段 寅，許慶虎

(1.淮南聯合大學建筑工程系，安徽 淮南 232001；2.安徽建筑大學土木工程學院，安徽 合肥 230601)

近年來，建筑結構的振動控制研究已經受到了越來越多的關注[1]。H∞控制算法作為一種常用的主動控制策略，在建筑結構的抗震控制中有著廣泛的應用[2-4]。然而H∞控制算法雖然能夠較好地解決系統(tǒng)的魯棒性，卻犧牲了系統(tǒng)的其他性能[5]。鑒于此，綜合了H∞控制的魯棒性和H2控制的調節(jié)性能的混合H2/H∞控制方法具有重要的研究價值。文獻[6]采用動態(tài)縮聚法對20層建筑結構降階模型設計了H2/H∞控制器?？刂破鞯聂敯粜员苊饬撕雎愿唠A模態(tài)而引起的不穩(wěn)定溢出問題，保證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[7]基于線性矩陣不等式技術提出了混合H2/H∞控制策略，用以降低地震作用下建筑結構的動力響應，并通過數值模擬對該方法的可行性和有效性進行了驗證。文獻[8]設計了多目標H2/H∞混合控制器，通過調節(jié)系統(tǒng)的H∞性能來提高H2性能，從而進一步抑制結構的加速度響應，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抑制性能。文獻[9]應用線性矩陣不等式技術，研究了基于狀態(tài)反饋的分散H2/H∞魯棒控制方法，對一個多自由度的高層建筑結構進行了數值分析，探討了分散控制策略的適用性。文獻[10]考慮了建筑結構模型參數的不確定性，推導了輸出反饋H2/H∞魯棒控制方法的設計過程，并與LQG控制方法進行了對比，說明了該方法的優(yōu)越性。

在以往控制器的設計中，通常不考慮驅動器的飽和特性，即認為驅動器是理想化的，出力值可以無限大。而驅動器在實際應用中是有最大出力值限定的，因此理想驅動器與實際情況是不相符的，可能會導致控制系統(tǒng)的失效。本文將H2/H∞控制理論與靜態(tài)輸出反饋控制策略相結合，提出了基于線性矩陣不等式(LMI)技術的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法，綜合了H∞控制的魯棒性和H2控制的調節(jié)性能，使得控制系統(tǒng)的性能更加均衡。在控制器的設計過程中考慮了驅動器的飽和特性，即限定了驅動器的最大出力值，與理想驅動器相比更加符合控制系統(tǒng)的實際情況。將提出的控制算法應用于地震作用下的8層建筑結構剪切模型中，數值仿真分析結果表明了該方法的適用性，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和魯棒性[11]。輸出反饋保持了系統(tǒng)的能控性和能觀性不變，結構簡單，只用到外部可測信號[12]，從技術的角度來說實際應用更易于實現。

1 建筑結構系統(tǒng)的描述

對于地震作用下具有n個自由度的受控集中質量結構模型，運動方程可表示為

(1)

式中：x(t)∈Rn×1表示結構相對地面的位移向量；M，C，K∈Rn×n分別表示結構的質量、阻尼和剛度矩陣；u(t)∈Rr×1表示控制力向量，w(t)表示地震激勵向量；Tu∈Rn×r，Tw∈Rn×1分別表示控制力和外激勵的位置矩陣。

將式(1)轉化為狀態(tài)空間形式：

(2)

(3)

其中，In×n為n×n維單位矩陣；0n×n，0n×r，0n×1分別為n×n維、n×r維、n×1維零矩陣。

2 H2/H∞控制方法描述

考慮如圖1所示的系統(tǒng)，其中S(s)和G(s)分別是受控對象模型和控制器模型，該受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可表示為

(4)

式中：Z為狀態(tài)向量，u為控制力輸入，w是外部擾動輸入，Z∞和Z2分別表示與H∞和H2性能指標相關的控制輸出，A為系統(tǒng)矩陣，C∞，C2為狀態(tài)向量影響矩陣，B，D∞，D2為控制力影響矩陣，E為外部擾動影響矩陣。

圖1 魯棒H2/H∞控制系統(tǒng)示意圖

H2/H∞控制器設計應使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下性質[13]61-63：

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；

(2) 從w到Z∞的閉環(huán)傳遞函數TZ∞w(s)的H∞范數不超過給定的上界γ1，即‖TZ∞w(s)‖∞<γ1，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的魯棒性；

(3) 從w到Z2的閉環(huán)傳遞函數TZ2w(s)的H2范數不超過給定的上界γ2，即‖TZ2w(s)‖2<γ2，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的性能處于一個較好的水平。

考慮一個靜態(tài)輸出反饋的控制器u(t)=Gy(t)=GCyZ(t)并應用到系統(tǒng)(4)，得到閉環(huán)系統(tǒng)：

(5)

定理1對于系統(tǒng)(4)和一個給定標量γ1>0，且以下優(yōu)化問題

minγ2

(6)

有一個最優(yōu)解X，Y，則系統(tǒng)(4)的輸出反饋H2/H∞控制問題是可解的。

證明：引入Lyapunov函數V(Z(t))=ZT(t)PZ(t)，其中P為對稱正定矩陣，V(Z(t))關于時間的導數為

ZT(t)[P(A+BGCy)+(A+BGCy)TP]Z(t)+

wT(t)ETPZ(t)+ZT(t)PEw(t)

(7)

在零初始條件下，引入下列指標

(8)

(9)

將式(7)代入式(9)，整理得

(10)

根據文獻[14]中的引理1，式(10)等價于

(11)

由于系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，有V(Z(∞))=0，且系統(tǒng)的初始條件為Z(0)=0，因此上式成立的充分條件為

(C∞+D∞GCy)T(C∞+D∞GCy)+

PA+ATP+(PBGCy)+(PBGCy)T+

(12)

對上式分別左乘和右乘P-1，得

P-1(C∞+D∞GCy)T(C∞+D∞GCy)P-1+

AP-1+P-1AT+(BGCy)P-1+P-1(BGCy)T+

(13)

令X=P-1，Y=GCyX=GCyP-1，式(13)等價于

(C∞X+D∞Y)T(C∞X+D∞Y) <0

(14)

根據矩陣的Schur補性質[13]8-9，式(14)等價于定理1中的條件(i)。

根據文獻[13]60，性質(3)的充要條件是存在一個對稱正定矩陣P1，W，使得

(A+BGCy)P1+P1(A+BGCy)T+EET<0

(15)

(16)

(17)

令X=P1，即可得到定理1中的條件(ii)和(iii)，定理1得證。

輸出反饋控制器u(t)=Gy(t)=GCyZ(t)中的增益矩陣G需要經過一定的處理后才能分離出來。求解增益矩陣G的步驟為[15-16]：

(1)尋找一個n×(n-p)維滿秩矩陣Qy，使CyQy=0；

(2)求解線性矩陣不等式(6)，設

Y=YcCy

(18)

其中，Xq和Xc分別為(n-p)×(n-p)維和n×n維對稱矩陣，Yc為m×p維矩陣。

(3)求解增益矩陣G

(19)

3 算例仿真與分析

以一棟8層建筑結構剪切模型為算例，假定每一樓層均設置主動控制器，結構的驅動形式采用層間驅動方案，如圖2所示。該結構模型的參數為：mi=3.456×105kg，ki=3.404×108N/m，ci=1×105N·s/m，(i=1， 2，…， 8)。地震輸入選用El Centro波，加速度峰值為3.417m/s2，持時30s，采樣步長為0.02s。

圖2 8層建筑結構模型

考慮結構驅動器的出力限制，并具有以下的形式[17]：

(20)

式中：[fmax]i為驅動器的最大出力值，vi(t)為相應的層間速度，sgn(x)=x/|x|為正負號函數。

結構各層驅動裝置的布置方案如表1所示。

表1 建筑結構的驅動器布置方案

首先采用第2節(jié)所述的控制方法設計靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制器，與H2和H∞性能指標相關的輸出為

Z∞=Q∞[d1，d2，…，d8，u1，u2，…，u8]T，

Z2=Q2[a1，a2，…，a8，u1，u2，…，u8]T

其中，di，ai和ui(i=1，2，…，8)分別表示第i層的位移、加速度和控制力。經過試算，相應的參數分別取為

為了說明本文提出的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的有效性，將計算結果與傳統(tǒng)LQR控制方法進行比較。表2給出了地震作用下結構的位移峰值和層間位移峰值對比，表3給出了地震作用下建筑結構的加速度峰值對比。圖3～6分別給出了地震作用下結構的絕對位移峰值、層間位移峰值、加速度峰值和最大控制力。

表2 建筑結構的位移和層間位移峰值對比

由表2數據和圖3可得，靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的位移控制效果達到65.65%～69.17%，平均控制率為67.67%；LQR控制方法的位移控制效果達到65.15%～66.67%，平均控制率為66.12%；由表2和圖4可知，靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的層間位移控制效果達到54.92%～69.17%，平均控制率為64.05%；LQR控制方法的層間位移控制效果達到58.20%～66.67%，平均控制率為63.46%；由表3數據和圖5可知，靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法的加速度控制效果達到32.40%～56.98%，平均控制率為46.34%；LQR控制方法的加速度控制效果達到27.84%～52.62%，平均控制率為42.31%。由上述數據對比可知，本文提出的輸出反饋H2/H∞控制方法在各項動力響應平均控制率上均優(yōu)于LQR方法。

圖3 位移峰值 圖4 層間位移峰值

圖5 加速度峰值 圖6 最大控制力

表3 建筑結構的加速度峰值對比 /(m·s-2)

圖7和圖8分別給出了地震作用下結構頂層的層間位移反應和加速反應時程曲線。可以看出受控結構的層間位移和加速度幅值均得到了有效抑制。

圖7 頂層層間位移反應時程

圖8 頂層加速度反應時程

4 結論

本文將H2/H∞控制理論與靜態(tài)輸出反饋控制策略相結合，提出了基于線性矩陣不等式(LMI)技術的靜態(tài)輸出反饋H2/H∞控制方法，并首次應用于建筑結構的振動控制問題中。本方法在控制器的設計過程中考慮了驅動器的飽和特性，即限定了驅動器的最大出力值，并對地震作用下的8層建筑結構剪切型模型進行了數值模擬與分析：

(1)本文提出的方法綜合了H∞控制的魯棒性和H2控制的調節(jié)性能，使得控制系統(tǒng)的性能更加均衡，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性；

(2)數值計算結果表明，本文提出的控制方法能夠有效地抑制地震作用下結構的動力響應，結構絕對位移、層間位移和加速度的平均控制率分別比LQR方法高出1.55%、0.59%和4.03%，證明了該方法在建筑結構振動控制領域應用的有效性和適用性；

(3)輸出反饋保持了系統(tǒng)的能控性和能觀性不變，結構簡單，只用到外部可測信號，從技術的角度來說實際應用更易于實現。