宋松柏

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌712100；2.西北農(nóng)林科技大學(xué)旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西楊凌712100）

水文事件一般具有多種相依性。選擇一種特征屬性變量，應(yīng)用單變量頻率分析難以為水利工程規(guī)劃、設(shè)計(jì)和管理提供全面的水文設(shè)計(jì)值信息。傳統(tǒng)多變量聯(lián)合分布要求其變量邊際分布必須為同一類(lèi)型的分布，而實(shí)際水文現(xiàn)象具有高度的非線(xiàn)性和復(fù)雜性，同一水文事件的多種特征屬性變量不可能服從同一類(lèi)型的分布。因而，傳統(tǒng)多變量聯(lián)合分布的這種不足限制了其應(yīng)用［1-5］。1959年以來(lái)，隨著 Copula函數(shù)理論的發(fā)展，基于Copula函數(shù)的多變量分析開(kāi)始受到重視。20世紀(jì) 90年代以后，Copula函數(shù)被引入洪水［1-14］、暴雨［1-4］、干旱［15-29］、徑流預(yù)測(cè)［30］、徑流模擬［31］、枯水概率［32］、水 文 預(yù) 報(bào) 不 確 定性［33-34］、 水文 豐枯 遭 遇 特征［35-36］、水量水質(zhì)聯(lián)合分布［37］、水資源供需風(fēng)險(xiǎn)損失［38］、水沙關(guān)系演變［39］、外調(diào)水供水補(bǔ)償特性［40］、缺水風(fēng)險(xiǎn)［41］、用水效率［42］、設(shè)計(jì)潮位［43-45］和大壩洪水漫頂風(fēng)險(xiǎn)率［46］等的聯(lián)合概率分析計(jì)算。從研究文獻(xiàn)來(lái)看，目前在水文學(xué)中應(yīng)用的Copula函數(shù)主要有：對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula以及非對(duì)稱(chēng)的Archimedean Copula、Plackette Copula、Metaelliptical Copula 和混合Copula 等［2，5］。 Copula 函數(shù)參數(shù)估計(jì)方法有精確極大似然法、邊際函數(shù)推斷法和半?yún)?shù)法。其中：邊際函數(shù)推斷法也稱(chēng)兩階段法（two stage method），是目前水文學(xué)中廣泛采用的Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)方法。按照邊際函數(shù)推斷法，基于Copula函數(shù)的水文多變量聯(lián)合概率計(jì)算步驟主要有［2］：①單變量的邊際分布參數(shù)估計(jì)和擬合度檢驗(yàn)；②計(jì)算單變量的概率分布值；③變量間的相依性度量指標(biāo)計(jì)算；④選擇Copula函數(shù)；⑤Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)和擬合度檢驗(yàn)；⑥多變量聯(lián)合概率、條件概率以及相應(yīng)重現(xiàn)期計(jì)算。武漢大學(xué)郭生練教授和熊立華教授在國(guó)內(nèi)率先開(kāi)展了基于Copula函數(shù)的水文分析計(jì)算［1-4］。2017年8月，國(guó)際統(tǒng)計(jì)水文學(xué)委員會(huì)副主席、河海大學(xué)陳元芳教授主持舉辦了河海大學(xué)“Copula在水文與環(huán)境科學(xué)中的應(yīng)用”國(guó)際課程班，培訓(xùn)期間，國(guó)際水文科學(xué)協(xié)會(huì)國(guó)際統(tǒng)計(jì)水文學(xué)委員會(huì)主席Salvatore Grimaldi教授來(lái)華授課。所有這些工作推動(dòng)了Copula在水文科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。目前，國(guó)內(nèi)代表性的專(zhuān)著有《Copulas函數(shù)及其在水文中的應(yīng)用》《Copula函數(shù)理論在多變量水文分析計(jì)算中的應(yīng)用研究》《Copulas and Its Application in Hydrology and Water Resources》以及《非一致性水文概率分布估計(jì)理論和方法》等。

基于Copula函數(shù)的多變量水文頻率已有20多a的研究和實(shí)踐歷史，是水文學(xué)研究的活躍領(lǐng)域之一，經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外水文科學(xué)工作者的不懈努力，豐富了Copula函數(shù)的理論體系，拓寬了Copula函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域?；贑opula函數(shù)的多變量水文頻率計(jì)算也是一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域，涉及高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、水文學(xué)、數(shù)值計(jì)算、優(yōu)化計(jì)算等學(xué)科的交叉和滲透，面臨一系列亟待解決的科學(xué)問(wèn)題。本文不再重復(fù)歸納總結(jié)水文頻率計(jì)算研究進(jìn)展，而是重點(diǎn)探討Copula函數(shù)進(jìn)行水文多變量聯(lián)合概率計(jì)算的幾個(gè)問(wèn)題，以期促進(jìn)基于Copula函數(shù)的多變量水文頻率計(jì)算理論的進(jìn)一步發(fā)展。

1 Copula函數(shù)的主要類(lèi)型

Copula函數(shù)分類(lèi)很多。按照參數(shù)的多少，可以分為單參數(shù)Copula函數(shù)和多參數(shù)Copula函數(shù)。按照變量間相依性特性，可以分為對(duì)稱(chēng)Copula函數(shù)和非對(duì)稱(chēng)Copula函數(shù)。本節(jié)主要介紹水文中應(yīng)用的幾種Copula函數(shù)。

1.1 對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)

對(duì)稱(chēng) Archimedean Copula（Symmetric Archimedean Copula）也稱(chēng)為可交換 Copula（Exchangeable Archimedean Copula，EAC）。 對(duì)稱(chēng) Archimedean Copula函數(shù)主要有20種。這類(lèi)函數(shù)的特點(diǎn)是Copula函數(shù)僅含有一個(gè)參數(shù)，函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單，相對(duì)而言求解容易［2］。其中：Cook-Johnson（Clayton）Copula函數(shù)、Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)、Ali-Mikhail-Haq Copula函數(shù)和Frank Archimedean Copula函數(shù)是水文多變量頻率計(jì)算中應(yīng)用最多的函數(shù)。這4種常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)的生成函數(shù)φ（t）、參數(shù)θ取值范圍和Copula分布函數(shù)（CDF）表達(dá)式見(jiàn)表1（t為生成函數(shù)自變量，d為Copula函數(shù)維數(shù)，uj為第j個(gè)變量的邊際分布，R為實(shí)數(shù)）。

表1 常見(jiàn)的4種對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)形式

因?yàn)閷?duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)只含有一個(gè)參數(shù)，僅用一個(gè)生成函數(shù)描述正的相依性，所以要求變量為對(duì)稱(chēng)相依。實(shí)際上，這種假定通常是不合理的。如洪水事件可用洪量、洪水歷時(shí)和洪峰流量來(lái)描述，顯然，它們?nèi)我鈨蓛勺兞块g的相依性是不對(duì)等的。表1中二維對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)參數(shù)與Kendall’s相關(guān)系數(shù)間存在一定的函數(shù)關(guān)系，可先計(jì)算出樣本的Kendall’s相關(guān)系數(shù)，再推算Copula函數(shù)參數(shù)。但是，三維以上的對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)需要利用極大似然法，通過(guò)迭代法計(jì)算獲得Copula函數(shù)參數(shù)。

1.2 非對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)

非對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)通過(guò)若干個(gè)生成函數(shù)描述變量間的相依性，克服了對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)的缺陷，是水文多變量分析計(jì)算較為合理的選擇函數(shù)，這些函數(shù)參數(shù)的計(jì)算需要利用極大似然法。目前，水文分析中最為常用的非對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)有嵌套 Archimedean（Nested Archimedean Copula，簡(jiǎn)稱(chēng)NAC）構(gòu)造函數(shù)、層次Archimedean Copula（Hierarchical Archimedean Copula，簡(jiǎn)稱(chēng) HAC）構(gòu)造函數(shù)和配對(duì) Copula（Pair-Copula Copula，簡(jiǎn)稱(chēng) PCC）構(gòu)造函數(shù)等［2］。

1.2.1 嵌套Archimedean構(gòu)造函數(shù)

這類(lèi)函數(shù)主要有M3函數(shù)、M4函數(shù)、M5函數(shù)、M6函數(shù)和 M12函數(shù)，見(jiàn)式（1）～式（4）。

（1）M3函數(shù)。其表達(dá)式為

式中：u1、u2、u3分別為邊際分布值；θ1、θ2分別為 Copula函數(shù)參數(shù)， θ2≥ θ1∈ ［0，∞） 。

（2）M4函數(shù)。其表達(dá)式為

式中： θ2≥ θ1∈ ［0，∞） 。

（3）M5函數(shù)。其表達(dá)式為

式中： θ2≥ θ1∈ ［1，∞） 。

（4）M6函數(shù)。其表達(dá)式為

式中： θ2≥ θ1∈ ［1，∞） 。

（5）M12函數(shù)。其表達(dá)式為

式中： θ2≥ θ1∈ ［1，∞） 。

1.2.2 層次Archimedean Copula構(gòu)造函數(shù)

層次 Archimedean Copula（Hierarchical Archimedean Copulas）構(gòu)造函數(shù)又稱(chēng)為廣義嵌套Archimedean構(gòu)造函數(shù)，其一般形式主要基于嵌套多元Archimedean Copula函數(shù)的框架。每一級(jí)Archimedean Copula函數(shù)由前一級(jí)聚集構(gòu)成，頂層級(jí)最后以層次Archimedean Copula函數(shù)結(jié)束，形成d維標(biāo)準(zhǔn)均勻隨機(jī)變量（U1，…，Ud）的聯(lián)合分布，聯(lián)合分布值可在點(diǎn) u＝（u1，…，ud）∈［0，1］d估算［2］。

1.2.3 配對(duì)Pair-Copula構(gòu)造函數(shù)

配對(duì)Pair-Copula構(gòu)造函數(shù)是把多元密度分解為d（d-1）/2個(gè)二維Copula密度函數(shù)，其中前d-1個(gè)為無(wú)條件Copula函數(shù)，其余為條件Copula函數(shù)，主要有Canonical vines和 D-vines兩類(lèi)結(jié)構(gòu)［2］。 其中：D-vines結(jié)構(gòu)的表達(dá)式為

Canonical vines結(jié)構(gòu)的表達(dá)式為

式中：fk為第k個(gè)變量的邊際概率密度；xk為第k個(gè)邊際變量；ci，i+j為第i個(gè)邊際變量與第i+j個(gè)邊際變量構(gòu)成的Copula密度函數(shù)；xi+j為第i+j個(gè)邊際變量；xj為第c14｜23表示 c14｜23（F（x1｜x2，x3），F(xiàn)（x4｜x2，x3）） 。

1.2.4 三維Plackett Copula函數(shù)

設(shè)三變量（u，v，w），其兩兩交乘比率分別為二維Copula分布 CUV、CVW和 CUW，則三維 Plackett Copula參數(shù) ψUVW定義為［2］

其中

式中：在給定ψUVW（u，v，w）下，ψUV、ψVW和ψUW分別為二維Plackett Copula函數(shù)CUV、CVW和CUW的參數(shù)。

記z＝ CUVW，則三維Plackett Copulas分布CUVW（u，v，w）為

其中

給定ψUV、ψVW、ψUW和ψUVW，三維Plackett Copula分布 CUVW（ u，v，w）可用式（8）、式（9）表示，但是三維Plackett Copula的分布密度較為復(fù)雜，其參數(shù)可采用極大似然法進(jìn)行計(jì)算。不難看出，三維Plackett Copula分布有3個(gè)參數(shù)，屬于不對(duì)稱(chēng)Copula函數(shù)。

1.2.5 Metaelliptical Copula函數(shù)

參數(shù)為 μ （p×1） 和Σ（p×p）（p為邊際變量維數(shù)）的d維隨機(jī)變量z具有elliptical類(lèi)分布（elliptical distribution，ED），可定義為［2］

式中：r≥0，為隨機(jī)變量；u為Rd上的均勻分布變量，且獨(dú)立于r；A為d×d的常數(shù)矩陣，且滿(mǎn)足A AT＝Σ；符號(hào)“＝d”的含義是式（12）兩邊具有相同的分布。

當(dāng)r有密度函數(shù)時(shí)，z的密度函數(shù)可以表示為

式中g(shù)（·）為一個(gè)尺度函數(shù)（Scale Function）。

常見(jiàn)的d維對(duì)稱(chēng)elliptical類(lèi)分布見(jiàn)表2。

表2 常見(jiàn)的d維對(duì)稱(chēng)elliptical類(lèi)分布

從表2可以看出，elliptical類(lèi)分布函數(shù)非常復(fù)雜，也屬于不對(duì)稱(chēng)Copula函數(shù)，只能采用極大似然法進(jìn)行參數(shù)求解。

2 Copula函數(shù)在水文多變量分析中面臨的幾個(gè)問(wèn)題

根據(jù)文獻(xiàn)報(bào)道和應(yīng)用實(shí)踐，Copula函數(shù)仍然處在不斷發(fā)展和完善的階段，基于Copula函數(shù)的水文多變量分析計(jì)算中面臨的主要問(wèn)題有以下幾方面。

2.1 變量邊際分布值計(jì)算

按照兩階段法估計(jì)參數(shù)，Copula函數(shù)計(jì)算首先需要進(jìn)行邊際變量的分布函數(shù)值計(jì)算。由于水文事件的概率（頻率）分布函數(shù)未知，氣候變化和高強(qiáng)度人類(lèi)活動(dòng)影響使水文數(shù)據(jù)難以滿(mǎn)足獨(dú)立和同分布條件，以及水文序列長(zhǎng)度有限等影響，邊際變量的分布參數(shù)值計(jì)算受到許多挑戰(zhàn)［5-6］，因此邊際變量函數(shù)值計(jì)算是影響Copula函數(shù)選擇和參數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵步驟。

2.2 Copula函數(shù)參數(shù)計(jì)算

選擇Pearson古典相關(guān)系數(shù)rn、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρn、Kendallτ系數(shù)、Chi圖和K圖方法進(jìn)行變量間的相依性度量。若相依性存在，則可計(jì)算Copula函數(shù)參數(shù)，否則按變量獨(dú)立進(jìn)行多變量聯(lián)合概率計(jì)算。除表2常見(jiàn)的4種二維對(duì)稱(chēng) Archimedean Copula外，Copula函數(shù)參數(shù)需要應(yīng)用極大似然法進(jìn)行估計(jì)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)稱(chēng) Archimedean Copulas、非對(duì)稱(chēng) Archimedean copulas和Plackette Copula分布函數(shù)已知，但是其密度函數(shù)的推求過(guò)程比較復(fù)雜。因此，正確的樣本對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)方程組是保證極大似然法正確求解的關(guān)鍵。Metaelliptical Copula函數(shù)的密度函數(shù)見(jiàn)表2，以下列出代表性Copula函數(shù)的密度函數(shù)表達(dá)式［2］。

2.2.1 常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)三維Copula函數(shù)的密度函數(shù)

（1）Gumbel-Hougaard Copula。 其密度函數(shù)表達(dá)式為

式中：w ＝ （-ln u1）θ+ （-ln u2）θ+ （-ln u3）θ。

（2） Clayton （Cook-Johnson） Copula。 其密度函數(shù)表達(dá)式為

（3）Frank Copula。其密度函數(shù)表達(dá)式為

2.2.2 常見(jiàn)的非對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)的密度函數(shù)

（1）M3 Copula。其密度函數(shù)表達(dá)式為

式中： w ＝ 1- （1-e-θ2）-1（1-e-θ2u1）（1-e-θ2u2） ； G ＝1-e-θ1。

（2）M4 Copula。其密度函數(shù)表達(dá)式為

（3）M5 Copula。其密度函數(shù)表達(dá)式為

（4）M6 Copula。其密度函數(shù)表達(dá)式為

（5）M12 Copula。 其密度函數(shù)表達(dá)式為

2.2.3 PlacketteCopula密度函數(shù)

對(duì)于二維PlacketteCopula函數(shù)，其密度函數(shù)為

式中：ψUV為二維Plackette Copula參數(shù)。

對(duì)于三維Plackette Copula函數(shù)，其密度函數(shù)推導(dǎo)極其復(fù)雜，函數(shù)表達(dá)式較長(zhǎng)，本文不再列出，具體表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。

2.3 Copula函數(shù)值計(jì)算

Copula函數(shù)參數(shù)求解后，對(duì)稱(chēng) Archimedean Copula、PlacketteCopula和完全嵌套的非對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula的分布函數(shù)具有顯函數(shù)的表達(dá)式，可直接進(jìn)行Copula函數(shù)值計(jì)算。但是，非對(duì)稱(chēng)Archimedean Copula函數(shù)中的三維 Pair Copula函數(shù)以及Metaelliptical Copula函數(shù)需要數(shù)值積分才能獲得Copula 函數(shù)值［2］。

2.3.1 三維Pair Copula函數(shù)值計(jì)算

三維Pair Copula函數(shù)構(gòu)造靈活，但是其分布函數(shù)值計(jì)算起來(lái)比較困難，可采用數(shù)值積分計(jì)算：

通過(guò)積分變量代換，有

顯然式（23）為一個(gè)二維條件Copula分布的一維積分，可應(yīng)用高斯數(shù)值積分求解出三維概率分布。

2.3.2 Metaelliptical Copula函數(shù)值計(jì)算

這類(lèi)Copula函數(shù)的密度函數(shù)含有特殊類(lèi)函數(shù)，無(wú)法表示為顯函數(shù)形式，只能通過(guò)數(shù)值積分進(jìn)行求解計(jì)算。Kotz和 Nadarajah（2001）、Nadarajah和 Kotz（2007）推導(dǎo)了二維對(duì)稱(chēng)Kotz type分布密度和分布的超幾何級(jí)數(shù)，二維Pearson typeⅡ、Ⅶ類(lèi)不完全Beta函數(shù)的邊際分布表達(dá)式，詳細(xì)計(jì)算步驟見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。

2.4 Copula函數(shù)的選擇

Copula函數(shù)實(shí)際上是把幾個(gè)相依邊際變量的分布函數(shù)值［0，1］通過(guò)某一函數(shù)連接起來(lái)的函數(shù)，本身不具有嚴(yán)格的水文物理基礎(chǔ)，也就是說(shuō)Copula函數(shù)同樣與單變量分布函數(shù)一樣，它們都不能從物理意義上解釋幾個(gè)相依邊際變量的聯(lián)合發(fā)生概率。因此，Copula函數(shù)只能根據(jù)計(jì)算概率與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)變量的聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)概率擬合效果進(jìn)行定性評(píng)估，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用分布擬合度法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)頻率與相依邊際變量的聯(lián)合分布有關(guān)，實(shí)際應(yīng)用中，聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)概率可采用Gringorten公式。顯然，這是一種聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)頻率的近似計(jì)算。

Copula擬合度檢驗(yàn)通用的方法為CPI Rosenblatt轉(zhuǎn)換法。 設(shè)邊際分布 FX1（x1），…，F(xiàn)Xd（xd） 有聯(lián)合分布 Copula 函數(shù)C（FX1（x1），…，F(xiàn)Xd（xd））＝F（x1，x2，…，xd） ，按照 Copula函數(shù)模擬， Φ-1（Zi） （其中 i＝ 1，2，…，d）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0，1） ， Φ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； Φ-1（Zi） 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0，1） 的逆函數(shù)，則Rosenblatt轉(zhuǎn)換檢驗(yàn)法的步驟：①提出原假設(shè) H0，即（X1，X2，…，Xd） 具有 C（FX1（x1），…，F(xiàn)Xd（xd））＝ C（u1，u2，…，ud）；②選擇檢驗(yàn)方法，如 Kolmogorov檢驗(yàn)、Cramér von Mises檢驗(yàn)和Anderson Darling（AD）檢驗(yàn)；③根據(jù)顯著水平α，確定相應(yīng)的臨界值；④根據(jù)樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀(guān)測(cè)值；⑤比較統(tǒng)計(jì)量的觀(guān)測(cè)值與臨界值，對(duì)原假設(shè)H0進(jìn)行判斷。

在單變量分布擬合度檢驗(yàn)中，當(dāng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度較大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量分布顯著水平α相應(yīng)的臨界值需要提取模擬序列第（1-α）%的分位數(shù)來(lái)確定。同樣，Copula擬合度檢驗(yàn)沒(méi)有給出顯著水平α相應(yīng)的臨界值表，也需要進(jìn)行模擬試驗(yàn)進(jìn)行確定。

3 基于Copula函數(shù)的水文多變量分析計(jì)算的建議

根據(jù)現(xiàn)有基于Copula函數(shù)的水文多變量分析面臨的問(wèn)題，建議深入開(kāi)展以下研究工作，以期為我國(guó)水文頻率計(jì)算提供參考和支撐。

3.1 非平穩(wěn)多變量聯(lián)合概率分布與設(shè)計(jì)值計(jì)算的實(shí)用化

基于Copula函數(shù)的水文多變量聯(lián)合概率計(jì)算仍然假定邊際變量滿(mǎn)足獨(dú)立、同分布條件。若邊際變量不滿(mǎn)足平穩(wěn)性，則現(xiàn)有Copula函數(shù)的計(jì)算方法體系不能用于計(jì)算非平穩(wěn)變量的聯(lián)合概率與設(shè)計(jì)值。雖然一些學(xué)者提出了時(shí)變Copula函數(shù)的計(jì)算方法，但是其模型求解難度增大。因此，這些方法仍需在實(shí)用化方面進(jìn)一步研究。另外，單變量情況下設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)（設(shè)計(jì)重現(xiàn)期）的設(shè)計(jì)值可以進(jìn)行清晰的確定并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐，但是多變量設(shè)計(jì)值則無(wú)法明確確定。Salvadori G等提出了基于聯(lián)合概率值定義危險(xiǎn)區(qū)域的Kendall重現(xiàn)期計(jì)算方法［47-50］，他們認(rèn)為該方法比傳統(tǒng)的重現(xiàn)期計(jì)算更為合理，其基本原理是將事件發(fā)生區(qū)域劃分為超臨界區(qū)域、臨界面和亞臨界區(qū)域3類(lèi)，事件發(fā)生在超臨界區(qū)域上的平均時(shí)間間隔長(zhǎng)度為多變量事件重現(xiàn)期。這種計(jì)算非常復(fù)雜，目前仍然停留在研究層面，需要在實(shí)用化方面進(jìn)一步研究。

3.2 提高Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)精度

如上所述，Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法大多采用極大似然法。按照極大似然法原理，一般需要求解樣本似然函數(shù)對(duì)Copula函數(shù)參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的非線(xiàn)性方程組。若Copula函數(shù)參數(shù)較少、不含有特殊函數(shù)時(shí)，則非線(xiàn)性方程組求解相對(duì)容易。當(dāng)Copula函數(shù)參數(shù)較多、非線(xiàn)性方程組含有特殊函數(shù)和邊際變量非顯式分布函數(shù)時(shí)，則求解非常復(fù)雜。另外，非線(xiàn)性方程組的初值選擇有時(shí)會(huì)影響非線(xiàn)性方程組的求解。因此，當(dāng)非線(xiàn)性方程組求解困難時(shí)，以樣本似然函數(shù)為最大目標(biāo)函數(shù)，考慮Copula函數(shù)參數(shù)取值范圍，采用遺傳算法、粒子群算法、螞蟻群算法、混合蛙跳算法、頭腦風(fēng)暴算法、蜻蜓算法和水循環(huán)算法等智能優(yōu)化求解方法，可能不失為一種求解途徑。

3.3 提高隨機(jī)變量和、差、積、商分布計(jì)算的精度

流域設(shè)計(jì)斷面各部分洪水的地區(qū)組成、干旱分析中特征變量的復(fù)合運(yùn)算、水資源評(píng)價(jià)和配置中研究斷面來(lái)水與區(qū)間耗水量的組合分布分析等都可以歸結(jié)為水文變量和、差、積、商的分布計(jì)算。傳統(tǒng)多變量理論上可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換和高維數(shù)值積分來(lái)獲得，但是其求解非常復(fù)雜，難以保證積分值的可靠性。因此，應(yīng)用Copula函數(shù)原理，研究提高水文變量和、差、積、商的分布計(jì)算精度是目前急需解決的科學(xué)問(wèn)題。