仇秋生, 潘銘敏

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

標(biāo)量化方法就是將集值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值優(yōu)化問題,建立集值優(yōu)化問題的解與數(shù)值優(yōu)化問題最優(yōu)解之間的聯(lián)系.由于數(shù)值優(yōu)化問題的理論與算法相對比較成熟,所以，通過標(biāo)量化,集值優(yōu)化問題的解可由求解數(shù)值優(yōu)化問題得到.同時,標(biāo)量化方法還是研究集值優(yōu)化問題解集性質(zhì)的有力工具.標(biāo)量化方法主要有線性標(biāo)量化和非線性標(biāo)量化.而線性標(biāo)量化通常借助凸集分離定理、擇一性定理等得到各種解的標(biāo)量刻畫,對目標(biāo)函數(shù)及可行集有一定的凸性要求.然而,在實際生活中,許多集值優(yōu)化問題是非凸的,因此,非線性標(biāo)量化方法日益成為研究的熱點.文獻(xiàn)[1]在凸錐內(nèi)部非空的情況下,借助Minkowski泛函構(gòu)造了非線性標(biāo)量化函數(shù),人們稱之為Gerstewitz泛函,這一泛函也被稱為最小嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).Gerstewitz泛函被廣泛應(yīng)用于可行集不是凸集的向量優(yōu)化和向量均衡問題.隨后,文獻(xiàn)[2]在拓?fù)渚€性空間中運用非凸分離定理,對向量優(yōu)化問題的弱有效解和真有效解進(jìn)行標(biāo)量刻畫;文獻(xiàn)[3]在賦范線性空間中利用連續(xù)的最小嚴(yán)格單調(diào)泛函,給出了Henig真有效點的非線性標(biāo)量化定理;文獻(xiàn)[4]在拓?fù)渚€性空間中引入了基于改進(jìn)集的非線性標(biāo)量泛函,討論了向量優(yōu)化問題的E-弱有效解和E-Benson真有效解的標(biāo)量化定理;文獻(xiàn)[5]將Gerstewitz泛函的主要性質(zhì)從拓?fù)渚€性空間推廣到一般的實線性空間,討論了Gerstewitz泛函的正齊性和單調(diào)性等,并給出了向量均衡問題弱有效解的非線性標(biāo)量化定理;文獻(xiàn)[6]在一般的線性空間中建立了基于序錐的擬相對內(nèi)部的非凸分離定理.

在不具備拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的線性空間中,對集值優(yōu)化問題統(tǒng)一解的非線性標(biāo)量刻畫的研究比較少.因此,在文獻(xiàn)[7-11]的基礎(chǔ)上,本文在實線性空間中引入基于改進(jìn)集的非線性標(biāo)量泛函,利用集合代數(shù)內(nèi)部和向量閉集的性質(zhì),得到了非凸分離定理,對集值優(yōu)化問題的E-弱有效解和E-全局真有效解進(jìn)行標(biāo)量化刻畫,去掉了目標(biāo)函數(shù)及可行集的凸性要求.

1 預(yù)備知識

若無特別申明,以下總設(shè)X,Y是實序線性空間.0表示每個空間的零元.記R+=[0,+∞),R++=(0,+∞).設(shè)K是Y的非空子集,若?k∈K,λ≥0,有λk∈K,則稱K為錐;若錐K還是凸集,則稱K為凸錐;若錐K滿足K∩(-K)={0},則稱K為點錐.錐K是非平凡的當(dāng)且僅當(dāng)K≠{0}且K≠Y.

以下均假設(shè)K為非平凡的凸錐.

定義1[11]設(shè)E是Y中的非空子集,若0?E且E+K=E,則稱E是關(guān)于錐K的改進(jìn)集,簡稱E是改進(jìn)集,記Y中所有改進(jìn)集的集合為ζY.

定義2[12]若M是Y中的非空子集,則稱

corM:={m∈M| ?y∈Y,?λ′>0,?λ∈[0,λ′],m+λy∈M},

vclM:={m∈Y| ?y∈Y,?λ′>0,?λ∈(0,λ′],m+λy∈M}

分別為M的代數(shù)內(nèi)部和向量閉集.

引理1設(shè)K是Y中的凸錐且corK≠?,對?q∈corK,有Y=qR++-K.

引理2[13]設(shè)K是Y中代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,若E∈ζY,則corE=E+corK.

引理3[12]若M?Y是非空子集,K是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,則

1)cor(M+K)=cor(vcl(M+K));

2)cor(vcl(M+K))=M+corK.

命題1設(shè)K?Y是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,E?Y是關(guān)于錐K的改進(jìn)集,則corE= vclE+corK.

證明 由于E+corK?vclE+corK,而corE=E+corK,所以

corE?vclE+corK.

另一方面,

vclE+corK?cor(vclE+K).

(1)

下證vclE+K?vcl(E+K). 對?y∈vclE+K,?e∈vclE,k∈K,使得y=e+k.由于e∈vclE,所以?b∈Y,?ε>0,?t∈[0,ε],有e+tb∈E.因此,

y+tb=e+k+tb∈E+K.

由向量閉集定義知y∈vcl(E+K).所以,vclE+K?vcl(E+K).則由式(1)和引理3的1)知,

vclE+corK?cor(vcl(E+K)) =cor(E+K)=corE.

因此,vclE+corK?corE.綜上,corE=vclE+corK.命題1證畢.

注1若E不是關(guān)于K的改進(jìn)集,則命題1不一定成立.

設(shè)W?X是非空子集,F:W→2Y是集值映射,考慮如下集值優(yōu)化問題:

注2線性空間中基于改進(jìn)集的全局真有效性是一個一般性的概念,它包括全局真有效性和近似全局真有效性等作為特殊情況.

2 實線性空間中基于改進(jìn)集的非線性標(biāo)量化泛函

Gerth等[2]在拓?fù)渚€性空間中提出了一類最小嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),也被稱為Gerstewitz 泛函,在非凸優(yōu)化問題中有著廣泛的應(yīng)用.

下面在實線性空間中引入基于改進(jìn)集的非線性標(biāo)量化泛函.

命題2設(shè)Y是線性空間,K?Y是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,q∈corK,令Q(y)={t∈R|y∈tq-E},則集合Q(y)是下有界的.

證明 由于Q(y)={t∈R|y∈tq-E},因此，若t1∈Q(y),則t1∈R,且y∈t1q-E.當(dāng)λ>t1時,

y-λq=y-t1q+(t1-λ)q∈-E-corK=-corE?-E,

這說明λ∈Q(y),即

若t1∈Q(y),λ>t1,則y∈λq-E.

(2)

下證Q(y)≠R.假設(shè)Q(y)=R,則對?λ∈R,有y∈λq-E.對?z∈Y,有-z∈Y.由引理1知,?k′∈K和s>0,使得-z=sq-k′.因為Q(y)=R,所以-s∈Q(y),即y+sq∈-E.因此,

-z=sq-k′+y-y=(y+sq)-k′-y∈-E-K-y=-E-y.

由z的任意性知,-Y?-E-y,因此Y=E,與E是改進(jìn)集矛盾.故假設(shè)不成立,從而Q(y)≠R.

由式(2)知,若t1?Q(y),則當(dāng)μ

定義5設(shè)K?Y是代數(shù)內(nèi)部非空的凸錐,E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,q∈corK,定義如下的泛函:

ξq,E(y)=inf{t∈R|y∈tq-E}, ?y∈Y.

規(guī)定inf ?=+∞.

注3ξq,E(y)關(guān)于序錐K是不減的,這是因為,對?y1,y2∈Y,y2-y1∈K.若ξq,E(y2)=∞,則ξq,E(y1)≤ξq,E(y2).若ξq,E(y2)<∞,則對任意滿足y2∈tq-E的t有

y1∈y2-K?tq-E-K=tq-E.

因此,ξq,E(y1)≤t,進(jìn)而ξq,E(y1)≤ξq,E(y2).綜上,ξq,E(y)關(guān)于K是不減的.

由向量閉集和集合代數(shù)內(nèi)部的性質(zhì)獲得基于改進(jìn)集的非線性標(biāo)量化泛函的下列重要性質(zhì):

定理1設(shè)Y是實線性空間,E?Y是關(guān)于K的改進(jìn)集,q∈corK,則

1){y∈Y|ξq,E(y)<λ}=λq-corE;

2){y∈Y|ξq,E(y)≤λ}=λq-vclE.

證明 1)首先證明{y∈Y|ξq,E(y)<λ}?λq-corE.?y′∈{y∈Y|ξq,E(y)<λ},存在s<λ,使得y′∈sq-E.已知q∈corK,則

y′∈λq-((λ-s)q+E)?λq-((0,∞)q+E)?λq-(corK+E)=λq-corE,

即y′∈λq-corE.因此,{y∈Y|ξq,E(y)<λ}?λq-corE.

下證λq-corE?{y∈Y|ξq,E(y)<λ}.對?z∈λq-corE,有λq-z∈corE.因為q∈corK?Y,所以-q∈Y.又因為λq-z∈corE,所以對于-q∈Y,存在α>0,使得λq-z-αq∈E,即z∈(λ-α)q-E.因此,ξq,E(z)≤λ-α<λ.

下證{y∈Y|ξq,E(y)≤λ}?λq-vclE.對?u∈{y∈Y|ξq,E(y)≤λ},當(dāng)ξq,E(u)<λ時,由定理1的1)可知,

u∈λq-corE?λq-vclE.

結(jié)論顯然成立.

u∈tnq-E.

(3)

下面分2種情況討論:

①若存在n0,使得tn0=λ,則由式(3)知,u∈tn0q-E=λq-E?λq-vclE.結(jié)論得證.

λq-u+αnq∈E.

所以,λq-u∈vclE,即u∈λq-vclE.因此,{y∈Y|ξq,E(y)≤λ}?λq-vclE.定理1證畢.

3 E-全局真有效解的非線性標(biāo)量化定理

下面對集值優(yōu)化問題基于改進(jìn)集的弱有效解和全局真有效解進(jìn)行標(biāo)量刻畫.

考慮由集值優(yōu)化(VP)誘導(dǎo)的標(biāo)量化問題:

其中:y∈Y;q∈corK;E∈ζY;ξq,E由定義5所定義.

下面討論實線性空間中集值優(yōu)化問題E-弱有效解和E-全局真有效解的非線性標(biāo)量化定理.

(4)

由定理1知,當(dāng)λ=0時,{y∈Y|ξq,E(y)<0}=-corE.因此,由式(4)得

這表明

(5)

ξq,E(0)=inf{t∈R|0∈tq-E}=inf{t∈R|tq∈E}≤inf{t∈R+|tq∈E}=ε,

所以

(6)

然而,存在y′=(-1,-1),使得

(7)

ξq,E(0)≥0.

(8)

假設(shè)ξq,E(0)<0,則存在t1<0,使得0∈t1q-E,即t1q∈E.由于q∈corK?K,所以-t1q∈K.因此,

0=t1q-t1q∈E+K=E.

這與E是改進(jìn)集矛盾,故假設(shè)不成立.因此,ξq,E(0)≥0.從而

ξq,E(0)=inf{t∈R|tq∈E}=inf{t∈R+|tq∈E}=ε.

(9)

注5對于ξq,E(0),我們無法得到ξq,E(0)>0這一結(jié)論,因為ξq,E(0)=0的情況仍有可能出現(xiàn).

顯然,

(10)

與式(10)矛盾,因此假設(shè)不成立,即

(11)

由定理1知,當(dāng)λ=0時,{y∈Y|ξq,E(y)<0}=-corE.因此,由式(11)得

這表明

(12)

ξq,E(0)=inf{t∈R|tq∈E}≤inf{t∈R+|tq∈E}=ε.

因此,

(13)

注6定理4的逆命題不一定成立.

又由于

4 結(jié) 語

為了對不具備拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的非凸集值優(yōu)化問題進(jìn)行標(biāo)量刻畫,引入了實線性空間中基于改進(jìn)集和集合代數(shù)內(nèi)部的非凸分離定理,克服了線性標(biāo)量化定理中對集值優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)和可行集的凸性要求.作為應(yīng)用,給出了線性空間中集值優(yōu)化問題E-全局真有效解和E-弱有效解的非線性標(biāo)量化定理.由于集值優(yōu)化問題的E-有效性具有統(tǒng)一性和一般性,因此,本文提出的基于改進(jìn)集的非凸分離定理對精確和近似的真有效解都成立.