吳震宇 王思明 趙大興 李佗普 鄧應(yīng)誠(chéng)

1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢，4300682.宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限責(zé)任公司，宜昌，443003

0 引言

相對(duì)于傳統(tǒng)的插齒和滾齒加工，刮齒是近年發(fā)展起來(lái)的一種先進(jìn)的齒輪加工技術(shù)。在齒輪加工階段，刀具和工件會(huì)同時(shí)高速旋轉(zhuǎn)，通過(guò)控制兩者的轉(zhuǎn)速比，形成類似齒輪高速嚙合的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，刀具有相對(duì)工件沿齒長(zhǎng)方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，類似刮削的過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)齒輪更加快速的加工，因此，刮齒逐漸被工業(yè)界和學(xué)術(shù)界所重視。SPATH等[1]通過(guò)編寫軟件程序模擬了刮齒加工過(guò)程，從而確定了最佳工藝下的切削參數(shù)。VOLKER等[2]通過(guò)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分析了刮齒加工的機(jī)理，并對(duì)刮齒加工的可靠性進(jìn)行了研究。刀具是影響刮齒加工成功與否的關(guān)鍵因素之一。陳新春[3]提出一種無(wú)理論刃形誤差刮齒刀的設(shè)計(jì)和制造方法，并驗(yàn)證了該方法的可行性。GUO等[4]提出了一種漸開(kāi)線齒輪切削刀具的設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了該方法在避免干涉和改善切削性能方面的有效性，在此基礎(chǔ)上，他們通過(guò)在刀具前刀面上采用多刃切削的方式有效提高了刀具的加工效率和使用壽命[5]。TSAI[6]通過(guò)建立刮齒加工的共軛曲面和前刀面的數(shù)學(xué)模型，并推導(dǎo)出切削刃曲線方程，從而建立了較為系統(tǒng)的刮齒加工數(shù)學(xué)模型。KOICHIRO等[7]對(duì)特定軸交角下的切削速度、傾斜角度和切削深度進(jìn)行分析，提出了特定軸交角對(duì)延長(zhǎng)刀具壽命的有效性。針對(duì)刮齒加工所需的切削力問(wèn)題，胡覃[8]通過(guò)分析刀具單齒的切削力，并對(duì)所有切削齒進(jìn)行矢量求和的方法獲取了刮齒加工的總切削力。對(duì)于提高刮齒加工精度的問(wèn)題，現(xiàn)有文獻(xiàn)多是從刮齒機(jī)刀具固有誤差和結(jié)構(gòu)參數(shù)方面對(duì)刮齒加工精度進(jìn)行研究[9-10]，以及通過(guò)對(duì)機(jī)床調(diào)整參數(shù)誤差造成的齒形偏差進(jìn)行補(bǔ)償和修正，從而提高刮齒加工精度[11]。但是在蝸輪蝸桿控制刮齒機(jī)軸交角變化的過(guò)程中，蝸輪蝸桿的傳動(dòng)誤差會(huì)導(dǎo)致軸交角變化過(guò)程中存在一定的角度滯后，從而產(chǎn)生軸交角誤差，進(jìn)而影響刮齒加工精度。并且，在傳動(dòng)誤差一定的情況下，刀具的轉(zhuǎn)速、加工進(jìn)給方式的選擇、刀具或工件的進(jìn)給速度都會(huì)直接影響刮齒加工精度。而以往的研究中未分析軸交角誤差方向與刮齒加工精度的關(guān)系，并且忽視了多因素耦合作用下導(dǎo)致的刮齒加工誤差，因此，有必要對(duì)刮齒加工誤差的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行深入研究。

本文通過(guò)建立刀具進(jìn)給和工件進(jìn)給時(shí)，軸交角負(fù)誤差和軸交角正誤差條件下，刀具和工件之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，闡明了刮齒加工誤差的產(chǎn)生機(jī)理；然后，建立了加工進(jìn)給方式、進(jìn)給速度和軸交角誤差與刮齒加工精度之間的耦合關(guān)系模型，通過(guò)對(duì)比分析4種組合方式下的刮齒加工精度，獲得了最佳加工精度下的進(jìn)給方式和軸交角誤差方向。筆者所在課題組與宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限公司合作，完成了樣機(jī)制造，以驗(yàn)證理論方法的正確性和可行性。

1 運(yùn)動(dòng)關(guān)系模型

1.1 無(wú)進(jìn)給切削運(yùn)動(dòng)關(guān)系

在刮齒加工過(guò)程中，刀具主軸與工件主軸之間存在一定的夾角，即軸交角。由于軸交角的存在，在刀具與工件嚙合的過(guò)程中，刀具與工件之間存在沿齒向方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)了齒輪的切削加工[12-13]。當(dāng)?shù)毒呋蚬ぜo(wú)沿工件軸線方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)，刀具與工件間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 無(wú)進(jìn)給時(shí)刮齒加工運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Motion relation of gear skiving with no feeding motion

圖1中，P為刀具與齒輪節(jié)點(diǎn)，x1Py1為刀具節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系，x2Py2為工件節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系，α為軸交角，β1為刀具螺旋角，β2為工件螺旋角，v1為刀具在節(jié)點(diǎn)處的周向線速度，v2為工件在節(jié)點(diǎn)處的周向線速度，vr為刀具與工件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，vm為節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的周向線速度。根據(jù)齒輪嚙合原理[14]，刀具與工件沿齒長(zhǎng)方向的周向線速度相等，即

v1cosβ1=v2cosβ2

(1)

v1=ω1r1v2=ω2r2

其中，ω1為刀具轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，ω2為工件轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，r1為刀具節(jié)圓半徑，r2為工件節(jié)圓半徑。根據(jù)齒輪節(jié)圓半徑計(jì)算公式

r1=mnZ1/(2cosβ1)

(2)

r2=mnZ2/(2cosβ2)

(3)

式中，mn為刀具和工件的模數(shù)；Z1為刀具齒數(shù)；Z2為工件齒數(shù)。

刀具和工件的角速度關(guān)系為

ω1/ω2=Z2/Z1

(4)

所以，理論上通過(guò)精確控制刀具主軸和工件主軸的角速度，即可實(shí)現(xiàn)無(wú)進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)的精確加工。但是，實(shí)際刮齒加工齒輪過(guò)程中，刀具或工件必須有沿工件軸線方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)方能實(shí)現(xiàn)整個(gè)齒輪的加工成型。當(dāng)工件或刀具有進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)，必然導(dǎo)致原有嚙合關(guān)系的變化，所以工件或刀具的轉(zhuǎn)速須根據(jù)進(jìn)給速度進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整。

1.2 刀具進(jìn)給切削運(yùn)動(dòng)關(guān)系

當(dāng)?shù)毒咦鳛橹鬟\(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)沿工件軸線方向進(jìn)給時(shí)，刀具在節(jié)點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速度為進(jìn)給速度和周向線速度的矢量和。

圖2中，v為刀具沿工件軸線方向的進(jìn)給速度，vr1為刀具進(jìn)給時(shí)刀具與工件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。當(dāng)?shù)毒咴诠?jié)點(diǎn)處的線速度與進(jìn)給速度的矢量之和沿齒向方向時(shí)，才能確保正確的切削，所以必須增加刀具在節(jié)點(diǎn)處的線速度，即

v′1=v1+Δv1

(5)

vr1=n1vr

(6)

圖2 刀具進(jìn)給時(shí)刮齒加工運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.2 Motion relation of gear skiving when cutting tool feeding

其中，Δv1為刀具在節(jié)點(diǎn)處速度變化量，v′1為刀具進(jìn)給情況下刀具在節(jié)點(diǎn)處的周向線速度，n1為比例系數(shù)，由幾何關(guān)系可知

Δv1=vsinβ2/cosβ1

(7)

根據(jù)線速度與角速度關(guān)系，有

Δω=Δv/r

(8)

式中，r為節(jié)圓半徑。

由式(2)、式(7)、式(8)可知，刀具進(jìn)給時(shí)，刀具主軸角速度增加，增加量

Δω1=2vsinβ2/(mnZ1)

(9)

所以，刀具作為主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)做軸向移動(dòng)時(shí)，刀具主軸角速度變化量Δω1必須與刀具進(jìn)給速度v成特定的比例關(guān)系，方能實(shí)現(xiàn)精確切削。

1.3 工件進(jìn)給切削運(yùn)動(dòng)關(guān)系

當(dāng)工件作為主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)沿工件軸線方向進(jìn)給時(shí)，工件在節(jié)點(diǎn)處的速度為工件周向線速度和進(jìn)給速度的矢量和。

圖3中，v′為工件主軸沿工件軸線方向的進(jìn)給速度，vr2為工件進(jìn)給時(shí)刀具與工件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。當(dāng)工件在節(jié)點(diǎn)處的線速度與軸向進(jìn)給速度的矢量之和沿齒向方向時(shí)，才能確保正確的切削，所以必須減小工件在節(jié)點(diǎn)處的線速度，即

v′2=v2-Δv2

(10)

vr2=n2vr

(11)

圖3 工件進(jìn)給時(shí)刮齒加工運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.3 Motion relation of gear skiving when workpiece feeding

其中，Δv2為工件在節(jié)點(diǎn)處速度變化量，v′2為工件進(jìn)給情況下工件在節(jié)點(diǎn)處的周向線速度，n2為比例系數(shù)，由幾何關(guān)系可知

Δv2=v′tanβ2

(12)

由式(3)、式(10)、式(12)可知，工件進(jìn)給時(shí)，工件主軸角速度減小，減小量

Δω2=2v′sinβ2/(mnZ2)

(13)

所以，工件作為主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)做軸向移動(dòng)時(shí)，工件主軸角速度變化量Δω2必須與工件進(jìn)給速度v′成特定的比例關(guān)系方能實(shí)現(xiàn)精確切削。

2 刮齒加工誤差產(chǎn)生機(jī)理

在刮齒機(jī)實(shí)際加工過(guò)程中，由于制造精度、安裝誤差以及潤(rùn)滑所需的油膜間隙導(dǎo)致傳動(dòng)機(jī)構(gòu)間存在一定的間隙，從而在傳動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生傳動(dòng)誤差，并最終影響齒輪加工精度。在數(shù)控刮齒機(jī)中，軸交角由伺服電機(jī)控制蝸輪蝸桿實(shí)現(xiàn)角度的調(diào)整，刀具或工件沿工件軸線方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)由伺服電機(jī)控制滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)。由于刮齒加工過(guò)程中，齒輪的成形通過(guò)車削實(shí)現(xiàn)，故加工過(guò)程中，滾珠絲杠所承受的軸向力遠(yuǎn)小于插齒加工的相應(yīng)值[8,15]。同時(shí)，因軸向力作用引起的絲杠間隙變化方向與刀具主軸或工件主軸的重力方向相反，通過(guò)改變對(duì)應(yīng)的刀具主軸和工件主軸的自重使其大于車削運(yùn)動(dòng)中的軸向力，即可有效減小絲杠間隙引起的刮齒加工誤差。但是因蝸輪蝸桿傳動(dòng)誤差導(dǎo)致的軸交角誤差難以通過(guò)設(shè)備自身的設(shè)計(jì)而消除，從而不可避免地影響刮齒加工精度。所以，針對(duì)刮齒加工的誤差分析，將從軸交角誤差而導(dǎo)致的加工誤差方面進(jìn)行深入分析。

2.1 無(wú)進(jìn)給時(shí)的加工誤差分析

在無(wú)軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)，軸交角誤差會(huì)導(dǎo)致理論運(yùn)動(dòng)關(guān)系的改變，從而破壞正確的嚙合關(guān)系。在蝸輪蝸桿機(jī)構(gòu)控制軸交角增大的過(guò)程中，以傳動(dòng)角度的滯后導(dǎo)致的軸交角誤差為負(fù)誤差；在軸交角減小的過(guò)程中，以傳動(dòng)角度的滯后導(dǎo)致的軸交角誤差為正誤差。

2.1.1軸交角負(fù)誤差

圖4 軸交角負(fù)誤差運(yùn)動(dòng)關(guān)系(無(wú)進(jìn)給時(shí))Fig.4 Motion relation when shaft angle error is negative(workpiece without feed)

軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，刀具和工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖4所示。圖4中，Δα為軸交角誤差，Δβ2為螺旋線偏差，vL為工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒向方向的線速度差，vmn為刀具節(jié)點(diǎn)在齒長(zhǎng)方向的分速度，Δvmn為工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度差，且

Δvmn=v2cos(β2-Δα)-v1cosβ1

(14)

工件節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度大于刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度，即

ω1/ω2

此時(shí)，刀具轉(zhuǎn)速小于正常嚙合所需的轉(zhuǎn)速，刀具的后切削刃運(yùn)動(dòng)區(qū)域與工件理論左齒廓存在一定的干涉，導(dǎo)致實(shí)際齒廓向左齒廓方向偏移,并且隨著刮齒嚙合圈數(shù)的增加，偏移量也逐漸增大,如圖5所示。

圖5 左齒廓位置偏移量Fig.5 Position deviation of left tooth profiles

2.1.2軸交角正誤差

軸交角誤差為正誤差時(shí)，刀具和工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖6所示。圖6中，vmp為刀具節(jié)點(diǎn)在齒長(zhǎng)方向的分速度，Δvmp為工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度差，且

Δvmp=v1cosβ1-v2cos(β2+Δα)

(15)

圖6 軸交角正誤差運(yùn)動(dòng)關(guān)系(無(wú)進(jìn)給時(shí))Fig.6 Motion relation when shaft angle error is positive(workpiece without feed)

工件節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度小于刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度，即

ω1/ω2>Z2/Z1

此時(shí)，刀具轉(zhuǎn)速大于正常嚙合所需的轉(zhuǎn)速，從而導(dǎo)致實(shí)際齒廓向右齒廓方向偏移，且偏移量也隨轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)的增加而逐漸增大，如圖7所示。

圖7 右齒廓加工誤差Fig.7 Position deviation of right tooth profiles

由于刮齒加工中，刀具或工件有沿工件軸線方向的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，從而引起工件與刀具之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的變化，故分別對(duì)刀具和工件進(jìn)給情況下軸交角誤差導(dǎo)致的的刮齒加工誤差進(jìn)行分析。

2.2 刀具進(jìn)給時(shí)的加工誤差分析

在刀具進(jìn)給時(shí)，由上文可知刀具在節(jié)點(diǎn)處的線速度會(huì)隨之變化，而刀具進(jìn)給運(yùn)動(dòng)速度v不變，由于存在軸交角誤差Δα，從而破壞嚙合關(guān)系，進(jìn)而導(dǎo)致合成運(yùn)動(dòng)誤差。當(dāng)軸交角誤差方向不同時(shí)，在刀具的合成運(yùn)動(dòng)下，刀具和工件之間的相對(duì)關(guān)系也各不相同。分別對(duì)刀具進(jìn)給時(shí)，不同軸交角誤差下的刮齒加工誤差進(jìn)行分析。

2.2.1軸交角負(fù)誤差

當(dāng)軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，在刀具進(jìn)給過(guò)程中，刀具和工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖8所示。

圖8 軸交角負(fù)誤差時(shí)合成運(yùn)動(dòng)關(guān)系(刀具進(jìn)給時(shí))Fig.8 Syntheticmotion relation when shaft angle error is negative (tool feed)

圖8中，vL1為工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒向方向的線速度差，vmn1為刀具節(jié)點(diǎn)在齒長(zhǎng)方向的分速度，Δvmn1為刀具合成運(yùn)動(dòng)下，工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度差，且

Δvmn1=v2cos(β2-Δα)-vmn1

(16)

(17)

此時(shí)，工件節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度大于刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度，即

(ω1+Δω1)/ω2

刀具合成運(yùn)動(dòng)下的轉(zhuǎn)速小于正常嚙合所需的轉(zhuǎn)速，從而導(dǎo)致實(shí)際齒廓向左齒廓方向偏移。同時(shí)，由于刀具存在進(jìn)給速度v，偏移量從齒輪上端面至下端面逐漸遞增，并最終表現(xiàn)為齒廓向左齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差。

2.2.2軸交角正誤差

軸交角誤差為正誤差時(shí)，在刀具進(jìn)給過(guò)程中，刀具和工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖9所示。

圖9 軸交角正誤差時(shí)合成運(yùn)動(dòng)關(guān)系(刀具進(jìn)給時(shí))Fig.9 Syntheticmotion relation when shaft angle error is positive(tool feed)

圖9中，vmp1為刀具節(jié)點(diǎn)在齒長(zhǎng)方向的分速度，Δvmp1為刀具合成運(yùn)動(dòng)下，工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度差，且

Δvmp1=vmp1-v2cos(β2+Δα)

(18)

(19)

此時(shí)，工件節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度小于刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度，即

(ω1+Δω1)/ω2>Z2/Z1

刀具合成運(yùn)動(dòng)下的轉(zhuǎn)速大于正常嚙合所需的轉(zhuǎn)速，導(dǎo)致實(shí)際齒廓向右齒廓方向偏移。由于刀具存在進(jìn)給速度v，偏移量從齒輪上端面至下端面逐漸遞增，并最終表現(xiàn)為齒廓向右齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差。

2.3 工件進(jìn)給時(shí)的加工誤差分析

在工件進(jìn)給時(shí)，工件轉(zhuǎn)速會(huì)隨之降低，由于存在軸交角誤差，而工件進(jìn)給運(yùn)動(dòng)速度v不變，所以同樣會(huì)導(dǎo)致合成運(yùn)動(dòng)誤差。當(dāng)軸交角誤差方向不同時(shí)，在工件的合成運(yùn)動(dòng)下，刀具和工件之間的相對(duì)關(guān)系也各不相同。分別對(duì)工件進(jìn)給時(shí)，不同軸交角誤差下的刮齒加工誤差進(jìn)行分析。

2.3.1軸交角負(fù)誤差

當(dāng)軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，在工件進(jìn)給過(guò)程中，刀具和工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖10所示。

圖10 軸交角負(fù)誤差時(shí)合成運(yùn)動(dòng)關(guān)系(工件進(jìn)給時(shí))Fig.10 Syntheticmotion relation when shaft angle error is negative (workpiece feed)

圖10中，vmn2為刀具節(jié)點(diǎn)在齒長(zhǎng)方向的分速度，Δvmn2為工件合成運(yùn)動(dòng)下，工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度差，且

(20)

此時(shí)，工件節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度大于刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度，即

ω1/(ω2-Δω2)

從而導(dǎo)致實(shí)際齒廓向左齒廓方向偏移。由于工件進(jìn)給速度v′的存在，偏移量從齒輪上端面至下端面逐漸遞增，并最終表現(xiàn)為齒廓向左齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差。

2.3.2軸交角正誤差

軸交角誤差為正時(shí)，在工件進(jìn)給過(guò)程中，刀具和工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖11所示。

圖11 軸交角正誤差時(shí)合成運(yùn)動(dòng)關(guān)系(工件進(jìn)給時(shí))Fig.11 Syntheticmotion relation when shaft angle error is positive (workpiece feed)

圖11中，vmp2為刀具節(jié)點(diǎn)在齒長(zhǎng)方向的分速度，Δvmp2為刀具合成運(yùn)動(dòng)下，工件節(jié)點(diǎn)和刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度差，且

(21)

此時(shí)，工件節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度小于刀具節(jié)點(diǎn)沿齒長(zhǎng)方向的線速度，即

ω1/(ω2-Δω2)>Z2/Z1

從而導(dǎo)致實(shí)際齒廓向右齒廓方向偏移。由于工件進(jìn)給速度v′的存在，偏移量從齒輪上端面至下端面逐漸遞增，并最終表現(xiàn)為齒廓向右齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差。

3 多因素耦合下刮齒加工精度

由上文可知，刮齒加工精度受多因素耦合作用的影響，軸交角誤差方向的改變將直接影響齒廓的位置偏移方向和齒廓螺旋線角度偏差，如圖12所示。圖12中，Δ1為未進(jìn)給時(shí)節(jié)點(diǎn)線速度差引起的初始誤差，Δ2為刀具與齒輪上端面相接觸時(shí)的位置偏差，L為刀具加工開(kāi)始時(shí)刀具與工件上端面之間的距離，b為齒寬，Δβ2為齒輪螺旋線偏差。

圖12 軸交角正、負(fù)誤差下的齒廓偏差Fig.12 Tooth profile deviation when shaft angle error is positive and negative

3.1 多因素耦合模型

在不同的軸交角誤差方向和進(jìn)給方式下，刀具和工件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系存在較大差異，從而導(dǎo)致不同的刮齒加工精度。由于刮齒加工誤差包括齒廓位置偏移量Δ2和齒輪螺旋線角度偏差Δβ2，所以上述工況下的耦合關(guān)系模型如下。

(1)在刀具進(jìn)給過(guò)程中，當(dāng)軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，刮齒加工誤差為齒廓向左齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差，有

Δ1=Δvmntii=1,2

(22)

Δ2=Δ1+LΔvmn1/v

(23)

(24)

其中，i=1時(shí)，ti為首次進(jìn)給時(shí)，從切削初始時(shí)至刀具或工件開(kāi)始進(jìn)給時(shí)的時(shí)間；i=2時(shí)，ti為重復(fù)進(jìn)給過(guò)程中，刀具離開(kāi)工件下端面至刀具或工件下次進(jìn)給時(shí)的時(shí)間。

(2)在刀具進(jìn)給過(guò)程中，當(dāng)軸交角誤差為正誤差時(shí)，刮齒加工誤差為齒廓向右齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差，有

Δ1=Δvmptii=1,2

(25)

Δ2=Δ1+LΔvmp1/v

(26)

(27)

(3)在工件進(jìn)給過(guò)程中，當(dāng)軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，刮齒加工誤差為齒廓向左齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差，有

Δ1=Δvmntii=1,2

(28)

Δ2=Δ1+LΔvmn2/v′

(29)

(30)

(4)在工件進(jìn)給過(guò)程中，當(dāng)軸交角誤差為正誤差時(shí)，刮齒加工誤差為齒廓向右齒廓方向的位置偏移和齒廓螺旋線角度偏差，有

Δ1=Δvmptii=1,2

(31)

Δ2=Δ1+LΔvmp2/v′

(32)

(33)

由式(22)、式(33)可知，刮齒加工誤差由時(shí)間ti、距離L、進(jìn)給速度v(v′)、軸交角α、軸交角誤差Δα、刀具螺旋角β1、工件螺旋角β2、模數(shù)mn、刀具或工件齒數(shù)以及刀具或工件轉(zhuǎn)速共同決定。在刮齒加工中，變量ti、L由工藝和設(shè)備條件所決定，并且工件螺旋角β2、模數(shù)mn、刀具或工件齒數(shù)以及刀具或工件轉(zhuǎn)速為定值，所以刮齒加工精度主要由進(jìn)給速度v(v′)、軸交角α和軸交角誤差Δα所決定。刮齒加工誤差與三者之間的關(guān)系如圖13～圖16所示。

圖13 齒廓位置偏移量與軸交角、進(jìn)給速度關(guān)系Fig.13 Relation among the tooth profile position offset and shaft angle and feeding speed

圖14 齒廓位置偏移量與軸交角誤差、進(jìn)給速度關(guān)系Fig.14 Relation among the tooth profile position offset and shaft angle error and feeding speed

圖15 螺旋線角度偏差與軸交角和進(jìn)給速度關(guān)系Fig.15 Relation among the helix angle deviation and shaft angle and feeding speed

圖16 螺旋線角度偏差與軸交角和軸交角誤差關(guān)系Fig.16 Relation among the helix angle deviation and shaft angle and shaft angle error

由圖13可知，進(jìn)給速度的變化對(duì)齒廓位置偏移量的影響遠(yuǎn)大于軸交角的變化對(duì)齒廓位置偏移量的影響，并且隨著進(jìn)給速度的減小，齒廓位置偏移量將明顯增大。由圖14可知，當(dāng)軸交角誤差較小時(shí)，齒廓位置偏移量對(duì)進(jìn)給速度變化的敏感程度較低；但當(dāng)軸交角誤差較大時(shí)，齒廓位置偏移量隨著進(jìn)給速度的增加而快速增大。由圖15可知，螺旋線角度偏差對(duì)軸交角變化的敏感性遠(yuǎn)高于進(jìn)給速度的變化，螺旋線角度偏差隨著軸交角的減小而顯著增大，但進(jìn)給速度的變化對(duì)螺旋線角度偏差的變化影響較??；由圖16可知，螺旋線角度偏差隨著軸交角的減小和軸交角誤差的增大而逐漸增大，在兩者的共同作用下將呈現(xiàn)快速變化的趨勢(shì)。綜上，齒廓位置偏移量主要由進(jìn)給速度和軸交角誤差所決定，通過(guò)減小進(jìn)給速度和減小軸交角誤差可獲得更小的齒廓位置偏移量；螺旋線角度偏差主要由軸交角和軸交角誤差所決定，通過(guò)增大軸交角和減小軸交角誤差可獲得更小的螺旋線角度偏差。

3.2 刮齒加工精度對(duì)比

在不同的軸交角誤差方向和進(jìn)給方式下，刀具和工件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系存在一定差異，通過(guò)對(duì)比不同組合方式下的齒廓偏移量Δ2和螺旋線角度偏差Δβ2，從而獲取最佳刮齒加工精度下的軸交角誤差方向和進(jìn)給方式。

3.2.1刀具進(jìn)給時(shí)加工精度對(duì)比

在刀具進(jìn)給過(guò)程中，不同的軸交角誤差方向下的齒廓位置偏移量之差

δ1=(Δvmnti+LΔvmn1/v)-(Δvmpti+LΔvmp1/v)=
(Δvmn-Δvmp)ti+(Δvmn1-Δvmp1)L/v

δ1與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的變化關(guān)系如圖17、圖18所示。

圖17 齒廓位置偏移量之差與軸交角、軸交角誤差關(guān)系(刀具進(jìn)給時(shí))Fig.17 Relation among the difference of the tooth profile position offset and shaft angle and shaft angle error(tool feed)

圖18 齒廓位置偏移量之差與進(jìn)給速度、軸交角誤差關(guān)系(刀具進(jìn)給時(shí))Fig.18 Relation among the difference of the tooth profile position offset and feeding speed and shaft angle error(tool feed)

由圖17可知，在刀具進(jìn)給過(guò)程中，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的齒廓位置偏移量與正誤差時(shí)的齒廓位置偏移量之差δ1在軸交角和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ1<0，且軸交角誤差的變化對(duì)δ1的影響遠(yuǎn)高于軸交角的變化對(duì)δ1的影響，當(dāng)軸交角誤差逐漸減小時(shí)，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的齒廓位置偏移量與正誤差時(shí)的齒廓位置偏移量趨于相等；由圖18可知，δ1在進(jìn)給速度和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ1<0，且|δ1|隨著進(jìn)給速度的增加和軸交角誤差的減小而逐漸減小，當(dāng)軸交角誤差一定時(shí)，提高進(jìn)給速度可在一定程度上減小δ1。

在刀具進(jìn)給過(guò)程中，不同的軸交角誤差方向下的齒廓螺旋線角度偏差之差

δ2與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的變化關(guān)系如圖19、圖20所示。

圖19 螺旋線角度偏差之差與軸交角、軸交角誤差關(guān)系(刀具進(jìn)給時(shí))Fig.19 Relation among the difference of the helix angle deviations and shaft angle and shaft angle error(tool feed)

圖20 螺旋線角度偏差之差與進(jìn)給速度、軸交角誤差關(guān)系(刀具進(jìn)給時(shí))Fig.20 Relation among the difference of the helix angle deviations and feeding speed and shaft angle error(tool feed)

由圖19可知，在刀具進(jìn)給過(guò)程中，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差與正誤差時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差之差δ2在軸交角和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ2>0，且當(dāng)軸交角減小和軸交角誤差增大時(shí)，δ2將顯著增大；由圖20可知，δ2在進(jìn)給速度和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ2>0，且軸交角誤差的變化對(duì)δ2的影響遠(yuǎn)大于進(jìn)給速度的變化對(duì)δ2的影響，當(dāng)軸交角誤差逐漸減小時(shí)，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的螺旋線角度偏差與正誤差時(shí)的螺旋線角度偏差趨于相等。

綜上，在刀具進(jìn)給過(guò)程中，齒廓位置偏移量之差δ1均滿足δ1<0，螺旋線角度偏差之差δ2均滿足δ2>0，即軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，刮齒加工后可獲得更小的齒廓位置偏移量，且隨著軸交角誤差的減小或進(jìn)給速度的增加，將具有更小的齒廓位置偏移量。當(dāng)軸交角誤差為正誤差時(shí)，刮齒加工后可獲得更小的螺旋線角度偏差，且隨著軸交角的增加或軸交角誤差的減小，齒廓螺旋線角度偏差更小。

3.2.2工件進(jìn)給時(shí)加工精度對(duì)比

在工件進(jìn)給過(guò)程中，不同的軸交角誤差方向下的齒廓位置偏移量之差

δ3=(Δvmnti+LΔvmn2/v)-(Δvmpti+LΔvmp2/v)
=(Δvmn-Δvmp)ti+(Δvmn2-Δvmp2)L/v

δ3與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的變化關(guān)系如圖21、圖22所示。

圖21 齒廓位置偏移量之差與軸交角、軸交角誤差關(guān)系(工件進(jìn)給時(shí))Fig.21 Relation among the difference of the tooth profile position offset and shaft angle and shaft angle error(workpiece feed)

圖22 齒廓位置偏移量之差與進(jìn)給速度、軸交角誤差關(guān)系(工件進(jìn)給時(shí))Fig.22 Relation among the difference of the tooth profile position offset and feeding speed and shaft angle error(workpiece feed)

由圖21可知，在工件進(jìn)給過(guò)程中，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的齒廓位置偏移量與正誤差時(shí)的齒廓位置偏移量之差δ3在軸交角和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ3<0，且軸交角誤差的變化對(duì)δ3的影響遠(yuǎn)大于軸交角的變化對(duì)δ3的影響，當(dāng)軸交角誤差逐漸減小時(shí)，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的齒廓位置偏移量與正誤差時(shí)的齒廓位置偏移量趨于相等；由圖22可知，δ3在進(jìn)給速度和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ3<0，且|δ3|隨著進(jìn)給速度的增加和軸交角誤差的減小而逐漸減小，當(dāng)軸交角誤差一定時(shí)，提高進(jìn)給速度可在一定程度上減小δ3。

在工件進(jìn)給過(guò)程中，不同的軸交角誤差方向下的齒廓螺旋線角度偏差之差

δ4與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的變化關(guān)系如圖23、圖24所示。

圖23 螺旋線角度偏差之差與軸交角、軸交角誤差關(guān)系(工件進(jìn)給時(shí))Fig.23 Relation among the difference of the helix angle deviations and shaft angle and shaft angle error(workpiece feed)

圖24 螺旋線角度偏差之差與進(jìn)給速度、軸交角誤差關(guān)系(工件進(jìn)給時(shí))Fig.24 Relation among the difference of the helix angle deviations and feeding speed and shaft angle error(workpiece feed)

由圖23可知，在工件進(jìn)給過(guò)程中，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差與正誤差時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差之差δ4在軸交角和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ4>0，且當(dāng)軸交角減小和軸交角誤差增大時(shí)，δ4將顯著增大；由圖24可知，δ4在進(jìn)給速度和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ4>0，且軸交角誤差的變化對(duì)δ4的影響遠(yuǎn)大于進(jìn)給速度的變化對(duì)δ4的影響，當(dāng)軸交角誤差逐漸減小時(shí)，軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)的螺旋線角度偏差與正誤差時(shí)的螺旋線角度偏差趨于相等。

綜上，與刀具進(jìn)給時(shí)的情況相同，在工件進(jìn)給過(guò)程中，齒廓位置偏移量之差δ3均滿足δ3<0，螺旋線角度偏差之差δ4均滿足δ4>0，即軸交角誤差為負(fù)誤差時(shí)，刮齒加工后可獲得更小的齒廓位置偏移量，且隨著軸交角誤差的減小或進(jìn)給速度的增大，齒廓位置偏移量更小。當(dāng)軸交角誤差為正誤差時(shí)，刮齒加工后可獲得更小的螺旋線角度偏差，且隨著軸交角的增大或軸交角誤差的減小，齒廓螺旋線角度偏差更小。

3.2.3不同進(jìn)給方式下加工精度對(duì)比

在軸交角誤差為負(fù)時(shí)，刀具進(jìn)給與工件進(jìn)給的齒廓位置偏移量之差

δ5=(Δvmnti+LΔvmn1/v)-(Δvmnti+LΔvmn2/v)=
(Δvmn1-Δvmn2)L/v

δ5與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的變化關(guān)系如圖25、圖26所示。由圖25可知，軸交角誤差為負(fù)時(shí)，刀具進(jìn)給時(shí)的齒廓位置偏移量與工件進(jìn)給時(shí)的齒廓位置偏移量之差δ5在進(jìn)給速度和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ5>0，且軸交角誤差的變化對(duì)δ5的影響遠(yuǎn)大于進(jìn)給速度的變化對(duì)δ5的影響，當(dāng)軸交角誤差逐漸增大時(shí)，齒廓位置偏移量之差δ5也隨之增大；由圖26可知，δ5在軸交角和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ5>0，且軸交角誤差的變化對(duì)δ5的影響遠(yuǎn)大于軸交角的變化對(duì)δ5的影響，當(dāng)軸交角誤差逐漸增大時(shí)，齒廓位置偏移量之差δ5也隨之增大。

圖25 齒廓位置偏移量之差與進(jìn)給速度、軸交角誤差關(guān)系(軸交角負(fù)誤差時(shí))Fig.25 Relation among the difference of the tooth profile position offset and feeding speed and shaft angle error(shaft angle error is negative)

圖26 齒廓位置偏移量之差與軸交角、軸交角誤差關(guān)系(軸交角負(fù)誤差時(shí))Fig.26 Relation among the difference of the tooth profile position offset and shaft angle and shaft angle error(shaft angle error is negative)

在軸交角誤差為正時(shí)，刀具進(jìn)給與工件進(jìn)給時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差之差

δ6與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的變化關(guān)系如圖27、圖28所示。由圖27可知，軸交角誤差為正時(shí)，刀具進(jìn)給時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差與工件進(jìn)給時(shí)的齒廓螺旋線角度偏差之差δ6在軸交角和進(jìn)給速度的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ6<0，且當(dāng)軸交角減小和進(jìn)給速度增大時(shí)，|δ6|快速增大；由圖28可知，δ6在軸交角和軸交角誤差的變化區(qū)間內(nèi)均滿足δ6<0，且當(dāng)軸交角減小和軸交角誤差增大時(shí)，|δ6|將快速增大。所以，當(dāng)工件進(jìn)給且軸交角誤差為負(fù)時(shí)，可獲得最小的齒廓位置偏移量；當(dāng)?shù)毒哌M(jìn)給且軸交角誤差為正時(shí)，可獲得最小的齒廓螺旋線偏差。

圖27 螺旋線角度偏差之差與軸交角、進(jìn)給速度關(guān)系(軸交角正誤差時(shí))Fig.27 Relation among the difference of the helix angle deviations and shaft angle and feeding speed(shaft angle error is positive)

圖28 螺旋線角度偏差之差與軸交角、軸交角誤差關(guān)系(軸交角正誤差時(shí))Fig.28 Relation between the difference of the helix angle deviations and shaft angle and shaft angle error(shaft angle error is positive)

4 刮齒加工實(shí)驗(yàn)

4.1 加工實(shí)驗(yàn)

本課題組與宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限公司共同研發(fā)數(shù)控刮齒機(jī)樣機(jī)YK8132。試切齒輪參數(shù)如下：模數(shù)1 mm，齒數(shù)108，壓力角20°，螺旋角-10°，齒寬27.5 mm。刮齒機(jī)主要參數(shù)如下：軸交角25°，刀具轉(zhuǎn)速1 200 r/min，刀具軸向進(jìn)給速度4 mm/s，退刀速度50 mm/s。加工過(guò)程中，先增加軸交角至30°，然后減小至25°，使軸交角誤差為正，并加工內(nèi)斜齒輪。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

以1、28、55和82號(hào)輪齒為檢測(cè)對(duì)象，使用克林貝格齒輪綜合檢測(cè)中心分別對(duì)其左右齒廓的齒形、齒向和齒距偏差進(jìn)行檢測(cè)，評(píng)價(jià)區(qū)間為10%～90%。檢測(cè)結(jié)果列于表1～表3。

表1 齒形檢測(cè)結(jié)果

表2 齒向檢測(cè)結(jié)果

表3 齒距檢測(cè)結(jié)果

如表1所示，在齒形檢測(cè)結(jié)果中，1號(hào)齒右齒廓齒形角度誤差(4.9 μm)和總誤差(6.3 μm)最大，達(dá)到6級(jí)精度要求；28號(hào)齒左齒廓齒形形狀誤差(2.9 μm)，達(dá)到4級(jí)精度要求。如表2所示，在齒向檢測(cè)結(jié)果中，1號(hào)齒右齒廓齒向角度誤差(2.9 μm)最大，達(dá)到3級(jí)精度要求；55號(hào)齒左齒廓齒向總誤差(3.8 μm)和齒向形狀誤差(3.9 μm)最大，分別達(dá)到2級(jí)精度和3級(jí)精度。如表3所示，在齒距檢測(cè)結(jié)果中，右齒廓的單個(gè)齒距誤差(0.9 μm)和相鄰齒距誤差(1.8 μm)最大，達(dá)到1級(jí)精度；左齒廓的齒距累積誤差(7.1 μm)最大，達(dá)到3級(jí)精度。另外，被測(cè)齒輪的跳動(dòng)誤差檢測(cè)結(jié)果為10.3 μm，滿足5級(jí)精度。因此，綜合上述檢測(cè)結(jié)果，樣機(jī)的精度達(dá)到了6級(jí)。

5 結(jié)論

(1)通過(guò)建立刀具進(jìn)給和工件進(jìn)給方式下刮齒加工的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，闡明了刮齒加工內(nèi)齒輪的原理，并推導(dǎo)出不同進(jìn)給方式下刀具主軸和工件主軸的轉(zhuǎn)速變化量。

(2)通過(guò)建立無(wú)進(jìn)給運(yùn)動(dòng)、刀具進(jìn)給運(yùn)動(dòng)和工件進(jìn)給運(yùn)動(dòng)中，不同的軸交角誤差方向下，刀具和工件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，分析了刮齒加工誤差的產(chǎn)生機(jī)理，并闡明了軸交角負(fù)誤差方向和加工進(jìn)給方式與刮齒加工精度之間的關(guān)系：軸交角負(fù)誤差導(dǎo)致實(shí)際齒廓向左齒廓方向偏移，并導(dǎo)致齒廓螺旋線角度的正偏差；軸交角正誤差導(dǎo)致實(shí)際齒廓向右齒廓方向偏移，并導(dǎo)致齒廓螺旋線角度的負(fù)偏差。

(3)通過(guò)建立多因素耦合作用下的刮齒加工誤差模型，分析了刮齒加工精度與軸交角、軸交角誤差以及進(jìn)給速度之間的關(guān)系，并對(duì)比分析了不同的軸交角誤差方向和進(jìn)給方式下的刮齒加工精度。由分析結(jié)果可知，增加進(jìn)給速度和軸交角，減小軸交角誤差可提高刮齒加工精度。當(dāng)工件進(jìn)給且軸交角誤差為負(fù)時(shí)，可獲得最小的齒廓位置偏移量；當(dāng)?shù)毒哌M(jìn)給且軸交角誤差為正時(shí)，可獲得最小的齒廓螺旋線偏差。