謝小良　吳莉　謝冰琪

摘 要 為解決存儲過程中價值易發(fā)生貶值的一類無形變質物品最優(yōu)訂貨問題，建立了一種存貨影響銷售率的無形變質物品庫存控制模型.針對零售商期初訂貨批量的不同水平，以庫存總成本最小為優(yōu)化目標，分別求得了無形變質物品庫存總成本函數(shù).鑒于這些函數(shù)中的主要部分屬于超越函數(shù)，函數(shù)性質不易探明，最優(yōu)解難以直接求得.為此，從嚴格的數(shù)學證明出發(fā)，深入探討了函數(shù)最優(yōu)解的存在性和惟一性，為進一步研究提供了理論基礎.最后，通過數(shù)值算例，系統(tǒng)分析了模型參數(shù)對庫存總成本、期初訂貨批量和庫存更新周期的影響，并結合實際對其結果的合理性進行了解釋說明.

關鍵詞 管理科學與工程;庫存控制;系統(tǒng)優(yōu)化;存貨影響銷售率

中圖分類號 F253?文獻標識碼 A

Abstract In order to solve the problem of optimal ordering of a class of intangible deteriorating items whose value is prone to depreciation in the storage process， an intangible deteriorating item inventory control model with inventory affecting sales rate is established. According to the different levels of retailers' initial order quantity， the total inventory cost is the optimization goal， and the total cost of intangible goods inventory is obtained. Since the main part of these functions belongs to the transcendental function， the function property is not easy to be proved. It is difficult to find it directly. To this end， starting from the rigorous mathematical proof， the existence and uniqueness of the optimal solution of the function are discussed in depth， which provides a theoretical basis for further research. Finally， through numerical examples， the influence of model parameters on total inventory cost， initial order quantity and inventory update period is analyzed systematically， and the rationality of its results is explained.

Key words Management science and engineering; Inventory control; Optimization; Stockdependent selling rate

1 引 言

無形變質物品是指產(chǎn)品沒有實際物理磨損，但由于產(chǎn)品已經(jīng)過時，不再適用、不再具有效用且不再為消費者所接受，故不能繼續(xù)投入生產(chǎn)和生活，從而失去它應有的使用價值，或者由于某些其他原因使其價值下降的一類易逝品.這類物品通常具有生產(chǎn)提前期長、銷售周期短及產(chǎn)品保質期短等特點，除此之外，由于顧客的需求具有不確定性，對于產(chǎn)品的后續(xù)處理一般需要較高的費用.如電子產(chǎn)品的更新?lián)Q代速度極快，一旦出現(xiàn)新的替代品，其價值會立即下降甚至失去價值.飛機上的多余座位在飛機起飛后價值立即變?yōu)榱?物品的無形變質，主要體現(xiàn)為價值的迅速下降或者消失.無形變質物品供應鏈的這種不確定性，是導致產(chǎn)品庫存定量困難、庫存成本增加的根本原因.另一方面，許多銷售實踐表明，產(chǎn)品現(xiàn)貨的展示數(shù)量直接影響銷售率的高低，國內外著名學者稱這種現(xiàn)象為存貨影響銷售（stock-dependent selling rate），這意味著零售商使存貨保持在較高的水平，可以提高消費需求.因此，這樣的研究具有較大的實際價值：如何既顧及無形變質物品的易變質性質盡可能降低產(chǎn)品的變質成本，又考慮保持較高的存貨水平最大限度地提高產(chǎn)品的銷售率，提高產(chǎn)品供需兩側管理的匹配度，使產(chǎn)品庫存總成本最小.

有關無形變質物品庫存問題，國內外學者展開了一系列相關研究，取得了不少成果，主要體現(xiàn)在如下五個方面：一是有關存貨影響銷售率現(xiàn)象的述評.Chang（2004）[1] 和Wu（2006）[2]等的研究表明，超市里貨架上擺放的商品數(shù)量越多，就能吸引更多人的注意，進而研究了相應的存貨影響銷售率現(xiàn)象.二是有關需求依賴庫存水平的庫存模型構建研究.閔杰和周永務（2009）[3]構造了一類需求受當前庫存水平影響的非立即變質性物品的庫存模型;徐春明和趙道致（2014）[4] 在兩貨棧的庫存環(huán)境下，考慮銷售率受瞬時庫存水平的影響，不允許缺貨，分別就線性形式的需求和冪函數(shù)形式的需求建立了以平均總利潤最大為目標的庫存模型.謝小良和符卓（2010）[5]討論了存貨影響銷售率的無形變質物品庫存-運輸整合優(yōu)化模型;潘義前和周優(yōu)軍等（2013）[6]和趙忠等（2016）[7]分別研究了二層信用策略下存貨影響需求率的變質物品庫存模型;劉冀瓊等（2017）[8]假設訂購的產(chǎn)品具有常數(shù)變質率，在允許現(xiàn)金折扣和延期支付的前提條件下，建立了一種針對變質產(chǎn)品的兩貨棧庫存模型;曹裕等（2018）[9]研究了基于提前支付的非瞬時變質產(chǎn)品批量訂貨定價策略.四是有關存貨影響銷售的變質品EOQ模型分析.如楊善林等（2016）[10]研究了隨機補貨間隔且存貨影響銷售的變質品EOQ模型.羅兵等（2012）[11]研究了價格增長下兩階段存貨影響銷售率EOQ 模型;艾學軼等（2018）[12]基于產(chǎn)品非立即變質的特征，構建需求依賴于變質時間的多品種聯(lián)合補貨庫存模型.五是有關利潤最大和成本最小的庫存決策與系統(tǒng)控制模型研究.如徐春明和趙道致（2015） [13]在成熟期的存貨影響銷售環(huán)境下，研究了一類非變質性物品的兩貨棧庫存決策問題，建立了以系統(tǒng)平均總利潤最大為目標的決策模型;石艷等（2016）[14]研究了存貨影響銷售率的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)最優(yōu)控制策略;徐春明等（2018）[15] 研究了減排規(guī)制下基于存貨影響銷售模式的易變質產(chǎn)品庫存優(yōu)化模型.陳勇等人[16]以應急疫苗最晚運達時間最小，接收時的效用最大、運輸總費用最小為目標，針對突發(fā)疫情的動態(tài)性和不確定性，建立了疫苗控制系統(tǒng)的整數(shù)規(guī)劃模型.

綜上所述，學者們運用不同方法從不同側面建立了存貨影響銷售率的易逝品庫存模型，并通過實例仿真，探討了模型的最優(yōu)解，為以后的研究提供了重要的借鑒與參考.但是在已有研究成果中，對庫存模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，缺少嚴謹?shù)臄?shù)學證明.所以，以無形變質物品庫存控制模型最優(yōu)化研究為基礎，從嚴格的數(shù)學證明入手，對無形變質物品庫存模型最優(yōu)解的存在性和唯一性進行了系統(tǒng)的分析與證明，具有一定的理論價值.同時，利用MATLAB仿真軟件，結合算例，描述模型在不同參數(shù)條件下的變化曲線，采用數(shù)學分析方法，對模型參數(shù)進行靈敏度分析，有望獲得更深入的理論結果.

2 符號說明與模型假設

2.1 符號說明

設Q表示期初訂貨批量，D（t）表示時刻t的產(chǎn)品需求率，I（t）表示t時刻的庫存水平，表示存貨影響銷售率的庫存水平臨界值，存貨水平小于或等于L后，需求率將不再發(fā)生改變，是一個由銷售環(huán)境和產(chǎn)品性質決定的觀測值;K表示一次訂購的費用，t0表示庫存水平下降到L的時刻，h表示單位時間、單位物品的庫存持有成本，c表示單位時間、單位物品的變質損耗成本，T表示庫存更新周期.

2.2 模型假設

（1）在存儲期內物品出現(xiàn)無形變質，即隨著新產(chǎn)品不斷推出和顧客需求偏好的改變，產(chǎn)品隨之發(fā)生貶值.

（2）需求率與即時庫存水平成線性關系，變質率與即時需求率成反比例關系.

（3）忽略無形變質物品的物理變質率，無形變質率與市場需求率成反比.

（4）供應商采用即時配送方法，方便車輛及時供應，補充率無限大，提前期為零.

（5）不允許缺貨.

由表1-5可以看出，最優(yōu)庫存更新周期T*分別隨著參數(shù)α，β，c，L和π的增大而減小，呈負相關關系;從問題的實際背景來看，市場需求率α越大，產(chǎn)品銷售速度越快;存貨影響銷售率因子β越大，同等庫存水平下需求量越大;單位物品變質成本c越高，產(chǎn)品貶值速度越快，產(chǎn)品庫存時間越短;存貨影響銷售率的臨界值L越大，產(chǎn)品銷售率受存貨水平的影響越大;變質系數(shù)π越大，產(chǎn)品無形變質率受庫存水平的影響越大，因此上述參數(shù)的變大，都會引起庫存更新周期T*的變小.

最優(yōu)訂貨批量Q*分別隨著參數(shù)α，β，L的增大而增大，呈正相關關系;隨著參數(shù)c和π的增大而減小，呈負相關關系;最優(yōu)單位時間總成本AC*1均隨著參數(shù)α，β，c，L和π的增大而增大，呈正相關關系.

這是因為當物品發(fā)生無形變質時，存貯物品的風險會增加，使得變質成本提高，為了降低成本、減少損失，零售商必須選擇適當增加訂貨批量Q*，縮短T*來解決.

以訂貨周期為自變量，以庫存總成本為因變量，探討刻劃存貨影響銷售率的兩個主要參數(shù)對訂貨總成本的影響度.具體結果見圖3和圖4.

5 結 論

提出和分析了適用于在存儲期內物品出現(xiàn)的物理變質幾乎可以忽略不計，但隨著新產(chǎn)品的不斷推出和顧客需求偏好的改變，產(chǎn)品隨之發(fā)生無形變質，且物品需求率在一定程度上受到存貨水平的影響，其相應的庫存控制模型能較好地描述這種變化.研究結果表明，存貨影響銷售率的臨界值L、影響需求率的參數(shù)值α與β、影響變質率的常數(shù)π以及單位時間、單位物品的變質損耗成本c，均與無形變質物品的單位時間庫存總成本AC*呈正相關關系，與最優(yōu)訂貨周期T*呈負相關關系.而隱藏在市場本身并能影響這些參數(shù)變化的客觀因素和相關參數(shù)的優(yōu)化，是今后進一步研究的方向.

參考文獻

[1] CHANG C T. Inventory models with stockdependent demand and nonlinear holding costs fordeteriorating items[J]. AsiaPacific Journal of Operational Research， 2004， 21（4）： 435-446.

[2] KUNSHAN WU. An optimal replenishment policy for non-instantaneous deteriorating items with stock-dependent demand and partial backlogging[J]. International Journal of Production Economics， 2006， 101（2）： 369-384.

[3] 閔杰，周永務.存貨影響銷售率的非立即變質物品的庫存模型[J].系統(tǒng)工程學報， 2009，24（2）： 198-203.

[4] 徐春明，趙道致.兩類存貨影響銷售率的兩貨棧庫存模型的比較[J]. 系統(tǒng)工程學報， 2014，29（3）： 394-402.

[5] 謝小良，符卓，楊芳. 存貨影響銷售率的無形變質物品庫存-運輸整合優(yōu)化模型[J].公路交通科技， 2010，27（2）： 138-142.

[6] 潘義前，周優(yōu)軍.二層信用策略下存貨影響需求的EOQ模型[J].沈陽大學學報（自然科學版），2013，25（6）：467-471.

[7] 趙忠，王淑云，李波.時變需求下基于兩級信用支付的易腐品訂貨模型[J].系統(tǒng)管理學報，2016，25（1）：83-89.

[8] 劉冀瓊，楊愛峰，馮帥，張雪梅.兩貨棧及延期支付和現(xiàn)金折扣情形下變質產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨策略[J].運籌與管理，2017，26（3）：63-71.

[9] 曹裕，李業(yè)梅，李青松.基于提前支付的非瞬時變質產(chǎn)品批量訂貨定價策略[J].控制與決策，2018，33（2）：301-308.

[10]楊善林，許廣繁，王曉佳，楊昌輝. 隨機補貨間隔且存貨影響銷售的變質品EOQ模型[J].系統(tǒng)工程學報， 2016，31（1）： 101-110.

[11]羅兵，王晶晶，潘新合.價格增長下兩階段存貨影響銷售率EOQ模型[J]. 工業(yè)工程， 2012，15（6）： 32-36.

[12]艾學軼，張金隆，徐浩軒，王林.需求依賴于變質時間的非立即變質品聯(lián)合補貨優(yōu)化[J].控制與決策，2018，33（4）：671-678.

[13]徐春明，趙道致. 銷售率線性依賴瞬時庫存水平的兩貨棧決策模型[J].運籌與管理， 2015，24（5）： 97-103.

[14]石艷，王關梅，周方明. 存貨影響銷售率的生產(chǎn)庫存系統(tǒng)最優(yōu)控制策略[J].江西理工大學學報， 2016，25（6）： 467-471.

[15]徐春明，趙道致，閔杰.減排規(guī)制下基于存貨影響銷售模式的易變質產(chǎn)品庫存優(yōu)化模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2018，38（06）：1512-1524.

[16]陳勇，呂文錦，蔣景濤.突發(fā)疫情中的疫苗冷鏈配送模型研究[J].物流科技，2018，41（05）：75-77.