王青青 牛鑫

摘 要 本文研究有限等待空間下帶有顧客流失的Gt/H2*/m/k隊(duì)列模型，結(jié)合隨機(jī)過程極限和概率測度收斂，應(yīng)用連續(xù)映射等方法得到了高負(fù)荷條件下流失人數(shù)的極限表達(dá)。

關(guān)鍵詞 有限等待空間 多服務(wù)隊(duì)列 流失人數(shù)

中圖分類號：TM911文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

排隊(duì)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，由于等待空間有限造成的顧客流失也很頻繁 Whitt在G/GI/n/m隊(duì)列模型的擴(kuò)散中對H2*服務(wù)時間分布的Z隨機(jī)過程極限做了討論。Liu Yu-nan，Whitt對Gt/M/st+GI隊(duì)列模型用流體逼近的方法對參數(shù)隨時間變化情況進(jìn)行了研究。James Dong， Whitt結(jié)合生滅過程對周期隊(duì)列的平穩(wěn)分布進(jìn)行了研究。本文在此基礎(chǔ)上對到達(dá)率隨時間變化的Gt/H2*/m/k模型進(jìn)行研究。

1 Gt/H2*/m/k隊(duì)列模型高負(fù)荷極限

假設(shè)系統(tǒng)的到達(dá)過程由2個獨(dú)立到達(dá)源構(gòu)成，且各自到達(dá)率隨均隨時間變化。有m個服務(wù)臺，k個等待空間，服務(wù)時間分布從由概率為p的指數(shù)分布和概率為1-p的零點(diǎn)集分布構(gòu)成的H2*分布，設(shè)到達(dá)過程與服務(wù)過程是相互獨(dú)立的，且每個服務(wù)臺平均服務(wù)率為，設(shè)是一系列非負(fù)隨機(jī)變量，表示系統(tǒng)中第k個和第k-1個顧客的到達(dá)間隔時間，表示第i個服務(wù)臺第k個顧客接受服務(wù)的時間，則有

其中，是系統(tǒng)中第k個顧客的到達(dá)時間，是第i個服務(wù)臺前k個顧客累積服務(wù)時間。

構(gòu)造2個到達(dá)率隨時間變化的到達(dá)過程，

是隨機(jī)到達(dá)計(jì)數(shù)過程滿足FCLT，，是隨時間變化的累積到達(dá)率函數(shù)，滿足

是隨時間變化的到達(dá)率函數(shù)，在有限區(qū)間內(nèi)可積。

對到達(dá)率取均值，則

令，是第1，2類顧客到達(dá)計(jì)數(shù)過程，是顧客離去計(jì)數(shù)過程，則有

每個服務(wù)臺離去的顧客數(shù)為：

整個系統(tǒng)離去的顧客數(shù)為：

設(shè)是任意t時刻的隊(duì)長，是[0，t]內(nèi)流失的顧客數(shù)。

對以上變量，以n作為指標(biāo)，用n刻畫時間，用刻畫空間，表示不超過t的最大整數(shù)且，則有：

其中

2主要結(jié)論

定理1：（Gt/H2*/m/k隊(duì)列模型流失人數(shù)的高負(fù)荷極限）對于Gt/H2*/m/k序列模型，令初始狀態(tài)為空，設(shè)，，且，假設(shè)在空間上，有

且

則有

其中

參考文獻(xiàn)

[1] Whitt，W. A diffusion approximation for the? queue [J].Operations Research，2004，52（06）：922-941.

[2] Liu Yunan，Whitt W. Many-server heavy-traffic limit for queues with time-varying parameters[J].The Annals of Applied Probability，2014，24（01）：378-421.

[3] Dong，J&W.Whitt.Using a birth-and-death process to estimate the steady-state distribution of a periodic queue[J].Naval Research Logistics，2015，62（08）：664-685.

[4] W Whitt.Stochastic Process Limits， Springer[M].New York： Spriner，2002.

[5] Billingsley，P.Convergence of Probability Measures[M].New York：Second edition，Wiley，1999.