施觀娣

[摘? ? ? ? ? ?要]? 很早之前，人類就學(xué)會(huì)把同一屬性的事物或?qū)ο蠓旁谝黄穑鳛橛懻摰脑?，繼而把一定程度抽象了的對(duì)象放在一起作為研究對(duì)象，這種思想就是集合思想。集合作為系統(tǒng)性的知識(shí)是在高中才有了明確的定義，但作為知識(shí)系統(tǒng)其實(shí)在初中數(shù)學(xué)課本中就出現(xiàn)過(guò)，如：自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合、不等式解的集合等，那時(shí)學(xué)生并不清楚“集合”的概念。高中數(shù)學(xué)新教材里很重視“集合”概念，包括中職數(shù)學(xué)教材也是一樣，都放在了第一章，可見(jiàn)其地位非同一般。集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要標(biāo)志，其符合近代數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律。可以說(shuō)，集合思想是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，其本質(zhì)是“分類”“求同辨異”，而“分類思想”是重要的數(shù)學(xué)思想，可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，它不但是一種思想，更是一種工具，一種語(yǔ)言。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 集合思想;中職數(shù)學(xué);邏輯用語(yǔ);不等式;函數(shù)

[中圖分類號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）11-0224-02

一、集合的重要性

集合是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支學(xué)科，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合論的創(chuàng)始人是德國(guó)的數(shù)學(xué)家康托，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉最早使用了表示兩個(gè)非空集之間關(guān)系的圖，即“歐拉圖”，英國(guó)數(shù)學(xué)家維恩最早使用了另一種圖即可以用于表示任意的幾個(gè)集合——“維恩圖”。可以說(shuō)，幾乎現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支的所有成果都構(gòu)筑在嚴(yán)格的集合理論上。在研究數(shù)學(xué)應(yīng)用時(shí)，用圖示法會(huì)使問(wèn)題更明顯直觀，在中職數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，也許我們并沒(méi)有向?qū)W生多作集合思想的解釋，基本不提集合的重要性，但卻多次強(qiáng)調(diào)集合圖的重要性。其目的就是能指導(dǎo)學(xué)生看懂集合圖的意思，根據(jù)集合圖來(lái)解題或者幫助解題。將集合的作用放在實(shí)處，真正處理問(wèn)題，也是現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向，特別對(duì)中職學(xué)生而言，更立體、更具操作性的題，才能使其更感興趣。體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用性，感受數(shù)學(xué)的魅力，將理論與實(shí)踐有效結(jié)合，也是中職數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一。

集合知識(shí)覆蓋面是比較廣泛的，可以說(shuō)涵蓋了中職數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)、數(shù)列和幾何等知識(shí)的基礎(chǔ)部分，因此集合知識(shí)的相關(guān)題目也是中職類學(xué)生在高考數(shù)學(xué)試卷上必定會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題。打好集合的基礎(chǔ)，讓學(xué)生做題能“分門別類”，從而學(xué)會(huì)少做題、做精題，這也許就是最現(xiàn)實(shí)的一個(gè)應(yīng)用了吧。但在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，由于中職生的計(jì)算能力特別是一元二次方程等有關(guān)問(wèn)題的解決能力較弱，剛開(kāi)始學(xué)“集合的概念”時(shí)，涉及計(jì)算的不多，加上學(xué)生換了一個(gè)新的環(huán)境等各方面的因素，學(xué)習(xí)的興趣會(huì)有一段時(shí)間的提升，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)自己能看懂圖示法，做一些簡(jiǎn)單的集合題，無(wú)形中便增加了學(xué)習(xí)的興趣。但學(xué)過(guò)概念后，集合的知識(shí)就變得抽象、難懂，特別是與別的知識(shí)結(jié)合在一起，從而變得不好掌握。而且，由于中職數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思想和學(xué)習(xí)方法與初中相比有很大的差異，包括學(xué)習(xí)時(shí)間、重視程度等各方面都有所不同，因此要把握好集合的興趣，并應(yīng)用于整個(gè)中職數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中就顯得任重而道遠(yuǎn)。

理清集合與中職數(shù)學(xué)教學(xué)之間的聯(lián)系，對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)性有一個(gè)更全面的了解，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具長(zhǎng)久性，就需要來(lái)看看集合與中職數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系到底包含了幾個(gè)方面，相互之間的聯(lián)系與區(qū)別又是如何的。

二、集合與中職數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系

（一）集合與邏輯用語(yǔ)

集合與常用邏輯用語(yǔ)是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)，是高考的必考內(nèi)容。學(xué)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高使用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推理判斷的能力，要注意避免對(duì)邏輯用語(yǔ)的機(jī)械記憶和抽象解釋。從知識(shí)上來(lái)看，集合間的運(yùn)算有交集、并集、補(bǔ)集，了解命題的概念和命題的構(gòu)成，掌握簡(jiǎn)單邏輯連接詞“且”“或”“非”的含義。在實(shí)際做題時(shí)要能判斷簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題的真假，這就需要注意知識(shí)宜從簡(jiǎn)，要從最基礎(chǔ)入手，特別是命題的構(gòu)成不能太多，否則作繭自縛。而良好的邏輯用語(yǔ)，則更有利于解決問(wèn)題。

如何更好地保持學(xué)習(xí)的興趣和激情，是每個(gè)教師的不懈追求，更是數(shù)學(xué)教師的最高目標(biāo)。雖然我們身在中職學(xué)校，但面對(duì)知識(shí)系統(tǒng)掌握并不特別牢固的中職學(xué)生，渴望成長(zhǎng)，渴望學(xué)習(xí)的心是一樣的，一樣希望學(xué)生學(xué)有所獲。這就需要數(shù)學(xué)教師面對(duì)提出的問(wèn)題，要迎難而上，勇敢地面對(duì)教學(xué)中遇到的各類問(wèn)題，迎接巨大的挑戰(zhàn)。如果能有效地把握集合與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系，就能更好地保持學(xué)習(xí)激情，將邏輯思維用在實(shí)處，將會(huì)更有助于問(wèn)題的解決。

集合在中職考試中的高考題型基本都是選擇題、填空題，一般難度不大，但有時(shí)候在填空題中會(huì)以創(chuàng)新題型出現(xiàn)，難度稍高。因此在做題的過(guò)程中，能用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的盡量用這些語(yǔ)言，特別是圖形語(yǔ)言，更直觀、明確?？梢哉f(shuō)，數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，將邏輯用語(yǔ)與集合語(yǔ)言結(jié)合在一起，可以使教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，幫助學(xué)生用集合語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)對(duì)象，用邏輯思維進(jìn)行分析，將集合與邏輯放在一起，發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力。也可以說(shuō)，在教學(xué)的過(guò)程中如何運(yùn)用集合與邏輯用語(yǔ)這一對(duì)關(guān)系最為密切的朋友，使教師能輕松教，學(xué)生能輕松學(xué)，是值得深思的問(wèn)題。一般遇到集合邏輯題，解題思路基本可以用數(shù)形結(jié)合法，常用的解題步驟可以分為（1）畫圖形;（2）定區(qū)域;（3）求結(jié)果。

（二）集合與不等式、函數(shù)

函數(shù)是中職生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的遇到的一個(gè)比較困難的知識(shí)點(diǎn)。因?yàn)楹瘮?shù)與不等式甚至與方程之間都是緊緊相連的。單從求解的結(jié)果來(lái)看，不等式的解集從函數(shù)的角度上理解，就是圖像在橫軸的上方或下方，而方程就是與橫坐標(biāo)交點(diǎn)的位置。在集合運(yùn)算與不等式的聯(lián)系問(wèn)題中包括兩類：一是不含參數(shù)問(wèn)題直接求解;二是含參數(shù)問(wèn)題，往往是等價(jià)轉(zhuǎn)換集合的表示或化簡(jiǎn)集合，然后依據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論。因此，可以說(shuō)函數(shù)、不等式與方程之間是緊緊相依，相輔相成，它們之間渾然一體，利用函數(shù)圖形中形成一個(gè)整體，也可以認(rèn)為構(gòu)成另一個(gè)體系——函數(shù)體。

可以說(shuō)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，描述了自然界中量的依存關(guān)系，反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問(wèn)題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系。特別是從現(xiàn)在高考的角度來(lái)看，比較注重實(shí)際的應(yīng)用型的題，而函數(shù)就是不少現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的反映。有很多學(xué)生遇到函數(shù)題就覺(jué)得頭痛，特別是有時(shí)那種變化關(guān)系找半天都沒(méi)理清頭緒。如果在函數(shù)體中用集合求同思想，即函數(shù)都可以用圖像來(lái)描述其性質(zhì)特征，如三角函數(shù)類問(wèn)題，都具有一定的周期性，每個(gè)變化規(guī)律都在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行，然后重復(fù)出現(xiàn)在下個(gè)周期內(nèi)。因此，研究時(shí)只需關(guān)注一個(gè)周期即可，無(wú)論怎樣變化，都根據(jù)圖形來(lái)研究它的性質(zhì)，只要了解其一個(gè)周期內(nèi)的變化規(guī)律就可以了;又如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)從圖形中就能看出其聯(lián)系與區(qū)別，掌握基本的圖形，找出相同點(diǎn)和區(qū)別點(diǎn)，從而了解其性質(zhì)特點(diǎn)，從容應(yīng)對(duì)函數(shù)的各種變化情況。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)中職生的要求越來(lái)越具體，也非常注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是求解函數(shù)類問(wèn)題的能力。因此，函數(shù)類題型最常出現(xiàn)。函數(shù)的思維模式特別能在實(shí)際問(wèn)題中體現(xiàn)，如打車問(wèn)題、手機(jī)流量問(wèn)題等，都可以用函數(shù)的形式進(jìn)行求解。用集合求同辨異思維，把函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與函數(shù)的具體求解放在一起，對(duì)函數(shù)而言，其本身的表示法就有圖像法、方程法，把圖像與方程結(jié)合在一起，能更有效地解決問(wèn)題。按其性質(zhì)進(jìn)行分類，結(jié)合數(shù)形，一般都可以從圖像上得到解決。

（三）集合與幾何

幾何對(duì)空間思維能力的培養(yǎng)具有重要作用，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中一塊重大內(nèi)容，一眼看幾何與集合似乎沒(méi)有什么聯(lián)系，屬于不同的兩塊內(nèi)容。但縱觀幾何與集合的發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)從幾何學(xué)和集合論公理的產(chǎn)生起它們就有聯(lián)系了。我們知道在幾何學(xué)與集合論中首先要涉及的就是公理，而公理在幾何學(xué)中稱之為平行公理，在集合論中則謂之選擇公理。兩者也是在相互懷疑否定之中成長(zhǎng)、完善起來(lái)的。在平行公理與選擇公理的分析中更是相互地滲透，可以說(shuō)你中有我，我中有你。在發(fā)展的過(guò)程中，特別是在非歐幾何學(xué)與非康托幾何論中，兩者的關(guān)系更進(jìn)一步，都不約而同為解決悖論問(wèn)題而形成。

幾何主要有平面解析幾何與立體幾何兩大部分內(nèi)容，平面解析幾何從直線、圓、橢圓、雙曲線到拋物線，立體幾何從空間的直線與平面的位置、角度關(guān)系到多面體、棱柱、棱錐等。幾何是客觀世界中平面及立體的圖形，說(shuō)到底也就是點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，線與面是點(diǎn)的集合。也許正是幾何論理論體系已經(jīng)比較完善，點(diǎn)與線、面，平面與幾何之間的關(guān)系比較完整，各類成功的安全也是不勝枚舉，因此在關(guān)注幾何與集合的關(guān)系時(shí)，我們往往看不到集合的存在，忽略了集合在求解過(guò)程中的作用。其實(shí)通過(guò)實(shí)例，我們還是可以找到很多的相似點(diǎn)，如在直線的點(diǎn)向式、點(diǎn)斜式求解過(guò)程中，我們能發(fā)現(xiàn)它們的相似處，可以用集合的求同思想把它們放在一起。另外，也可以知道，幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，點(diǎn)與線的關(guān)系，甚至由點(diǎn)線來(lái)確定一個(gè)面，相互之間求同存異，這樣可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)單。集合與幾何兩者的關(guān)系也許有點(diǎn)微妙，它不顯山露水，卻海納百川。

人類為了生存在進(jìn)行不斷的探索，在探索的過(guò)程中積累了各種知識(shí)，將知識(shí)按需要、類別進(jìn)行分類，經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的年代才有了現(xiàn)在的各大科。各科之間又有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，只要有一個(gè)學(xué)科發(fā)展積累到一定程度要變革，沒(méi)過(guò)多久就會(huì)對(duì)別的學(xué)科產(chǎn)生影響。它們之間就是這樣相互牽制、相互發(fā)展，可以說(shuō)沒(méi)有一門學(xué)科是孤立的。而這就是集合最樸素的思想——求同存異，在發(fā)展中相互促進(jìn)，共同成長(zhǎng)，形成更進(jìn)一步的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。

集合思想不僅適合于數(shù)學(xué)教育，更是別的學(xué)科的研究工具。大道至簡(jiǎn)，“求同存異”歸納分析，在解題的過(guò)程中，如果能將至簡(jiǎn)的理念運(yùn)用到實(shí)處，將對(duì)中職學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有很大的幫助。跳出數(shù)學(xué)高冷的面孔，由內(nèi)心接受這門實(shí)用的學(xué)科，必將使學(xué)生受益終生。也許我們一直在說(shuō)，沒(méi)有磚瓦無(wú)以成大廈，但大廈至簡(jiǎn)就是磚瓦，要想使學(xué)生的興趣保持下去，由繁返簡(jiǎn)很有必要，也許這樣才能真正從簡(jiǎn)而繁，錦上添花。

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編輯 李 靜