張君

摘 要：2017版的新課程標(biāo)準(zhǔn)里明確提出了高中數(shù)學(xué)教育的首要目標(biāo)就是培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算。這些核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立又相輔相成，是學(xué)生通過高中三年的學(xué)習(xí)必須形成的能力和素質(zhì)，教師作為教學(xué)中教的主體引導(dǎo)者，在教的時(shí)候必須圍繞教材和考綱，精心鉆研、設(shè)計(jì)，優(yōu)化課堂教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng);面面垂直;教學(xué)設(shè)計(jì)

立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容之一和高考必考內(nèi)容之一，一直以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)為首要目標(biāo)。筆者以《平面與平面垂直的性質(zhì)》一課為例，讓學(xué)生按照“直觀感知、猜測結(jié)論、推理論證、解題運(yùn)用”的認(rèn)知過程，使學(xué)生通過對空間圖形的觀察、想象、推理和論證，理解并掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

一、平面與平面垂直的性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材與學(xué)情分析

本節(jié)課是人教A版必修二第二章第三節(jié)的第四課時(shí)《平面與平面垂直的性質(zhì)》一課，其內(nèi)容是研究在已知兩個(gè)平面垂直的條件下，我們能得出什么結(jié)論。之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間中線平面平行以及面面平行的判定定理與性質(zhì)定理，知道要證線面平行或面面平行即證線線平行，反之，如果已知線面平行或者已知面面平行即能夠推出線線平行，初步有了“空間問題平面化”以及“空間和平面間條件可以互化”的思想認(rèn)知，但是還不夠系統(tǒng)、明確，而在《平面與平面垂直的性質(zhì)》一課的前一課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了線面垂直以及面面垂直的判定定理，知道了要證面面垂直即證線面垂直，為本節(jié)課也即必修二第二章的最后一節(jié)課做了大量的知識積累和鋪墊。教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考之前學(xué)過的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合具體例子和合理論證，使學(xué)生能夠直觀感知在已知平面與平面垂直的條件下能夠推出哪些特殊的直線、平面的關(guān)系，而后推導(dǎo)出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，以及初步掌握如何在已知平面與平面垂直的條件下，落實(shí)到哪條直線與哪個(gè)平面垂直，因?yàn)樵诹Ⅲw幾何垂直題型里，直線與平面垂直是最為重要的條件和結(jié)論。

（二）教學(xué)目標(biāo)：

教學(xué)的目標(biāo)是通過對實(shí)際情景的直觀感知、推理論證，抽象出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及在理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理的前提下，通過探究、歸納、交流，總結(jié)出如何運(yùn)用性質(zhì)定理解決問題的方法。其中，教學(xué)的重點(diǎn)是面面垂直性質(zhì)定理的內(nèi)容，性質(zhì)定理的推導(dǎo)以及綜合應(yīng)用是教學(xué)的難點(diǎn)。

（三）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1、課題引入，直觀感受

從學(xué)生所熟悉的知識點(diǎn)：空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系引入新課，承前啟后

師：我們知道，黑板所在的平面與地面是垂直關(guān)系，那黑板所在平面內(nèi)的直線與地

面有哪些位置關(guān)系？

生1：相交、平行、垂直

師：其余同學(xué)有沒有補(bǔ)充的？

生2：相交的情況例包括垂直，還有黑板所在平面與地面的交線，既在黑板所在平面又在地面上

師：對，垂直是相交的特殊情況，兩個(gè)平面垂直有一條交線，那么既然除了這條交線之外，黑板所在平面內(nèi)的直線與地面的位置關(guān)系會平行，會垂直，那請問怎么找出黑板所在平面內(nèi)與地面平行的直線？

生3：黑板內(nèi)只要平行交線的直線，就平行地面

師：很好，要證直線平行平面只需在平面里找出一條直線平行該線即可，兩平面的交線是現(xiàn)成的，我們利用交線在地面內(nèi)，所以黑板所在平面里所有平行于交線的直線即平行地面設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合之前學(xué)過的知識，通過直觀想象，讓學(xué)生先梳理出在兩個(gè)相互垂直的平面里，一個(gè)平面里的直線與另一個(gè)平面有哪些位置關(guān)系，而后通過證明直線平行平面，一方面是復(fù)習(xí)之前的知識點(diǎn)，另一方面來突出兩平面交線的重要性，為下面平面與平面垂直的性質(zhì)定義的引出做好鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2、類比平行，猜測結(jié)論

師：剛剛提到，黑板所在平面內(nèi)的直線只要平行于兩平面的交線，就能夠推出平行地面，那么我們怎么在黑板上畫出與地面垂直的直線？也即如果兩平面垂直，怎么在一個(gè)平面內(nèi)找出另一個(gè)平面的垂線？

生4：只要垂直兩平面的交線即可

設(shè)計(jì)意圖：類比推理是邏輯推理的一種，它是從特殊到特殊的推理，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、了解新事物新知識的常用方法。既然黑板內(nèi)的直線只要平行于兩平面的交線就能夠平行地面，類比到在黑板內(nèi)怎么畫直線與地面垂直，在已知兩個(gè)平面垂直的情況下，學(xué)生很容易想到是不是也只需垂直兩平面的交線即可

3、交流探討，證明定理

師：為什么？請同學(xué)們同桌間相互討論研究

教師在黑板上畫好圖形，板書題目：

師：請第一組的同學(xué)回答

生5：不會證明

師：沒有關(guān)系，這個(gè)本來就是我們今天需要克服的難點(diǎn)，那一般怎么去證明直線和平面垂直？

生5：在平面內(nèi)找兩條相交直線和已知直線垂直，就可以證明直線垂直平面了

師：根據(jù)已知條件，我們在平面β內(nèi)還需要找出一條直線，滿足AB垂直該直線就可以了，我們還有哪個(gè)條件沒有使用？

生5：

師：那也就是說我們還需要把兩個(gè)平面垂直這個(gè)空間條件翻譯成平面條件，那么現(xiàn)在 垂直，也即所成的二面角為直二面角，我們用什么來刻畫二面角的的大小的？

生5：二面角的平面角

師：對的，其實(shí)作出二面角的平面角就是把空間圖形平面化，怎么作二面角的平面角？（這個(gè)時(shí)候已經(jīng)有學(xué)生在座位上躍躍欲試，有思路了），我們一起來聽聽這位同學(xué)來分享一下他的思路

生6：在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作? ? ? ? ? ，因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，又因?yàn)? ? ? ? ? ? ?，所

所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，所以? ? ? ?垂直平面? ? ?。

師：非常好，再請這位同學(xué)總結(jié)一下剛才我們論證的命題的條件和結(jié)論

生6：略

師：這位同學(xué)利用二面角平面角的定義，成功地把空間圖形條件：兩個(gè)平面垂直轉(zhuǎn)化為二面角的平面角為直角這個(gè)平面圖形的結(jié)論，從而在平面? ? ?內(nèi)找到了直線? ? ? ，證明了在已知兩個(gè)平面垂直的條件下，一個(gè)平面內(nèi)的直線只要垂直兩平面的交線就能夠垂直另一平面。我們把這個(gè)結(jié)論稱為面面垂直的性質(zhì)定理，也即只要面面垂直，就一定可以得到線面垂直這個(gè)性質(zhì)，這里結(jié)論里面的線面垂直的“線”只需滿足什么條件？

生（集體回答）：只需垂直兩平面的交線就行

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)抽象是貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的首要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中需要碰到很多不同的題型和題目，學(xué)生必須學(xué)會將表面的、復(fù)雜的因素過濾掉，抽象出本質(zhì)，所以事實(shí)上，抽象就是對現(xiàn)實(shí)的一種簡化，也即透過想象看本質(zhì)。面面垂直性質(zhì)定理的推導(dǎo)一直是本節(jié)課的難點(diǎn)，一方面是因?yàn)樗耙还?jié)剛剛學(xué)過二面角的定義以及求法，還無法把二面角這個(gè)空間角與其平面角等同起來，另一方面，學(xué)生在整體上尚未養(yǎng)成利用“空間問題平面化”以及數(shù)形結(jié)合的思想來解決立體幾何問題的習(xí)慣，需要老師引導(dǎo)、強(qiáng)化，按部就班的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)

4、實(shí)踐探索，掌握定理

師：通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理我們可以把兩個(gè)平面垂直這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為直線

和平面垂直，這條直線有什么要求嗎？

生一起回答：必須垂直于交線

師：好，我們一起看一下例2

師：直線α與平面α是什么位置關(guān)系？

生7：平行

師：能不能把你的思維流程和大同學(xué)們分享一下？

生7：要證明直線α與平面α平行，就需要我們在α找出一條直線和α平行，但是現(xiàn)在

沒有直線，所以需要我們作出一條直線來

師：怎么作？

生7：因?yàn)槠矫?平面 ，所以我們只要在平面a 內(nèi)作一條直線b 與兩平面的交線垂直就得到了b⊥ 平面β ，這樣，我們只要能證明a平行b 就能證明a 與平面α 平行，又因?yàn)棣痢挺拢琤⊥β ，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，就有a∥b 得證。

師：通過本題，談一下你的收獲？

生8：平面與平面垂直的條件必須轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直，這樣才能用到實(shí)處

師：那說明關(guān)鍵在于找到垂線，垂線怎么找？

生8：先找到兩個(gè)垂直平面的交線，然后看看有沒有現(xiàn)成的，如果沒有就大膽作交線的

垂線。

師：所以在已知平面與平面垂直的條件下我們要做到第一件事就是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，轉(zhuǎn)化的的關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)找出或作出垂直于交線的直線，接下來，我們一起來看一下例3

生9：因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，交線為AC，所以延長CB，過點(diǎn)A作AO 垂直延長線于點(diǎn)O，（教師在黑板上添加輔助線），則AO⊥平面BCD，連接OD，易證? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以DO⊥OC ，所以CO⊥平面AOD ，所以CO⊥AD

師：很好，抓住了條件的關(guān)鍵點(diǎn)，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，也即作兩個(gè)平面交線的垂線，然后通過證明線面垂直來證明線線垂直，那第二小題怎么解？

生9：要作出直線AB 與平面ABC 所成角的平面角就需要找到點(diǎn)B 平面ADC 內(nèi)的射影點(diǎn)，或者求出點(diǎn)B 到平面ADC 的距離也可，找射影點(diǎn)有困難，我們可以使用等體積法求出點(diǎn)B 到平面ADC 的距離

師：怎么求距離？

生9：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，點(diǎn)A到平面BDC的距離就是剛剛第一小題的垂線段 AO

設(shè)計(jì)意圖：面面垂直性質(zhì)定理的運(yùn)用是本節(jié)課的第二個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生不僅需要知道必須把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，而且需要知道怎么去找出（作出）那條垂線，通過本題的訓(xùn)練學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣在找不到現(xiàn)成的垂線的情況下作出垂線來解題。

5、學(xué)以致用、鞏固強(qiáng)化

面面垂直的性質(zhì)定理一般不會拿出來單獨(dú)考，總會結(jié)合線面垂直的判定或者二面角的形

式出現(xiàn)，學(xué)生在初步熟悉了面面垂直的性質(zhì)定理以后，必須通過具體題目的訓(xùn)練來強(qiáng)化對定理的理解和運(yùn)用，進(jìn)而能夠抽象出面面垂直的性質(zhì)定理判定定理之間的聯(lián)系，所以筆者設(shè)計(jì)了例四

本題綜合性比較強(qiáng)，有一定難度，先讓學(xué)生相互通過討論解題，然后學(xué)生回答，老師啟發(fā)、點(diǎn)評。如圖4，學(xué)生在解決第1小題時(shí)基本沒有困難，因?yàn)樵谄矫鍼AB 內(nèi)找不到直線與MN 平行，所以取AD 中點(diǎn)O ，構(gòu)造平面MNO 與平面PAB 平行，從而達(dá)到線面平行;第二小題涉及到二面角平面角的構(gòu)造、面面垂直的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理，學(xué)生在轉(zhuǎn)化條件時(shí)比較困難，教師需要通過啟發(fā)、提問，耐心引導(dǎo)學(xué)生解決兩個(gè)問題：1.把二面角P-AD-C 為? ? ? ?轉(zhuǎn)化為哪個(gè)平面角;2.作出二面角的平面角

∠POM 之后，如何過點(diǎn)M 作平面PAD 的垂線。

針對問題1，因?yàn)镸O為中位線，且PA=PD ，所以學(xué)生很自然地會連接 PO，從而得到∠POM為二面角P-AD-C 的平面角，且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;回到

本題的關(guān)鍵突破點(diǎn)：在已有的條件下如何過點(diǎn)M作平面PAD垂線？事實(shí)上，通過作出二面角P-AD-C 的平面角∠POM ，學(xué)生已經(jīng)構(gòu)造了平面POM，而平面POM交平面PAD 于PO ，有學(xué)生就提出過M作MQ⊥PO 于點(diǎn)QQ ，老師問：為什么只需MQ⊥PO 就有MQ⊥平面PAD ？學(xué)生答：因?yàn)锳D⊥ 平面POM ，而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以平面PAD⊥ 平面POM 于PO ，又MQ⊥PO ，所以MQ⊥ PAD ，至此，二面角P-AD-C 為? ? ? ? ?成功轉(zhuǎn)化為

Rt△QOM 中，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。其余解題過程略。

為了明確該題思路，教師立即叫該同學(xué)把整個(gè)題目的解答過程口述一遍，然后提問全體學(xué)生：通過這個(gè)題目你有什么收獲？

結(jié)合學(xué)生回答，教師整理并板書結(jié)論：1、條件所給出的已知大小的二面角（空間角）必須轉(zhuǎn)化成某個(gè)平面角;2、二面角的平面角其本質(zhì)是構(gòu)造了一個(gè)和棱垂直的平面;3、二面角的平面角也是構(gòu)造了一個(gè)與二面角的兩個(gè)半平面都垂直的平面，二面角的平面角的兩條邊即為兩對垂直平面的交線。強(qiáng)調(diào)在已知二面角大小的情況下，需要過某點(diǎn)作哪個(gè)平面的垂線只需過該點(diǎn)作出二面角的平面角，然后過該點(diǎn)作平面角的一邊的垂線即可，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知垂直交線即垂直平面，這樣學(xué)生對空間線面、面面垂直的判定、性質(zhì)定理以及二面角就有了整體認(rèn)識。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)抽象貫穿教學(xué)的始終，學(xué)生怎樣才能及時(shí)有效地抽象出知識點(diǎn)、如何把模糊的認(rèn)知清晰化并學(xué)以致用，一直是學(xué)生需要提升的重難點(diǎn)，在筆者看來及時(shí)的總結(jié)是提高數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)的有效途徑，當(dāng)學(xué)生經(jīng)過教師例題設(shè)置、層層提問并用心去總結(jié)某一規(guī)律某一結(jié)論時(shí)，他就會有條理地分析、完整該知識點(diǎn)，那么他的抽象能力、思維縝密度以及語言表述能力將有效提高。

二、教學(xué)反思、小結(jié)

本節(jié)課是高中必修二第二章《點(diǎn)、線、面位置關(guān)系》的最后一節(jié)，是整章的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中不僅需要運(yùn)用直觀想象和邏輯推理來掌握面面垂直性質(zhì)定理的內(nèi)容以及應(yīng)用，更要能夠抽象歸納出空間中線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的本質(zhì)以及聯(lián)系。所以教師上課的過程必須是啟發(fā)、引導(dǎo)、傾聽、互動和總結(jié)的過程，讓學(xué)生的“學(xué)”成為教學(xué)的主體，其中有兩點(diǎn)筆者覺得必須強(qiáng)化應(yīng)用：

1、類比。類比是邏輯推理的一種，是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)事物相似點(diǎn)并做以衍生。類比能夠讓應(yīng)用更加快速，理解更加透徹，記憶更加牢固，思考更加深遠(yuǎn)，甚至觸類旁通。所以教師在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)應(yīng)抓準(zhǔn)切入點(diǎn)，多利用類比來引入。

2、總結(jié)。歸納總結(jié)是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的具體表現(xiàn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中必須養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的習(xí)慣，這樣他就能夠把片段的知識系統(tǒng)化整體化，成為大腦里一座座清晰的里程碑，真正有效地做到學(xué)以致用。

結(jié)論：

教師必須讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中明確他在學(xué)什么，在哪里碰到問題，這個(gè)問題的本質(zhì)是什么，我能不能運(yùn)用已有的知識去解決它，這節(jié)課的內(nèi)容和之前學(xué)的內(nèi)容有什么聯(lián)系。切忌生硬地拋出概念或定理，更不能讓學(xué)生死記硬背。這就要求教師在教學(xué)的過程中科學(xué)安排、精心設(shè)計(jì)上課環(huán)節(jié)，優(yōu)化教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生通過觀察、想象、猜測、歸納、合情推理來獲得面面垂直的性質(zhì)定理，然后通過例題的具體實(shí)踐操作和及時(shí)的小結(jié)，使學(xué)生樹立“空間問題平面化”的解題思路，從而對空間中垂直等位置關(guān)系有整體的認(rèn)識和把握，進(jìn)而達(dá)到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的，把立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育的根本任務(wù)落到實(shí)處。