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指數(shù)函數(shù)應(yīng)用性的進(jìn)一步探討

2019-10-21 07:31:14趙金榮
科學(xué)與財(cái)富 2019年32期
關(guān)鍵詞:溫室效應(yīng)指數(shù)函數(shù)

趙金榮

摘 要:形如的指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用范圍非常廣泛,除了可以用來對(duì)人口的增長(zhǎng)、銀行計(jì)息、放射性元素的衰變等進(jìn)行建模外,還可用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的更廣的領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù);溫室效應(yīng);衰變估算

1958年,C.D.Keeling of the Scripps Institution of Oceanography開始了一系列辛勤地測(cè)量工作,他持續(xù)測(cè)量了當(dāng)時(shí)一個(gè)遙遠(yuǎn)的地方,也就是現(xiàn)在的夏威夷的Mauna Loa Observatory大氣中二氧化碳的濃度. 他的觀測(cè)活動(dòng)一直持續(xù)到現(xiàn)在,觀察數(shù)據(jù)說明,此處大氣中二氧化碳的濃度呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)。Keeling的觀測(cè)活動(dòng)在世界各地不同地區(qū),且在越來越短的時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行著。而在所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)中均顯示出各地大氣中二氧化碳的濃度都呈現(xiàn)很明顯的指數(shù)增長(zhǎng)趨。這些文字摘自Gordon Macdonald在《溫室效應(yīng)的科學(xué)依據(jù)》一文,這是來自全球變暖的挑戰(zhàn),Dean Edwin Abrahamson, ed.(Washington, D.C.:Island Press, 1989)

引用紐約時(shí)報(bào),2001年6月7號(hào)首頁一篇主題是“專家告訴布什全球變暖變得越來越嚴(yán)重”的文章--美國(guó)的頂端科學(xué)家們組成的專家組今天聲稱全球變暖是一個(gè)實(shí)際問題,而且這個(gè)問題正在惡化。來自于國(guó)家科學(xué)學(xué)術(shù)協(xié)會(huì)—由11名領(lǐng)軍大氣研究的科學(xué)家組成—一個(gè)更具有預(yù)見性的報(bào)告,包括一些原來的質(zhì)疑派,重申了這個(gè)科學(xué)界的主流觀點(diǎn),即地球大氣正在變暖,人類活動(dòng)付大部分的責(zé)任.報(bào)告中提到“溫室氣體由于人類的活動(dòng)的結(jié)果在大氣中積累,使得表面空氣溫度和大洋下層面的溫度上升.”--紐約時(shí)報(bào)文章,Katharine Q.Seelye 和Andrew C.Revkin,2001,6,7.

二氧化碳,單個(gè)最重要的溫室氣體,對(duì)地球變暖付一半的責(zé)任,是人類過度釋放的結(jié)果,而且對(duì)將來預(yù)測(cè)的變暖中付一半的責(zé)任.目前(1988)的濃度大約是每百萬中350份(ppm),而且以0.4%每年的速率上升。我們?cè)谶@里先不討論溫室效應(yīng)對(duì)人類生存的重要性,而來說一下如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來具體說明大氣中二氧化碳的濃度呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)是什么意思,以及這類知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中還有哪些應(yīng)用。

一、指數(shù)函數(shù)預(yù)測(cè)二氧化碳濃度

在報(bào)紙上和日常的演講中,“指數(shù)增長(zhǎng)”常很輕易地用于描述涉及快速增長(zhǎng)的任何情景.但是,從科學(xué)上講,指數(shù)增長(zhǎng)指的是某些特定地能夠用形如y=aebx (b是正數(shù),是常數(shù))形式的增長(zhǎng).在社會(huì)學(xué)中,社會(huì)學(xué)家們會(huì)使用函數(shù)N(t)=NOekt 描述人口的增長(zhǎng)模式.同樣,使用這個(gè)函數(shù)也可以為大氣中的二氧化碳的濃度增長(zhǎng)建模。據(jù)統(tǒng)計(jì),工業(yè)化以前全球年均大氣二氧化碳濃度為278ppm(1ppm為百萬分之一),而2012年是全球年均大氣二氧化碳濃度為393.1ppm,到2014年4月,北半球大氣中月均二氧化碳濃度首次超過400ppm。如果設(shè)大氣中的二氧化碳的濃度在持續(xù)以指數(shù)形式以0.4%每年的速度上升,如何預(yù)測(cè)何時(shí)二氧化碳的濃度可能達(dá)到600ppm?(這個(gè)預(yù)測(cè)值將會(huì)是工業(yè)革命前估測(cè)的濃度的大約兩倍.) 據(jù)科學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn),大氣中二氧化碳的濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律可以近似用函數(shù)N(t)=NOekt表示,按照這個(gè)函數(shù)關(guān)系,要確定當(dāng)大氣中二氧化碳的濃度為N=600多對(duì)應(yīng)的時(shí)間,需要使用前提條件:當(dāng)t=0時(shí),對(duì)應(yīng)著1988年,此時(shí)二氧化碳的濃度是NO=350 ,取常數(shù)k=0.004 ,經(jīng)過計(jì)算可以得到與N=600 對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約是1988年后135年后是2123年.利用這種方式可以得出結(jié)論:如果二氧化碳的水平持續(xù)以每年0.4%的速度增長(zhǎng),那么大約2125年,大氣中二氧化碳的濃度將會(huì)達(dá)到600ppm.

二、指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上應(yīng)用

使用同樣形式的函數(shù)也可以用于描述一筆金額在連續(xù)復(fù)合計(jì)息的情況下增長(zhǎng)的模式.如果 元的本金存入銀行的儲(chǔ)蓄賬戶,年利率是6%,連續(xù)復(fù)合計(jì)息.與此同時(shí),另一筆 的本金存入另一賬戶,年利率也是6%,但是復(fù)息一年一次.使用繪圖軟件確定賬戶1中的余額超過賬戶2中余額至少10元所需要的時(shí)間.在描述這個(gè)過程中,繪圖軟件繪制的是函數(shù)y=100e006t 的圖像。同樣,這類函數(shù)還會(huì)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)的其他領(lǐng)域,在這里我們不再詳細(xì)描述,令人驚奇的是S=Pert ,這個(gè)式子的簡(jiǎn)潔美是由于無理數(shù)e的出現(xiàn)而形成的。更令人驚奇的是誰會(huì)想到e這個(gè)數(shù),會(huì)出現(xiàn)在商業(yè)理論中?無理數(shù)e是瑞士數(shù)學(xué)家Leonhard Euler(1707-1783)引入的,為宇宙中屈指可數(shù)的幾個(gè)常數(shù)之一。他為什么要選擇使用字母e呢?關(guān)于這點(diǎn)沒有一個(gè)統(tǒng)一地說法。一個(gè)觀點(diǎn)認(rèn)為,Euler選擇這個(gè)字母是因?yàn)閑是指數(shù)函數(shù)這個(gè)單詞的第一個(gè)字母。更普遍的原因,可能是 這個(gè)字母是字母表中首個(gè)“沒有過的”字母,因?yàn)閍,b,c,和d經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)表達(dá)中。看上去Euler會(huì)選擇字母e不太可能是因?yàn)檫@個(gè)字母是他名字的第一個(gè)字母。因?yàn)樵诤芏嗟那闆r下,在形容Euler時(shí),常常會(huì)說:他是一個(gè)非常平和的人。這些話摘自Eli Maor, e:一個(gè)數(shù)的故事。

三、指數(shù)函數(shù)描述放射性元素的衰變

更令人驚奇的是,用樣的基本函數(shù)也能用于描述放射性衰變的規(guī)律,不過這里的 .科學(xué)家們是如何確定描述放射性衰變的規(guī)律,用這個(gè)函數(shù)適當(dāng)呢?關(guān)于這一點(diǎn)可能有兩個(gè)原因:一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的解釋,一個(gè)是理論性解釋.早在1900-1903年期間,物理學(xué)家Ernest Rutherford (1908年諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者)和化學(xué)家Frederick Soddy(1921年諾貝爾獎(jiǎng)獲得者)開展試驗(yàn)測(cè)量放射型衰變.他們發(fā)現(xiàn)了形如N(t)=NOekt ,k<0 的公式確實(shí)適合描述他們的測(cè)量數(shù)據(jù).而從理論的角度,可以解釋為衰變速率在 時(shí)必須正比于目前放射性物質(zhì)的量N(t) .在這個(gè)情況下,可以用微積分證明指數(shù)衰變適用.

科學(xué)美國(guó)人1976年1月刊,有一篇有關(guān)核能的文章.文章的作者是Hans Bethe(1906-1992),諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者.文章中的觀點(diǎn)之一是,Bethe教授討論了核能發(fā)電設(shè)備產(chǎn)生的放射性廢物的處理方式(通過填埋).討論中特別的一種產(chǎn)物之一就是钚—239。

钚—239的半衰期接近25,000年,需要經(jīng)過10個(gè)半衰期的時(shí)間才能使得這類物質(zhì)的放射性是原來的千分之一.由此,填埋的廢物在生物圈中的存留時(shí)間是25萬年.這個(gè)時(shí)間就是根據(jù)形如N(t)=NOekt 的函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的。如果用NO 表示钚-239在t=0 時(shí)的初始量,用N表示時(shí)間為t時(shí)的量表示為N(t)=NOekt ,要確定當(dāng) 的時(shí)間t。通過使用指數(shù)函數(shù)

以及對(duì)數(shù)計(jì)算,可以得到的時(shí)間是249,114.6年,但在給定的時(shí)間規(guī)模內(nèi),以這種形式來表示無疑是滑稽可笑的.由此,把答案四舍五入至最接近千年的數(shù),得到的就是249,000年后,钚的放射性才能降低到原來的千分之一.這個(gè)結(jié)果與Bethe教授的專業(yè)估算值,10個(gè)半衰期,或250,000年是一致的。

形如N(t)=NOekt 的指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。

參考文獻(xiàn):

[1]Dean Edwin Abrahamson, ed.,《這是來自全球變暖的挑戰(zhàn)》,Washington, D.C.:Island Press, 1989

[2] Phillip Gillett,《微積分和分析幾何學(xué)》,第3版,Lexington,Mass.:D.C.Heath,1988

[3] [1] 微積分初步-問題引導(dǎo)法,第6版,David Cohen, Ted Lee, David Sklar,2005 Thomson Brooks/Cole, a part of The ThomsonCorporation.

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