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高等數(shù)學(xué)解題中微分中值定理的應(yīng)用分析

2019-10-18 02:30姜銳武唐靜
關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)解題

姜銳武 唐靜

【摘要】微分中值定理具體包含三個(gè)定理,分別是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.三個(gè)定理其地位不同,其中拉格朗日中值定理是核心,羅爾中值定理是其特殊情況,柯西中值定理是其推廣,這三個(gè)定理共同組成了微分學(xué)的理論基礎(chǔ).微分中值定理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究中具有重要作用,是最常用的數(shù)學(xué)工具之一,很多微分學(xué)應(yīng)用都建立在微分中值定理上,隨著研究深入,其應(yīng)用更加廣泛.本文主要介紹了微分中值定理在解題過程中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);解題;中值定理

微分中值定理具有重要地位,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中是最常用的工具之一,其具體內(nèi)容包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等一系列基本定理,在微分學(xué)中占有很重要的地位.很多微分學(xué)重要應(yīng)用都建立在微分中值定理上,隨著研究深入,微分中值定理的應(yīng)用也越來越廣泛.中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)和區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,是聯(lián)系局部和整體的紐帶,是微分學(xué)應(yīng)用以及自身發(fā)展的理論基礎(chǔ),因此,中值定理是微分學(xué)的基本定理,它在數(shù)學(xué)中占有很重要的位置,本文主要介紹微分中值定理在解題中的一些應(yīng)用.

微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ),微分學(xué)的很多重要應(yīng)用都建立在這個(gè)基礎(chǔ)上.微分中值定理常用來解決下列問題:判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在以及根的個(gè)數(shù),求出與給定函數(shù)相應(yīng)的中值公式,并證明可導(dǎo)函數(shù)的某些等式與不等式,證明可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上(內(nèi))的某些整體性質(zhì),如單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性、零點(diǎn)以及其他一些性質(zhì).

一、微分中值定理在求極限中的應(yīng)用

在求極限的題目里,有些題目如果運(yùn)用一些通常的方法來求解,則會使我們在解題過程中出現(xiàn)很大的計(jì)算量,或者比較煩瑣的解題過程[1][2],但是應(yīng)用中值定理的話,會為這一類題目提供一種簡單有效的方法.而用中值定理來解題,最關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的構(gòu)造,然后再運(yùn)用中值定理解題,即可求出極限.

如,求 limn→∞n2(a1n-a1n+1),其中a>0.

分析由于題目中有a1n和a1n+1,則可以試著構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=ax,那么就可以得到f(x)在1n+1,1n上連續(xù),在1n+1,1n可導(dǎo),即可以利用Lagrange定理解題了.

解根據(jù)題意,由Lagrange定理,有

limn→∞n2(a1n-a1n+1)

=limn→∞n2(an′)|x=ξ×1n-1n+1

=limn→∞n2aξlnan(n+1)

=lna,

其中,ξ∈1n+1,1n.

二、微分中值定理在證明函數(shù)的連續(xù)性中的應(yīng)用

若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo),且f′有界,則f在I上一致連續(xù).

證明對任意x1,x2∈I,則由拉格朗日中值定理可知:

f(x1)-f(x2)=f′(ξ)·(x1-x2),x1<ξ

又f′在I上有界,所以存在L>0,對任意x∈I,有|f′(x)|≤L.

由此可得|f(x1)-f(x2)|<ε.

因此,對任意ε>0,取δ=εL>0,對任意x1,x2∈I,且|x1-x2|<δ,都有

|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|

這就證明了f在I是上一致連續(xù).

三、利用微分中值定理解決含高階導(dǎo)數(shù)的中值問題

一般原理是:若有x0

如設(shè)f(1)=0,則存在ξ∈(0,π),使得

f″(ξ)+2f′(ξ)cotξ=f(ξ).

證首先變換待證中值公式為

F″(ξ)=d2dξ2[f(ξ)sinξ]

=f″(ξ)sinξ+2f′(ξ)-f(ξ)sinξ=0,

其中F(x)=f(x)sinx.

顯然F(0)=F(1)=F(π),故用兩次羅爾中值定理得所要證.

三、小結(jié)

本文分析了在具體解題過程中應(yīng)用微分中值定理的方法和具體步驟,為相關(guān)人員提供一定借鑒意義.微分中值定理在后續(xù)研究應(yīng)用中其作用將進(jìn)一步得到發(fā)揮,這是需要研究人員積極探索的方面.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳平,萬祥蘭.微分中值定理及其應(yīng)用舉例[J].考試周刊,2016(A5):66.

[2]魏建剛.微分中值定理及其應(yīng)用[J].考試周刊,2017(56):2.

[3]賀艷靜.微分中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造法與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究:教研版,2018(3):5-6.

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