向振動(dòng)，而剪切作用力將驅(qū)使變幅桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。剪切作用力產(chǎn)生的扭矩M可以表示為

(3)

由圖2可知，變幅桿任意橫截面面積s為

(4)

變幅桿任意橫截面半徑為r處的微分元面積ds為

(5)

變幅桿任意橫截面上的剪切作用力f為

(6)

將式(24),(25)代入式(26)可以得到

(7)

其中：r2為變幅桿大端端面半徑。

化簡并求得

(8)

故由于螺旋溝槽的存在， 可使單向模態(tài)的縱向振動(dòng)激勵(lì)實(shí)現(xiàn)超聲縱-扭復(fù)合振動(dòng)的輸出。由此式可知:縱向慣性力F由縱振換能器提供，為定值；r1,r2為復(fù)合變幅桿尺寸，其也為確定值。

由圖1可知

α1+α2=360/n

(9)

其中:n為螺旋溝槽數(shù)目。

α1,α2與螺旋溝槽數(shù)目n相關(guān)，而α2對應(yīng)的的弦長與螺旋溝槽的槽寬d相關(guān)，故扭矩M與螺旋溝槽的數(shù)目n，溝槽角度θ及溝槽槽寬d等變量相關(guān)，即扭轉(zhuǎn)分量大小與此3個(gè)因素的取值有關(guān)。

1.2 輸出端上質(zhì)點(diǎn)軌跡分析

前文中分析，螺旋溝槽使得縱振換能器所激勵(lì)的部分縱振振動(dòng)轉(zhuǎn)換為扭振振動(dòng)，而另一部分則直接傳遞到變幅桿輸出端。由于這兩種振動(dòng)在相同介質(zhì)中的傳遞路徑及傳遞速度均有不同，故變幅桿輸出端上的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是在兩個(gè)頻率相同但相位不同的縱、扭振振動(dòng)的共同作用[8]。

在變幅桿輸出端面上取不在軸線上的任意質(zhì)點(diǎn)P，設(shè)un代表質(zhì)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的線位移，uz代表質(zhì)點(diǎn)沿變幅桿軸線方向的縱向振動(dòng)位移，則質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)軌跡方程可以表示為

(10)

其中：ω為換能器激勵(lì)頻率；Uz，Un分別為質(zhì)點(diǎn)P的縱向振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移振幅；φ為縱向振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的相位差。

對式(10)進(jìn)行分解，可得

un/Un=sinωtcosφ+cosωtsinφ

(11)

由式(10)可得

uz/UZ=sinωt

(12)

將式(11)代入式(12)中，可得

(13)

整理可得

(14)

從式(14)中可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P的縱向振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移的相位差達(dá)為φ時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為一橢圓，且該橢圓軌跡的形狀及運(yùn)動(dòng)方向與φ的取值有關(guān)。當(dāng)相位差φ為不同的數(shù)值時(shí)，可以得到如圖3所示的各種運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖3 質(zhì)點(diǎn)在不同位移相位差下的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig．3 The trajectory of the particle under different displacement phase difference

螺旋溝槽結(jié)構(gòu)作為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的模態(tài)轉(zhuǎn)換器，其轉(zhuǎn)換的縱向振動(dòng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的分量是相互獨(dú)立的，因此，質(zhì)點(diǎn)P不同的縱振振幅與扭轉(zhuǎn)振幅的比值可使其刻畫不同的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4所示。

圖4 橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡與縱扭兩振幅的關(guān)系Fig．4 The relation between elliptical motion trajectory and longitudinal and torsional amplitude

由式(8)，(9)可知，使變幅桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的扭矩M大小與螺旋幾何溝槽的參數(shù)相關(guān)，因此，合理選擇螺旋溝槽參數(shù)，可改變復(fù)合振動(dòng)中縱向振動(dòng)分量與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分量，從而實(shí)現(xiàn)對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的控制。為縱-扭復(fù)合超聲電機(jī)的開發(fā)利用提供了參考，對推廣縱-扭復(fù)合超聲振動(dòng)加工具有重要意義。

2 螺旋溝槽變幅桿的有限元分析

為了同時(shí)獲得較大的變幅桿放大系數(shù)和形狀因素，設(shè)計(jì)圓錐過渡式階梯型復(fù)合變幅桿[14]。選用價(jià)格低廉，易加工且疲勞強(qiáng)度較高的45#鋼，設(shè)計(jì)諧振頻率為35 kHz的變幅桿，其結(jié)構(gòu)尺寸如圖5所示。在其圓錐段開設(shè)4條均布的溝槽，形狀如圖1,2所示，螺旋角度為θ=45°，槽寬為d=8 mm、槽深為h=7.5 mm(以圓錐段大端為基準(zhǔn))。

圖5 圓錐過渡式階梯型復(fù)合變幅桿結(jié)構(gòu)尺寸Fig．5 Composite horn structure dimension drawing

利用PRO/E軟件對螺旋溝槽變幅桿進(jìn)行三維建模，并導(dǎo)入有限元分析軟件ANSYS中，進(jìn)行模態(tài)分析，網(wǎng)格劃分時(shí)選取20個(gè)節(jié)點(diǎn)的solid95單元，采用自由網(wǎng)格，設(shè)精度等級(jí)為4，模態(tài)分析提取方法為Subspace，模態(tài)拓展階數(shù)為10，模態(tài)搜索設(shè)置范圍為30～40 kHz。針對切除螺旋溝槽后的變幅桿頻率少量偏移，通過調(diào)整變幅桿的結(jié)構(gòu)尺寸，將諧振頻率修正至35 kHz，圖6為上述溝槽參數(shù)下變幅桿的模態(tài)分析結(jié)果。

螺旋溝槽式變幅桿的位移等值線如圖6(a)所示，變幅桿振動(dòng)較為均勻。通過模態(tài)分析的振型向量圖6(b)可知，螺旋溝槽結(jié)構(gòu)對變幅桿的振型進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，與理論推導(dǎo)結(jié)果相吻合。

2.1 單個(gè)螺旋溝槽參數(shù)的影響

分別改變螺旋溝槽數(shù)目n、螺旋角度θ、槽寬d等參數(shù)，采用相同的ANSYS軟件設(shè)置參數(shù)，逐一進(jìn)行模態(tài)分析，提取縱-扭復(fù)合振動(dòng)模態(tài)。螺旋溝槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對變幅桿放大倍數(shù)m的影響如圖7所示。

由圖7(a)(b)可知，變幅桿放大倍數(shù)m隨螺旋溝槽數(shù)目n、螺旋角度θ、槽寬d的變化產(chǎn)生輕微的波動(dòng)，且其波動(dòng)范圍非常小?？烧J(rèn)為螺旋溝槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對變幅桿放大倍數(shù)m基本無影響。

圖6 螺旋溝槽式變幅桿的模態(tài)分析結(jié)果Fig．6 Modal analysis results of horn with helical slots

圖7 螺旋溝槽參數(shù)對變幅桿放大倍數(shù)m的影響Fig．7 Effect of helical slots parameters on magnification m

模態(tài)分析中的位移不是絕對位移，但可利用相對位移來代替絕對位移，進(jìn)行縱向振動(dòng)分量與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分量的對比。定義螺旋溝槽變幅桿輸出端面不在軸線上某一質(zhì)點(diǎn)P的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移Un與縱向振動(dòng)位移Uz之比為扭縱分量比j，即

j=Un/Uz

(15)

螺旋溝槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對扭縱分量比j的影響如圖8所示。

圖8 螺旋溝槽參數(shù)對扭縱分量比j的影響Fig．8 Effect of helical slots parameters on the torsional and longitudinal component ratio j

由圖8(a)可知，螺旋溝槽槽寬d的大小對扭縱分量比j的影響較小，變幅桿輸出端上的質(zhì)點(diǎn)P的扭縱分量比j隨槽寬d的改變略有增加；在溝槽數(shù)目為2～5個(gè)時(shí)，P點(diǎn)的扭縱分量比j隨溝槽數(shù)目n的增加而顯著增加，即扭轉(zhuǎn)分量變大，當(dāng)溝槽數(shù)目n繼續(xù)增大，扭縱分量比增加趨緩。由圖8(b)可知，質(zhì)點(diǎn)P的扭縱分量比j隨螺旋角度θ的增大而增大，并在35°時(shí)達(dá)到峰值，之后(當(dāng)θ>35°時(shí))，扭縱分量比隨螺旋角度θ的增加逐步減小，直到θ=90°時(shí)j趨近于0。

綜上所述，螺旋溝槽數(shù)目n、螺旋角度θ、槽寬d等參數(shù)的變化對變幅桿的輸出“總量”無影響，只是改變了縱向振動(dòng)分量與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的分量的比值。

2.2 多個(gè)螺旋溝槽參數(shù)的影響

采用如表1所示的三因素三水平正交參數(shù)進(jìn)行模態(tài)分析，分析多個(gè)螺旋溝槽參數(shù)對變幅桿輸出端某質(zhì)點(diǎn)扭縱分量比的影響。通過極差R1的分析，影響縱扭分量的主次順序?yàn)槁菪郎喜蹟?shù)目n>螺旋角度θ>槽寬d。

表1 正交螺旋溝槽參數(shù)與扭縱分量比的三因素三水平極差分析

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 扭轉(zhuǎn)測評(píng)方法

模態(tài)分析中定義的材料是均勻的，而實(shí)際加工所用的材料的大都均勻性不好，存在或多或少的缺陷，由此導(dǎo)致實(shí)際結(jié)果與仿真結(jié)果的偏差。為驗(yàn)證有限元分析的結(jié)果，現(xiàn)加工出螺旋角度為30,45和60°的螺旋溝槽變幅桿，每個(gè)角度分別開設(shè)2個(gè)和4個(gè)螺旋溝槽，溝槽的槽寬d=6 mm，槽深h=7.5 mm。

為精確測定質(zhì)點(diǎn)P的扭振振幅，設(shè)計(jì)了一種扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測評(píng)方法。如圖9所示，對變幅桿進(jìn)行加工，在小圓柱端面上沿其直徑切除一個(gè)半圓形臺(tái)，在變幅桿徑向方向上形成一個(gè)平面，如圖10所示，沿變幅桿徑向方向?qū)⑿A柱段半徑進(jìn)行7等分，即劃分8個(gè)測定點(diǎn)。測定點(diǎn)編號(hào)及其對應(yīng)的與變幅桿軸線的距離如表2所示。借助型號(hào)為VW9000高速攝影儀及高精度激光位移傳感器將激光束精確定位到每個(gè)測定點(diǎn)上，對每個(gè)測定點(diǎn)扭轉(zhuǎn)振幅Un的測定。測定點(diǎn)的劃分及扭轉(zhuǎn)計(jì)算原理如圖11所示，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測評(píng)現(xiàn)場如圖12所示。

圖9 加工后的變幅桿結(jié)構(gòu)示意圖Fig．9 The schematic diagram of the horn structure after processing

圖10 變幅桿上的測定面結(jié)構(gòu)Fig．10 Measurement surface structure on the horn

Tab.2Thedistancebetweenthemeasurepointandhornaxis

測定點(diǎn)12345678距變幅桿軸線距離/mm01234567

圖11 測定點(diǎn)的劃分及扭轉(zhuǎn)計(jì)算原理Fig．11 The division of measurement points and the principle of torsion amplitude calculation

圖12 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測評(píng)現(xiàn)場Fig．12 Torsional vibration measurement site

以測定點(diǎn)與變幅桿軸線的距離i作為橫坐標(biāo)，扭轉(zhuǎn)振幅Un為縱坐標(biāo)，利用測定數(shù)據(jù)繪制扭轉(zhuǎn)振幅測定曲線，采用最小二乘法擬合出一條正比例函數(shù)y=1.35x，即建立該變幅桿的扭轉(zhuǎn)幅度函數(shù)曲線，如圖13所示。

圖13 扭轉(zhuǎn)幅度函數(shù)曲線Fig．13 Torsion amplitude function curve

圖13中可看到，在8號(hào)測定點(diǎn)，扭轉(zhuǎn)振幅Un急劇下降，與扭轉(zhuǎn)幅度函數(shù)曲線有較大偏差。究其原因：8號(hào)測定點(diǎn)位于變幅桿半徑的邊緣處，變幅桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，激光有段時(shí)間沒有集中在變幅桿上，傳感器接收不到反射引號(hào)，造成扭轉(zhuǎn)振幅Un測量的不準(zhǔn)確。

變幅桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角度正切值e

e=tan∠A=Un/i

(16)

其中：A為變幅桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角度。

扭轉(zhuǎn)幅度函數(shù)曲線的斜率k為變幅桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角A的正切值e，測量質(zhì)點(diǎn)P到變幅桿軸線的距離i=6.4 mm。

質(zhì)點(diǎn)P的扭轉(zhuǎn)振幅可近似通過擬合的曲線進(jìn)行計(jì)算

Un=iPe=iPK=6.4×1.35=8.64 μ m

(17)

3.2 實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果的對比

縱向振動(dòng)的輸出在變幅桿輸出端面是均勻的，故將激光束集中在端面上即可測量縱向振幅，其縱向振幅為Uz=11.8 μm。即質(zhì)點(diǎn)P的扭縱分量比

j=Un/Uz=8.64/11.8=0.71

(18)

使用該方法對所加工的系列變幅桿相同位置的質(zhì)點(diǎn)的扭縱分量比進(jìn)行測定，實(shí)測結(jié)果與仿真結(jié)果的誤差很小，實(shí)測質(zhì)點(diǎn)P的扭縱分量的變化趨勢與仿真結(jié)果的變化趨勢基本一致，如圖14所示。

圖14 縱扭分量的實(shí)測結(jié)果與仿真結(jié)果的對比Fig．14 Comparison of measured results of longitudinal and torsional components with simulation results

4 結(jié)束語

筆者理論推導(dǎo)了螺旋溝槽結(jié)構(gòu)的縱-扭模態(tài)的轉(zhuǎn)換，分析了縱振振幅與扭轉(zhuǎn)振幅對變幅桿輸出端的橢圓振動(dòng)軌跡的影響?；谟邢拊抡嫣骄苛寺菪郎喜蹍?shù)對變幅桿振動(dòng)特性的影響，對部分結(jié)果設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，可以得到以下結(jié)論：a.螺旋溝槽數(shù)目n、螺旋角度θ、槽寬d的變化對變幅桿放大倍數(shù)m基本無影響;b.變幅桿輸出扭縱分量比j隨槽寬d的增加略有上升；隨螺旋溝槽數(shù)目n的增加而變大；隨螺旋角度θ的增加的先上升而后下降。影響縱扭分量的主次順序?yàn)槁菪郎喜蹟?shù)目n>螺旋角度θ>槽寬d。

在縱振式變幅桿上開設(shè)螺旋溝槽，成功輸出縱-扭復(fù)合振動(dòng)。通過合理選擇螺旋溝槽幾何參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對輸出端的扭縱分量比j的控制，從而得到超精密加工所需的橢圓振動(dòng)模式。