花文華，張金鵬,2，張擁軍

(1.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009;2.航空制導武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471009)

0 引言

將一類僅可提供目標方位角量測的攔截導彈作為研究對象。僅有角度量測情況下的目標跟蹤問題的研究成果可用于該類型攔截導彈濾波器的設(shè)計。然而，在目標機動不確定性和量測噪聲等因素的影響下，即使采用先進的濾波器，如粒子濾波等，攔截高機動目標的性能仍將受限于濾波器的延遲和跟蹤精度的影響，同時濾波器越先進，往往也越復雜，在彈上實現(xiàn)也是一個問題。一種改進目標跟蹤精度，從而改進攔截性能的方法是增加量測量。這一方法通常需要改變導彈的硬件，如采用多模導引頭等，會較大程度的增加導彈的成本和復雜度，且工程化的多模導引頭在國內(nèi)仍屬技術(shù)難點。另一種方式是采用其他信息源的信息，如地面跟蹤雷達。這一要求需要地面或機載跟蹤雷達持續(xù)的向攔截導彈傳送目標信息，會限制跟蹤雷達的運行，且影響導彈的自主性，同時跟蹤雷達的跟蹤精度會隨著探測距離的增加而顯著下降。對于攔截一些高價值目標的情形，如攔截彈道導彈、隱身戰(zhàn)機、預(yù)警機等，往往會發(fā)射多枚導彈以提高命中概率，但攔截導彈之間并不存在協(xié)同或信息共享，因此多彈同時攔截情況下的可用信息并未得到充分利用。

多導彈協(xié)同易于構(gòu)建更加有利的目標攔截態(tài)勢，從而改進制導性能并降低控制量要求，多彈協(xié)同也可用于飽和目標防御、限制目標機動概率、誘騙目標和增強對目標的可觀測性等方面[1-5]。本文提出一種基于擴展Kalman濾波器(extended Kalman filter,EKF)[6-9]的多導彈協(xié)同濾波方法，通過坐標轉(zhuǎn)換和濾波器量測方程的建立，實現(xiàn)導彈間量測信息的共享，從而改進估計性能。

1 數(shù)學建模

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)模型

針對多枚導彈攻擊一個目標的攔截情形進行建模，導彈采用設(shè)定的制導律，彼此在制導上不存在協(xié)同，僅進行信息共享。假設(shè)導彈是滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定的，可近似分解為垂直和水平2個平面分別進行研究，且結(jié)果是類似的。垂直平面的彈目相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面彈目相對運動關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

圖1中Mi和Mj分別表示攔截導彈i和j，T為目標，v，a和γ分別表示速度、加速度和航向角，下標m和t分別對應(yīng)導彈和目標，Mi和目標間、Mj和目標間的相對距離分別采用ρmi和ρmj表示，相對應(yīng)的視線角為λmi和λmj。

以導彈Mi為例，選取導彈自身的狀態(tài)變量為

(1)

選取導彈關(guān)于目標的狀態(tài)向量為

(2)

假設(shè)目標做常速運動，且具有一階控制系統(tǒng)動態(tài)，式(2)相應(yīng)的狀態(tài)方程可以表示為

(3)

式中:

vρi=-[vmicos(γmi-λmi)+vtcos(γt+λmi)],
vλi=-vmisin(γmi-λmi)+vtsin(γt+λmi)；

(4)

τt為目標的控制系統(tǒng)時間常數(shù)；atc為加速度指令，是一個白噪聲驅(qū)動的隨機過程。

1.2 量測模型

假設(shè)攔截導彈安裝有僅可提供角度量測的導引頭[10-15]，可以提供相對目標的視線角度信息，該類型導引頭具有低成本的優(yōu)勢。建立導彈Mi的量測方程為

zmi=γmi-λmi+wmi,

(5)

導彈Mj的量測方程也是類似的，結(jié)合圖1，將Mj的量測方程寫成導彈Mi的狀態(tài)表示的形式：

(6)

導彈Mi和導彈Mj在同一個坐標系下，導彈Mj將自身的位置信息傳輸給導彈Mi用于構(gòu)建量測方程，實現(xiàn)信息共享或協(xié)同濾波，則導彈Mi綜合n個導彈信息的量測方程可表示為

(7)

導彈Mi相應(yīng)增加了n-1個偽量測信息。采用EKF進行協(xié)同濾波器的設(shè)計，并假設(shè)噪聲符合高斯分布。對于一些先進的濾波方法，如粒子濾波，并不受限于量測噪聲的高斯特性要求。

2 協(xié)同擴展Kalman濾波器設(shè)計

2.1 濾波器的設(shè)計

擴展Kalman濾波器通過Taylor序列展開實現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)和量測量聯(lián)合分布的高斯近似，從而將Kalman濾波器的適用范圍擴展到了非線性系統(tǒng)領(lǐng)域。

EKF所采用的濾波模型為

xk=f(xk-1,k-1)+Qk-1，
zk=h(xk,k-1)+Rk，

(8)

式中：f和h為非線性函數(shù)向量,分別為系統(tǒng)動態(tài)模型和量測模型，分別與式(3)和式(7)相對應(yīng)。

在給定量測z1 : k的條件下，狀態(tài)xk的分布概率滿足：

p(xk|z1 : k)=N(xk|mk,Pk)，

(9)

式中:mk和Pk分別為狀態(tài)xk的均值和方差。

在每一個執(zhí)行周期內(nèi)，EKF都由狀態(tài)預(yù)測和量測更新2個過程構(gòu)成。相應(yīng)于系統(tǒng)(3)的狀態(tài)預(yù)測為

xk|k-1=f(xk-1,k-1).

(10)

相應(yīng)的預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣為

(11)

式中:

Φk,k-1=eFxk·T,

(12)

(13)

式中：Fxk和Φk,k-1分別為狀態(tài)方程(3)的Jacobian矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；T=tk-tk-1為執(zhí)行周期；Qd為系統(tǒng)噪聲離散化后的誤差矩陣，其大小與濾波器的響應(yīng)速度相關(guān)。

在狀態(tài)預(yù)測完成后進行量測更新，

xk|k=xk|k-1+Kk(zk-h(xk|k-1))，

(14)

式中：K為濾波器增益矩陣,由式(15)進行計算：

(15)

式中：Sk為濾波新息的協(xié)方差矩陣；Hx為量測Jacobian矩陣，滿足：

(16)

對于導彈Mi，結(jié)合式(7)，可將式(16)展開為

(17)

(18)

(19)

(20)

最后進行濾波器協(xié)方差矩陣更新，用于下一濾波周期預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的計算：

(21)

將式(13)表示成式(22)的形式，進行可觀性分析:

(22)

對于僅有視線角度量測的單枚導彈，Hx=(0，-1，0，0，0)，根據(jù)線性系統(tǒng)可觀性判據(jù)，

(23)

式中:o21等矩陣參數(shù)不展開給出，但可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)很容易滿足rank{Om1}=5的條件，即系統(tǒng)是可觀的，對于多導彈信息協(xié)同的情況，系統(tǒng)同樣是可觀的，且可觀測性有所增強。

對觀測方僅可提供角度測量的情況,文獻[16-17]分別針對單傳感器和多傳感器對目標運動的可觀測性進行了研究。文獻[16]從幾何方法、線性與非線性方法、數(shù)值分析方法等角度，對單傳感器情況下的純方位目標運動的可觀測性研究成果進行了綜述。文獻[17]對多靜止測向站系統(tǒng)的可觀測性、定位方法進行了分析和研究，建立了純方位多傳感器系統(tǒng)目標定位問題的數(shù)學描述，并定量分析了系統(tǒng)的可觀測性條件，指出多觀測方與目標共線、多觀測方位置不分辨、觀測方測量時機選擇不當?shù)犬a(chǎn)生不良的拓撲結(jié)構(gòu)會帶來系統(tǒng)的不可觀測。對于多觀測方和目標同時運動情況下的可觀測性研究較少，可以從不可觀測拓撲構(gòu)型分析和避免措施方面開展研究，從而滿足多導彈的協(xié)同作戰(zhàn)使用需求。

2.2 濾波器的初始化

假設(shè)所有的導彈都由同一機載或地面雷達進行初始化。圖2給出了雷達R與導彈之間的平面相對關(guān)系。雷達與目標間的視線角和相對距離分別為λr和ρr，此外通過相關(guān)濾波技術(shù)還可以提供目標的航向角γt和加速度at信息。雷達的位置(xr,yr)是已知的，與初始信息(λr0,ρr0,γt0,at0)一同通過發(fā)射前任務(wù)加載或數(shù)據(jù)鏈信息傳輸給導彈。利用這些信息，導彈完成濾波器的初始化，其中彈目距離和視線角的初始化值為

(24)

(25)

圖2 雷達與導彈的平面相對關(guān)系Fig.2 Planar engagement geometry between radar and missile

式中:

(26)

3 仿真結(jié)果及分析

系統(tǒng)狀態(tài)的估計結(jié)果如圖3～7所示。

圖3 彈目相對距離估計Fig.3 Estimation of range between missile and target

圖4 視線角估計Fig.4 Estimation of line of sight angle

圖5 目標航向角估計Fig.5 Estimation of flight-path angle

圖6 目標加速度估計Fig.6 Estimation of target acceleration

圖7 目標加速度指令估計Fig.7 Estimation of target acceleration command

從圖3～7中可以發(fā)現(xiàn)，在較大的初始彈目相對距離誤差(2 000 m)下，單枚導彈的濾波器除與量測相關(guān)的視線角狀態(tài)外，其他狀態(tài)并不收斂，而在存在協(xié)同的情況下，由于可觀測性增強，獲得了較好的狀態(tài)估計結(jié)果。由于是可觀的，雖然在適當?shù)某跏紬l件下是可以實現(xiàn)狀態(tài)收斂的，但僅有角度量測的單枚導彈濾波器對狀態(tài)初值和估計誤差協(xié)方差初值是較為敏感的，出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。

圖8～12進一步給出了2枚導彈信息協(xié)同的情況下200次Monter Carlo仿真的狀態(tài)估計的統(tǒng)計，包括估計誤差均值和1σ包絡(luò)曲線。從圖8～12中可以看出，各狀態(tài)的估計誤差都是收斂的。

圖8 彈目相對距離估計誤差統(tǒng)計，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.8 Statistical estimation errors of range for cooperation missile

圖9 視線角估計誤差統(tǒng)計，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.9 Statistical estimation errors of line of sight angle for cooperation missile

圖10 目標航向角估計誤差統(tǒng)計，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.10 Statistical estimation errors of flight-path angle for cooperation missile

圖11 目標加速度估計誤差統(tǒng)計，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.11 Statistical estimation errors of target acceleration for cooperation missile

圖12 目標加速度指令估計誤差統(tǒng)計，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.12 Statistical estimation errors of target acceleration command for cooperation missile

4 結(jié)束語

本文針對多枚導彈量測信息共享的情況，完成了基于EKF的多導彈協(xié)同濾波器的設(shè)計。相比于單枚導彈的情況，由于可觀測性增強，在初始彈目相對距離誤差較大的情況下，實現(xiàn)了對所有系統(tǒng)狀態(tài)的較好估計，同時Monter Carlo仿真結(jié)果表明所有狀態(tài)的估計誤差都是收斂的，進一步表明了彈間協(xié)同濾波的優(yōu)勢。